[PDF] I Représentation dun application linéaire par une ma- trice

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-20211

Matrices et applications linéaires

Introduction

Un hommage à René Descartes (17ième siècle) :en fixant un repère(resp. une base) un pointM(resp. un vecteur) objetgéométriqueest "numérisé» et devient alors un couple de nombres, ses coordonnées (x,y), donc un objetnumérique. De même une droite est alors

représentée par une équation cartésienne par exempley= 2x-3 ou une équation paramétrée

(x(t),y(t)) = (t,2t-3), c"est-à-dire une relation vérifiée par les coordonnées. Tout objet géo-

métrique admet ainsi une représentation numérique plus ou moins simple. Le cercle unité a par

exemple pour équation cartésiennex2+y2= 1, ou pour paramétrage (x(t),y(t)) = (cost,sint),

le demi-plan supérieur a pour équationy?0... De même, les transformations géométriques

classiques, translations, rotations, symétries, homothéties (on dit "zoom» en infographie), se-

ront codées par des matrices. Cette numérisation, permet de faire de la géométrie en faisant

des calculs dans le monde numérique. Il est intéressant à ce titre de regarder avec votre moteur

de recherche favori les mathématiques utilisées en infographie...

Si l"on change de repère ou de base, les coordonnées et les équations sont modifiées. Certaines

bases permettent d"avoir des calculs plus simples. La problématique du changement de base est

donc un enjeu majeur de l"Algèbre Linéaire, qui est en quelque sorte "la géométrie dans des

espaces de dimension quelconque». Lamoralede ce chapitre pourrait se résumer à ceci : je veux étudier un endomorphismeu deE. Pour cela je cherche une "bonne» base dans laquelle la matrice deuest "sympatique»,

l"idéal étant qu"elle soit diagonale (car faire des calculs avec une matrice diagonale, c"est très

simple). Pour trouver de bonnes bases, très souvent, on décomposeEen somme directe de "bons» sous-espaces, et on recolle les bases des sous-espaces pour obtenir une base deE. L"année prochaine, vous apprendrez des techniques qui permettent d"obtenir ces bonnes bases, les polynômes annulateurs de matrices joueront un rôle majeur. I Représentation d"un application linéaire par une ma- trice I.1 Application linéaire canoniquement associée à une matrice On considère la matriceAdeM3,2(K) et l"application linéaireu:K2→K3définies par :

A=(((2 3

-4 5

3 7)))

etu(x,y) = (2 x+ 3y,-4x+ 5y,3x+ 7y).

Observons le produit matriciel

(2 3 -4 5

3 7)))

?x y? =(((2x+ 3y -4x+ 5y

3x+ 7y)))

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-20212 On dit queu? L(K2,K3) est l"application linéaire canoniquement associée à la matriceA.

On peut l"indentifier à l"application linéaire ˜u:M2,1(K)→ M3,1(K) définie par ˜u(X) =AX.

Grâce à cette identification, on pourra parler de noyau et d"image de la matriceA, qui s"identifieront au noyau et à l"image de l"application linéaire ˜u. On remarque alors que : • les colonnes deAengendrent l"image • les lignes deAdonnent un système d"équations cartésiennes du noyau. Remarquons enfin que si (e1,e2) est la base canonique deK2et (f1,f2,f3) celle deK3, on a : u(e1) =f(1,0) = (2,4,-3) = 2f1+ 4f2-3f3etu(e2) = 3f1+ 5f2+ 7f3. Autrement dit, les coefficients de ces deux combinaisons linéaires constituent les colonnes de

la matriceA. C"est ce point de vue avec les bases que nous allons généraliserdans la sous-section

suivante.

I.2 Matrice d"une application linéaire

Définition 1Soitu? L(E,F),BE= (e1,...,ep)une base deEetBF= (f1,...,fn)une base deF. On appelle matrice deurelative aux basesBE,BF, la matrice deMn,p(K)notée Mat BE,BF(u)dont les coefficientsai,jsont définies par la relation : ?j??1,p?, u(ej) =n i=1a i,jfi. Réciproquement siA= (ai,j)est une matrice deMn,p(K), il existe une unique application linéaireu? L(E,F)telle queA=MatBE,BF(u).

Remarques :

• siuest un endomorphisme deEdoncE=F, on prend en général la même base de "départ» et d""arrivée». On note alors plus simplement Mat

B(u) au lieu de MatB,B(u).

• soitF= (x1,...,xp) est une famille de vecteurs deFdont les coordonnées dansBFsont définies par : ?j??1,p?, xj=n i=1a i,jfi. On dit que la matriceA= (ai,j) est la matrice de la familleFdans la baseBF. En particulier, si un vecteurxdeFa pour coordonnées (c1,...,cn) dansBF, sa matrice dansBFest la matrice colonnet(c1···cn). ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-20213 I.3 Un véritable dictionnaire : correspondance entre opérations sur les applications linéaires et opérations sur les matrices

Proposition 2 (Dictionnaire et opérations)

1. SoituetvdansL(E,F),λ?K,BE= (e1,...,ep)une base deEetBF= (f1,...,fn)

une base deF. Alors Mat

BE,BF(λu+v) =λMatBE,BF(u) +MatBE,BF(v)

2. Soitu? L(E,F),v? L(F,G). Alors

Mat

BE,BG(v◦u) =MatBF,BG(v)×MatBE,BF(u)

Remarques :

• comme on a prouvé que la composée d"applications linéaires était bilinéaire et associative,

on en déduit que le produit matriciel est bilinéaire et associatif. • A l"inverse, une information sur la matrice donne de l"information sur l"application li- néaire : si par exempleAp= 0 oùAest la matrice d"un endomorphismeu, alorsup= 0. • L"applicationu?→MatBE,BF(u) est ainsi un isomorphisme entre les espaces vectoriels

L(E,F) etMn,p(K). Cela permet de retrouver que

dimL(E,F) = dimE×dimF. Proposition 3 (Dictionnaire et inverse)SoitEetFdeuxK-espaces vectoriels de même dimension de bases respectivesBEetBF. Soitu? L(E,F)etAsa matrice relative aux bases BetB?. Alors on a :uest un isomorphisme deEsurFssi la matriceAest inversible, et alors (MatB,B?(u))-1=MatB?,B(u-1) Remarque : cela fournit un nouveau moyen de prouver qu"une matrice est inversible. Par exemple, on peut montrer que la matriceA? Mn+1(K) définie parai,j=?j-1 i-1?est inversible car matrice dans la base canonique deKn+1[X] de l"endomorphisme bijectifP?→P(X+ 1). Corollaire 4 (Inverse à gauche ou à droite suffit)SoitA? Mn(K). Les trois proposi- tions suivantes sont équivalentes : •Aest inversible • il existeB? Mn(K)tel queAB=In. • il existeC? Mn(K)tel queCA=In. Remarque : la preuve de ce corollaire repose sur le fait qu"un endomorphisme en dimension finie est bijectif ssi il est injectif. Proposition 5 (Dictionnaire et image d"un vecteur)Soitu? L(E,F)etAsa matrice dans les basesBEetBF. Soitxun vecteur deEetXla matrice colonne de ses coordonnées dans B E. Alors la matrice colonne des coordonnées du vecteuru(x)dans la baseBFest la matrice colonneAX. Remarque : on retrouve donc que siuest l"endormorphisme deK2canoniquement associé

à la matriceA=?1 32 4?

, on au(2,3) = (11,16), car?1 32 4?? 2 3? =?1116? ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-20214

I.4 Notion de rang d"une matrice

Proposition 6 (dictionnaire)SoitA? Mn,p(K). On appelle rang de la matriceAle rang de la famille(C1,...,Cp)deKnformée par les colonnes deA. Le rang deAest aussi égal au

rang de toute application linéaire représentée parApar rapport à n"importe quel couple de base.

Application : on calcule rg(A), on en déduit la dimension du noyau et on obtient alors rapidement une base du noyau sans résoudre le système linéaireAX= 0. Par exemple, soitu l"endomorphisme deK3canoniquement associé à la matrice

A=(((2 2 63 0 94 4 12)))

On a rg(A) = rg(C1,C2,C3) = rg(C1,C2)=2 carC3= 3C1et (C1,C2) libre. Ainsi Imuest engendré par (2,3,4) et (2,0,4). De plus, par le théorème du rang dimKeru= 3-rg(u) = 1. OrC3= 3C1donneu(e3) = 3u(e1) doncu(e3-3e1) = 0. Le vecteure3-3e1constitue donc une base du noyau car de dimension 1. Corollaire 7 (Propriétés du rang d"une matrice) • SoitA? Mn,p(K)on a rg(A)?min(n,p). • SoitA? Mn(K),Aest inversible ssi rg(A) =n. • Le rang d"une matrice n"est pas modifié si on la mulitiplie par une matrice inversible.

Nous verrons dans la dernière section, que les opérations élémentaires conservent le rang

d"une matrice, et qu"on pourra ainsi appliquer l"algorithmedu pivot de Gauss pour calculer le rang d"une matrice.

II Changements de base

Problématique : soitu? L(E,F), On noteAsa matrice relative au couple de base (BE,BF) etA?sa matrice relative au couple de base (B?E,B?F). Quel est le lien matriciel entre les matrices

AetA??

II.1 Matrices de passage

Proposition 8SiBet siB?sont deux bases deE, on appelle matrice de passage deBàB? la matrice notée Pass(B,B?)dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs deB?dans la baseB. On a aussi Pass(B,B?) =MatB?,B(idE), ainsi l"application identité étant bijective, on en déduit (DICO) que Pass(B,B?)est inversible et que son inverse est Pass(B?,B). ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-20215

II.2 Formules de changement de base

Proposition 9 (Relation entre deux matrices d"une même application linéaire)Siu? L(E,F), (avec des notations évidentes) siA=MatBE,BF(u),A?=MatB?E,B?F(u),P=Pass(BE,B?E) etQ=Pass(BF,B?F), on a

A=QA?P-1.

En particulier siuest un endomorphisme doncE=F, on a

A=PA?P-1.

Exemple "ma première réduction» : soitul"endomorphisme deK2canoniquement associé

àA=?5 4

-3-2? . On sait que le polynômeP=X2-Tr(A)X+ detA= (X-1)(X-2) est annulateur deA. Les noyaux Ker(u-id) et Ker(u-2id) vont ainsi jouer un rôle crucial1: ils sont engendrés respectivement paru1= (1,1) etu2= (4,-3). La famille (u1,u2) est une base deK2et dans cette base, la matrice deuestD= diag(1,2). On a ainsiA=PDP-1avec

P=?1 4

-1-3? Proposition 10 (Formule de changement de coordonnées)Soitxun vecteur deE. Soit Xla matrice colonne des coordonnées dexdans la baseBetX?la matrice colonne des coor- données dexdans la baseB?. On noteP=Pass(B,B?). Alors

X=PX?etX?=P-1X.

II.3 Applications des changements de base

En trouvant de "bonnes bases», les objets géométriques (vecteurs ou applications linéaires)

ont des représentations numériques plus simples qui facilitent les calculs : • réduction de coniques en prenant une base polaire. • calculs de puissances et de racines carrées de matrices • calculs de commutants

• classification des matrices à équivalence et à similitude près(cf section suivante).

III Classification des matrices

III.1 Matrices équivalentes

Définition 11Deux matricesAetBdeMn,p(K)sont dites équivalentes s"il existe deux ma- trices inversiblesP?GLn(K)etQ?GLp(K)telles queA=PBQ. Cela revient à dire queA

etBcodent une même application linéaire mais relativement à deux couples de base (éventuel-

lement) différents.

1. Vous verrez l"année prochaine, "le lemme des noyaux» qui justifie que l"on auraK2= Ker(u-id)?Ker(u-

2id) car (X-2) et (X-1) sont premiers entre eux.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-20216 Remarque : la relation "matrices équivalentes» est une relation d"équivalence surMn,p(K). Le résultat suivant donne un représentant simple des matrices derangr. Théorème 12 (Représentant d"une matrice de rangr)SoitAune matrice deMn,p(K) de rangr. AlorsAest équivalente à la matrice blocJr=diag(Ir,0). Corollaire 13 (Le rang, invariant total)Deux matrices deMn,p(K)sont équivalentes ssi elles ont même rang. Corollaire 14 (Conservation du rang par transposition)Une matrice et sa transposée ont même rang. Puisque le rang d"une matrice est le rang des ses vecteurs colonnes, par transposition, on en déduit qu"il est aussi égal au rang de ses vecteurs lignes.

III.2 Matrices semblables

Définition 15Deux matricesAetBdeMn(K)sont dites semblables s"il existe une matrice inversibleP?GLn(K)telles queA=PBP-1. Cela revient à dire queAetBcodent un même endomorphisme mais dans une base différente (sauf siA=B).

Remarques :

• la notion de matrices semblables ne vaut que pour des matrices carrées. • la relation "matrices semblables» est une relation d"équivalence surMn(K).

• Si deux matrices sont semblables, elles sont en particulier équivalentes. La réciproque est

fausse, car par exempleI2et diag(1,1) sont équivalentes car de rang 2 mais non semblables car la seule matrice semblable àInestIn. Proposition 16 (Deux invariants de similitude)Si deux matrices sont semblables, alors elles ont même trace et même déterminant. Les réciproques sont fausses. Par exemple, la matrice nulle et la matrice élémentaireE1,2ont une trace et un déterminant nul mais ne sont pas semblables. On étudiera en TD la description complète des classes de similitude deM2(K). Le cas

général est très difficile, il repose essentiellement sur la classification des matrices nilpotentes,

que l"on étudiera toutefois en exercice pourM3(K). IV Matrices d"opérations élémentaires, application au calcul de rang IV.1 Conservation du rang par opérations élémentaires Soitietjdeux entiers distincts de{1,...,n}etλ?K. On appelle opération élémentaire sur les lignes d"une matrice : ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-20217 • ajouter à la ligneila lignej, codée parLi←Li+λLj • multiplier la ligneipar un scalaireλnon nul, codée parLi←λLi • permuter les lignesietj, codée parLi↔Lj On définit de même les opérations élémentaires sur les colonnes d"une matrice.

Les opérations élémentaires sont inversibles, l"inverse des précédentes étant respectivement :

L i←Li-λLjLi←1

λLiLi↔Lj

Effectuer ces opérations élémentaires sur une matriceArevient à multiplierApar des matrices.

• On noteTi,j(λ) la matrice obtenue à partir deInen ajoutant à la lignei,λfois la lignej.

On dit queTi,j(λ) est une matrice de transvection. • On noteDi(λ) la matrice obtenue à partir deInen multipliant la ligneiparλ. Lorsqueλest non nul, on dit queDi(λ) est une matrice de dilatation. • On notePi,jla matrice obtenue à partir deInen permutant les lignesietj. On dit que P i,jest une matrice de transposition.

Appliquer les opérations élémentairesLi←Li+λLj, Li←λLietLi↔Ljà une matrice

Arevient à multiplierApar la gauche par les matrices respectivesTi,j(λ), Di(λ) etPi,j.

Appliquer les opérations élémentairesCi←Ci+λCj, Ci←λCietCi↔Cjà une matriceA

revient à multiplierApar la droite par les matrices respectivesTj,i(λ), Di(λ) etPi,j(attention,

il n"y a pas d"erreur c"est bienTj,i(λ)).

Les opérations élémentaires étant inversibles, il en est de même de leur matrice associée, le

tableau ci-dessous le résume. opération inverseLi←Li-λLjLi←1λLiLi↔Lj matriceTi,j(λ)Di(λ)Pi,j inverse matriceTi,j(-λ)Di?1λ?Pi,j Puisque le rang d"une matrice n"est pas modifié si on la multiplie par une matrice inversible, on en déduit Proposition 17Si l"on transforme une matrice par une opération élémentaire sur une ligne ou une colonne, son rang n"est pas modifié. On pourra donc appliquer l"algorithme du pivot de Gauss, pour transformer une matrice en une matrice triangulaire ou échelonnée pour en calculer le rang. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2020-20218 IV.2 Complément : notion de matrice échelonnée On noteMn,p(R) l"ensemble des matrices à coefficients réels ànlignes etpcolonnes. Définition 18Une matriceAdeMn,p(R)est dite échelonnée (en ligne) si : • les lignes nulles deAsont en-dessous de toutes les lignes non nulles. • chaque ligne non nulle deAcommence avec strictement plus de zéros que la précédente. On appelle pivot, le premier coefficient non nul d"une ligne non nulle.

Exemples : considérons les matrices

A=((((((0

23 0 1

0 0 0 35

0 0 0 0

7

0 0 0 0 0))))))

etB=(((((0 2 3 0 10 0 0 3 50 0 0 1 00 0 0 0 0)))))

La matriceAest échelonnée, elle possède trois pivots que l"on a encadrés. En revanche, la

matriceBn"est pas échelonnée car sa troisième ligne commence avec le même nombre de zéros

que la seconde ligne.

Voici d"autres exemples de matrices échelonnées, où les pivots sont symbolisés par des carrés

et les étoiles désignent des coefficients pouvant prendre n"importe quelle valeur.

C=(((((?? ? ?

0?? ?

0 0 0 0

0 0 0 0)))))

D=((((((((0?? ? ? ? ? ? ? ?

0 0 0?? ? ? ? ? ?

0 0 0 0?? ? ? ? ?

0 0 0 0 0?? ? ? ?

0 0 0 0 0 0 0 0??))))))))

Remarque : si une matricecarréeest échelonnée en ligne, alors elle est forcément triangulaire

supérieure. En revanche une matrice triangulaire supérieure n"est pas forcément échelonnée,

prendre?0 10 1? L"algorithme du pivot de Gauss permet d"échelonner une matriceAà l"aide des opérations élémentaires. On obtient alors son rang en comptant le nombre de pivots. Proposition 19Le rang d"une matrice échelonnée est égal à son nombre de pivots. Par exemple, si on revient aux exemples du début de cette sous-section, le rang des matrices

A,CetDvaut respectivement 3,2 et 5.

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