REPRÉSENTATION MATRICIELLE DES APPLICATIONS LINÉAIRES
Définition (Matrice d'une application linéaire dans des bases finies) Exemple Pour tout -espace vectoriel E de dimension finie n et pour toute base.
MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES
Exemple 2. 1. Déterminer l'application linéaire f à partir de l'expression analytique g : Soit E un espace vectoriel de base (e1e2
Matrice et application linéaire
Exemple 1. Page 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES. 1. RANG D'UNE FAMILLE DE VECTEURS.
Représentation matricielle des applications linéaires
18 août 2017 niques respectives de Kp et Kn alors : A = MatBp
Matrices (canoniques) des applications linéaires
Application linéaire déterminée par une matrice : exemple. L'application linéaire est déterminée par sa matrice et la matrice tient beaucoup moins de place.
Matrice dune application linéaire
2 janv. 2018 Définition 2. On note Mnp l'ensemble des matrices de tailles (n
Matrices dapplications linéaires
17.2 Représentation matricielle d'une application linéaire. 17.2.1 Caractérisation d'une A.L. par l'image d'une base. Exemple : Soit E un K-espace vectoriel
Matrice dune application linéaire
forment une base de R3 et calculer la matrice de f par rapport à cette base. Correction ?. Vidéo ?. [002433]. Exercice 4. Soit A =.
Noyau et image des applications linéaires
Si f : E ? F est une application linéaire son noyau
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
22 mai 2014 Remarque : la matrice d'une application linéaire dépend des bases choisies (B et B') ... Reprendre l'exemple précédent et montrer que.
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Allez à : Correction exercice 33 Exercice 34 Soit :? 4 ? ?3 l'application linéaire dont la matrice dans les base canonique de ?4 et ?
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Matrice d'une application linéaire Ce chapitre est l'aboutissement de toutes les notions d'algèbre linéaire vues jusqu'ici : espaces vectoriels dimension
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Matrice d'une application linéaire Corrections d'Arnaud Bodin Exercice 1 Soit R2 muni de la base canonique S = (ij) Soit f : R2 ? R2 la projection sur
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Si f : E ? F est une application linéaire son noyau noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0} Exemple
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A s'appelle la matrice de l'application linéaire f dans les bases cano- niques et on écrit A = Mat(f) Partant de A on retrouve l'image de la base canonique
[PDF] Matrices et applications linéaires - Mathieu Mansuy
La matrice d'une application linéaire dépend des bases choisies au départ et `a l'arrivée Exemple Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires de E
Comment déterminer la matrice d'une application linéaire ?
Formulaire : Si X est le vecteur colonne représentant x?E x ? E dans la base B , si Y est le vecteur colonne représentant u(x) dans la base B? , et si A est la matrice de u dans les bases B et B? , alors Y=AX.Comment trouver F e1 ?
On a, f(e1) = (2,-1,5) = 2v1 -5v2, f(e2)=(-1,-1,-1) = -v1 +v2, f(e3) = (1,0,0) = v1 -v2 -v3. Donc, MC,B(f) = ? ? 2 -1 1 5 1 -1 0 0 -1 ? ?. Exercice 1-4 Soient c = (e1,e2,e3) la base canonique de R3.Comment déterminer IMF et KERF ?
Il résulte de la formule de dimension : 3 = dimE = dim Imf + dim kerf = dim Imf + 1 . Ainsi, l'image de f est un espace vectoriel de dimension 2. D'apr`es le cours, puisque (e1,e2,e3) engendrent E, Imf est engendré par f(e1),f(e2),f(e3). Déterminons une base de Imf eche- lonnée dans la base (e1,e2,e3).Former la matrice de l'endomorphisme f du ?-espace vectoriel ? dans la base (1,i). Déterminer l'image et le noyau de f.
1Vérifier que ? définit un endomorphisme de ?n[X].2Former la matrice de ? dans la base 1 3L'endomorphisme ? est-il bijectif?
Matrices et
Ce chapitre est l"aboutissement de toutes les notions d"algèbre linéaire vues jusqu"ici : espaces vectoriels, dimension,applications linéaires, matrices. Nous allons voir que dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, l"étude des
applications linéaires se ramène à l"étude des matrices, ce qui facilite les calculs.1. Rang d"une famille de vecteurs
Le rang d"une famille de vecteurs est la dimension du plus petit sous-espace vectoriel contenant tous ces vecteurs.
1.1. Définition
SoientEunK-espace vectoriel etfv1,...,vpgune famille finie de vecteurs deE. Le sous-espace vectorielVect(v1,...,vp)
engendré parfv1,...,vpgétant de dimension finie, on peut donc donner la définition suivante :Définition 1(Rang d"une famille finie de vecteurs).
SoitEunK-espace vectoriel et soitfv1,...,vpgune famille finie de vecteurs deE. Lerangde la famillefv1,...,vpg
est la dimension du sous-espace vectoriel Vect(v1,...,vp)engendré par les vecteursv1,...,vp. Autrement dit :rg(v1,...,vp) =dimVect(v1,...,vp)
Calculer le rang d"une famille de vecteurs n"est pas toujours évident, cependant il y a des inégalités qui découlent
directement de la définition.Proposition 1. Soient E unK-espace vectoriel etfv1,...,vpgune famille de p vecteurs de E. Alors :1.06rg(v1,...,vp)6p : le rang est inférieur ou égal au nombre d"éléments dans la famille.
2.SiEest de dimension finie alorsrg(v1,...,vp)6dimE: le rang est inférieur ou égal à la dimension de l"espace
ambiant E.Remarque. Le rang d"une famille vaut 0 si et seulement si tous les vecteurs sont nuls. Le rang d"une famillefv1,...,vpgvautpsi et seulement si la famillefv1,...,vpgest libre.Exemple 1.
MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS2 Quel est le rang de la famillefv1,v2,v3gsuivante dans l"espace vectorielR4? v 1=0 B B@1 0 1 01 CCAv2=0
B B@0 1 1 11 CCAv3=0
B B@1 1 0 11 C CACe sont des vecteurs deR4donc rg(v1,v2,v3)64.
Mais comme il n"y a que 3 vecteurs alors rg(v1,v2,v3)63.Le vecteurv1est non nul donc rg(v1,v2,v3)>1.
Il est clair quev1etv2sont linéairement indépendants donc rg(v1,v2,v3)>rg(v1,v2) =2.Il reste donc à déterminer si le rang vaut2ou3. On cherche si la famillefv1,v2,v3gest libre ou liée en résolvant le
système linéaire1v1+2v2+3v3=0. On trouvev1v2+v3=0. La famille est donc liée. AinsiVect(v1,v2,v3) =
Vect(v1,v2), donc rg(v1,v2,v3) =dimVect(v1,v2,v3) =2.1.2. Rang d"une matrice
Une matrice peut être vue comme une juxtaposition de vecteurs colonnes.Définition 2. On définit lerangd"une matrice comme étant le rang de ses vecteurs colonnes.Exemple 2.Le rang de la matrice
A=1 212
02 41 0
2M2,4(K)
est par définition le rang de la famille de vecteurs deK2: v 1 =12,v2=24,v3=12
1 ,v4 =00ª. Tous ces vecteurs sont colinéaires àv1, donc le rang de la famillefv1,v2,v3,v4gest 1 et ainsi rgA=1.Réciproquement, on se donne une famille depvecteursfv1,...,vpgd"un espace vectorielEde dimensionn. Fixons
une baseB=fe1,...,engdeE. Chaque vecteurvjse décompose dans la baseB:vj=a1je1++aijei++anjen, ce que l"on notevj= 0 B B@a 1j ...aij ...anj1 C CA B . En juxtaposant ces vecteurs colonnes, on obtient une matriceA2Mn,p(K). Le rang de la famillefv1,...,vpgest égal au rang de la matriceA.Définition 3.On dit qu"une matrice estéchelonnéepar rapport aux colonnes si le nombre de zéros commençant une colonne
croît strictement colonne après colonne, jusqu"à ce qu"il ne reste plus que des zéros. Autrement dit, la matrice
transposée est échelonnée par rapport aux lignes.Voici un exemple d"une matrice échelonnée par colonnes; lesdésignent des coefficients quelconques, les+des
coefficients non nuls :0 BBBBBB@+0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
+0 0 0 0 +0 0 0 0 0 0 +0 01 CCCCCCA
Le rang d"une matrice échelonnée est très simple à calculer.Proposition 2. Le rang d"une matrice échelonnée par colonnes est égal au nombre de colonnes non nulles.Par exemple, dans la matrice échelonnée donnée en exemple ci-dessus,4colonnes sur6sont non nulles, donc le rang
de cette matrice est 4.La preuve de cette proposition consiste à remarquer que les vecteurs colonnes non nuls sont linéairement indépendants,
ce qui au vu de la forme échelonnée de la matrice est facile. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS31.3. Opérations conservant le rangProposition 3.Le rang d"une matrice ayant les colonnesC1,C2,...,Cpn"est pas modifié par les trois opérations élémentaires suivantes
sur les vecteurs : 1. C i Ciavec6=0: on peut multiplier une colonne par un scalaire non nul. 2. C i Ci+Cjavec2K(et j6=i) : on peut ajouter à la colonne Ciun multiple d"une autre colonne Cj. 3. C i$Cj: on peut échanger deux colonnes.Plus généralement, l"opérationCi Ci+P i6=jjCjconserve le rang de la matrice.On a même un résultat plus fort, comme vous le verrez dans la preuve : l"espace vectoriel engendré par les vecteurs
colonnes est conservé par ces opérations. Démonstration.Le premier et troisième point de la proposition sont faciles.Poursimplifierl"écriture de la démonstration du deuxième point,montrons que l"opérationC1 C1+C2ne change pas
le rang. Notonsvile vecteur correspondant à la colonneCid"une matriceA. L"opération sur les colonnesC1 C1+C2
change la matriceAen une matriceA0dont les vecteurs colonnes sont :v1+v2,v2,v3,...,vp.Il s"agit de montrer que les sous-espacesF=Vect(v1,v2,...,vp)etG=Vect(v1+v2,v2,v3,...,vp)ont la même
dimension. Nous allons montrer qu"ils sont égaux! Tout générateur deGest une combinaison linéaire desvi, doncGF.Pour montrer queFG, il suffit de montrerv1est combinaison linéaire des générateurs deG, ce qui s"écrit :
v1= (v1+v2)v2.Conclusion :F=Get donc dimF=dimG.Méthodologie.Comment calculer le rang d"une matrice ou d"un système de vecteurs?
Il s"agit d"appliquer la méthode de Gauss sur les colonnes de la matriceA(considérée comme une juxtaposition
de vecteurs colonnes). Le principe de la méthode de Gauss affirme que par les opérations élémentairesCi Ci,
Ci Ci+Cj,Ci$Cj, on transforme la matriceAen une matrice échelonnée par rapport aux colonnes. Le rang de
la matrice est alors le nombre de colonnes non nulles.Remarque : la méthode de Gauss classique concerne les opérations sur les lignes et aboutit à une matrice échelonnée
par rapport aux lignes. Les opérations sur les colonnes deAcorrespondent aux opérations sur les lignes de la matrice
transposéeAT.1.4. Exemples
Exemple 3.
Quel est le rang de la famille des 5 vecteurs suivants deR4? v 1=0 B B@1 1 1 11 CCAv2=0
B B@1 2 0 11 CCAv3=0
B B@3 2 1 31C
CAv4=0
B B@3 5 0 11 CCAv5=0
B B@3 8 1 11 C CA On est ramené à calculer le rang de la matrice : 0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA En faisant les opérationsC2 C2+C1,C3 C33C1,C4 C43C1,C5 C53C1, on obtient des zéros sur la première ligne à droite du premier pivot :0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA0 BB@1 0 0 0 0
1 31 2 5
1 1432
1 26421
C CAMATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS4On échangeC2etC3par l"opérationC2$C3pour avoir le coefficient1en position de pivot et ainsi éviter d"introduire
des fractions.0 BB@1 0 0 0 0
1 31 2 5
1 1432
1 26421
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 3 2 5
14 132
16 2421
C CAEn faisant les opérationsC3 C3+3C2,C4 C4+2C2etC5 C5+5C2, on obtient des zéros à droite de ce deuxième
pivot :0 BB@1 0 0 0 0
11 3 2 5
14 132
16 2421
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
14111122
161616321
C CAEnfin, en faisant les opérationsC4 C4C3etC5 C52C3, on obtient une matrice échelonnée par colonnes :0
BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
14111122
161616321
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
1411 0 0
1616 0 01
C CAIl y a 3 colonnes non nulles : on en déduit que le rang de la famille de vecteursfv1,v2,v3,v4,v5gest 3.
En fait, nous avons même démontré que
1111
0146
001116
Exemple 4.
Considérons les trois vecteurs suivants dansR5:v1= (1,2,1,2,0),v2= (1,0,1,4,4)etv3= (1,1,1,0,0). Montrons
que la famillefv1,v2,v3gest libre dansR5. Pour cela, calculons le rang de cette famille de vecteurs ou, ce qui revient
au même, celui de la matrice suivante :0 BBBB@1 1 1
2 0 1 1 1 1 2 4 00 4 01
C CCCA. Par des opérations élémentaires sur les colonnes, on obtient : 0 BBBB@1 1 1
2 0 1 1 1 1 2 4 00 4 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
2211 0 0 2 22
0 4 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
2111 0 0 2 12
0 2 01
C CCCA0 BBBB@1 0 0
21 01 0 0 2 13 0 221 C CCCA
Comme la dernière matrice est échelonnée par colonnes et que ses3colonnes sont non nulles, on en déduit que la
famillefv1,v2,v3gconstituée de 3 vecteurs est de rang 3, et donc qu"elle est libre dansR5.Exemple 5.
Considérons les quatre vecteurs suivants dansR3:v1= (1,2,3),v2= (2,0,6),v3= (3,2,1)etv4= (1,2,2).Montrons que la famillefv1,v2,v3,v4gengendreR3. Pour cela, calculons le rang de cette famille de vecteurs ou, ce
qui revient au même, celui de la matrice suivante :0 @1 2 312 0 2 2
3 6 1 21
A Par des opérations élémentaires sur les colonnes, on obtient : 0 @1 2 312 0 2 2
3 6 1 21
A 0 @1 0 0 0 244 43 08 51
A 0 @1 0 0 024 0 0
3 08 51
A 0 @1 0 0 024 0 0
3 08 01
ALa famillefv1,v2,v3,v4gest donc de rang3. Cela signifie queVect(v1,v2,v3,v4)est un sous-espace vectoriel de
dimension 3 deR3. On a donc Vect(v1,v2,v3,v4) =R3. Autrement dit, la famillefv1,v2,v3,v4gengendreR3. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES1. RANG D"UNE FAMILLE DE VECTEURS51.5. Rang et matrice inversible
Nous anticipons sur la suite, pour énoncer un résultat important :Théorème 1(Matrice inversible et rang).
Une matrice carrée de taille n est inversible si et seulement si elle est de rang n.La preuve repose sur plusieurs résultats qui seront vus au fil de ce chapitre.
Démonstration.SoitAune matrice carrée d"ordren. Soitfl"endomorphisme deKndont la matrice dans la base
canonique estA. On a les équivalences suivantes :Ade rangn()fde rangn
()fsurjective ()fbijective ()Ainversible.Nous avons utilisé le fait qu"un endomorphisme d"un espace vectoriel de dimension finie est bijectif si et seulement s"il
est surjectif et le théorème sur la caractérisation de la matrice d"un isomorphisme.1.6. Rang engendré par les vecteurs lignes
On a considéré jusqu"ici une matriceA2Mn,p(K)comme une juxtaposition de vecteurs colonnes(v1,...,vp)et défini
rgA=dimVect(v1,...,vp). Considérons maintenant queAest aussi une superposition de vecteurs lignes(w1,...,wn).Proposition 4.
rgA=dimVect(w1,...,wn)Nous admettrons ce résultat. Autrement dit :l"espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes et l"espace vectoriel
engendré par les vecteurs lignes sont de même dimension.Une formulation plus théorique est quele rang d"une matrice égale le rang de sa transposée:rgA=rgAT
Attention! Les dimensionsdimVect(v1,...,vp)etdimVect(w1,...,wn)sont égales, mais les espaces vectoriels
Vect(v1,...,vp)et Vect(w1,...,wn)ne sont pas les mêmes.Mini-exercices. 1. Quel est le rang de la famille de vecteurs 121 ,342 ,021 ,221Même question pour1t1
t1t ,11t en fonction du paramètret2R. 2. Mettre sous forme échelonnée par rapport aux colonnes la matrice 0 @1 242102 4 2 0
1 121 11
A . Calculer son rang. Idem avec0quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] exercices corrigés d'espace vectoriel
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