[PDF] Matrice dune application linéaire

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Exo7

Matrice d"une application linéaire

Corrections d"Arnaud Bodin.

Exercice 1SoitR2muni de la base canoniqueB= (~i;~j). Soitf:R2!R2la projection sur l"axe des abscissesR~i

parallèlement àR(~i+~j). Déterminer MatB;B(f), la matrice defdans la base(~i;~j).

Même question avec Mat

B0;B(f)oùB0est la base(~i~j;2~i+3~j)deR2. Même question avec MatB0;B0(f).

Soient trois vecteurse1;e2;e3formant une base deR3. On notefl"application linéaire définie parf(e1) =e3,

f(e2) =e1+e2+e3etf(e3) =e3. 1. Écrire la matrice Adefdans la base(e1;e2;e3). Déterminer le noyau de cette application. 2. On pose f1=e1e3,f2=e1e2,f3=e1+e2+e3. Calculere1;e2;e3en fonction def1;f2;f3. Les vecteursf1;f2;f3forment-ils une base deR3? 3. Calculer f(f1);f(f2);f(f3)en fonction def1;f2;f3. Écrire la matriceBdefdans la base(f1;f2;f3)et trouver la nature de l"applicationf. 4.

On pose P=0

@1 11 01 1

1 0 11

A . Vérifier quePest inversible et calculerP1. Quelle relation lieA,B,P etP1? Soitfl"endomorphisme deR3dont la matrice par rapport à la base canonique(e1;e2;e3)est A=0 @1511 5

2015 8

87 61
A

Montrer que les vecteurs

e forment une base deR3et calculer la matrice defpar rapport à cette base.

SoitA=0

B

BBBBB@0:::0 1

... 1 0 0 1

1 0:::01

C CCCCCA. En utilisant l"application linéaire associée deL(Rn;Rn), calculerAppour p2Z. 1

SoientA;Bdeux matrices semblables (i.e. il existePinversible telle queB=P1AP). Montrer que si l"une est

inversible, l"autre aussi; que si l"une est idempotente, l"autre aussi; que si l"une est nilpotente, l"autre aussi;

que siA=lI, alorsA=B.

Soitfl"endomorphisme deR2de matriceA=223

52
23
dans la base canonique. Soiente1=2 3 et e 2=2 5 1. Montrer que B0= (e1;e2)est une base deR2et déterminer MatB0(f). 2.

Calculer Anpourn2N.

3. Déterminer l"ensemble des suites réelles qui vérifient 8n2N8 :x n+1=2xn+23 yn y n+1=52 xn23 yn.

Soitaetbdeux réels etAla matrice

A=0 @a21b

3 0 14

5 41 21

A Montrer que rg(A)>2. Pour quelles valeurs deaetba-t-on rg(A) =2 ?

SoientA=0

B

B@1 2 1

3 4 1 5 6 1

7 8 11

C

CA;B=0

B

B@2 21 7

4 31 11

01 24

3 32 111

C CA. Calculer rg(A)et rg(B). Déterminer une base du noyau et une base de l"image pour chacune des applications linéaires associéesfAetfB. SoitEun espace vectoriel etfune application linéaire deEdans lui-même telle quef2=f. 1.

Montrer que E=KerfImf.

2. Supposons que Esoit de dimension finien. Posonsr=dimImf. Montrer qu"il existe une baseB= (e1;:::;en)deEtelle que :f(ei) =eisii6retf(ei) =0 sii>r. Déterminer la matrice defdans cette baseB. Trouver toutes les matrices deM3(R)qui vérifient 2

1.M2=0 ;

2.M2=M;

3.M2=I.

Soitfl"application deRn[X]dansR[X]définie en posant pour toutP(X)2Rn[X]:f(P(X)) =P(X+1)+

P(X1)2P(X):

1. Montrer que fest linéaire et que son image est incluse dansRn[X]. 2. Dans le cas où n=3, donner la matrice defdans la base 1;X;X2;X3. Déterminer ensuite, pour une valeur denquelconque, la matrice defdans la base 1;X;:::;Xn. 3. Déterminer le no yauet l"image de f. Calculer leur dimension respective. 4. Soit Qun élément de l"image def. Montrer qu"il existe un uniqueP2Rn[X]tel que :f(P) =Qet

P(0) =P0(0) =0.

Pour toute matrice carréeAde dimensionn, on appelle trace deA, et l"on note trA, la somme des éléments

diagonaux deA: trA=nå i=1a i;i 1. Montrer que si A;Bsont deux matrices carrées d"ordren, alors tr(AB) =tr(BA). 2. Montrer que si fest un endomorphisme d"un espace vectorielEde dimensionn,Msa matrice par rapport

à une basee,M0sa matrice par rapport à une basee0, alors trM=trM0. On note trfla valeur commune

de ces quantités. 3. Montrer que si gest un autre endomorphisme deE, tr(fggf) =0. Indication pourl"exer cice1 Nfest l"application qui àx y associexy 0 .Indication pourl"exer cice5 NAestidempotentes"il existe unntel queAn=I(la matrice identité).

Aestnilpotentes"il existe unntel queAn= (0)(la matrice nulle).Indication pourl"exer cice10 NIl faut trouver les propriétés de l"application linéairefassociée à chacune de ces matrices. Les résultats

s"expriment en explicitant une (ou plusieurs) matriceM0qui est la matrice defdans une base bien choisie

et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la formeM=P1M0P.

Plus en détails pour chacun des cas :

1. Im fKerfet discuter suivant la dimension du noyau. 2.

Utiliser l"e xercice

9 : K erfImfet il existe une base telle quef(ei) =0 ouf(ei) =ei. 3.

Poser N=I+M2

(et doncM=) chercher à quelle conditionM2=I.4

Correction del"exer cice1 NL"expression defdans la baseBest la suivantef(x;y)=(xy;0). Autrement dit à un vecteurx

y on associe le vecteur xy 0 . On note quefest bien une application linéaire. Cette expression nous permet de calculer les matrices demandées.

Remarque : commeBest la base canonique on notex

y pourx y B qui est le vecteurx~i+y~j. 1. Calcul de Mat (f;B;B). CommeB= (~i;~j), la matrice s"obtient en calculantf(~i)etf(~j): f(~i) =f1 0 =1 0 ~i f(~j) =f0 1 =1 0 =~i donc

Mat(f;B;B) =11

0 0 2.

On g ardela même application linéaire mais la base de départ change (la base d"arri véereste B). Si on

note~u=~i~jet~v=2~i+3~j, on aB0= (~i~j;2~i+3~j) = (~u;~v). On exprimef(~u)etf(~v)dans la base d"arrivéeB. f(~u) =f(~i~j) =f1 1 =2 0 f(~v) =f(2~i+3~j) =f2 3 =5 0 donc

Mat(f;B0;B) =25

0 0 3.

T oujoursa vecle même fon prendB0comme base de départ et d"arrivée, il s"agit donc d"exprimerf(~u)

etf(~v)dans la baseB0= (~u;~v). Nous venons de calculer que f(~u) =f(~i~j) =f1 1 =2 0 =2~i f(~v) =f(2~i+3~j) =f2 3 =5 0 =5~i Mais il nous faut obtenir une expression en fonction de la baseB0. Remarquons que ~u=~i~j ~v=2~i+3~j=)~i=3~u+~v ~j=2~u+~v Donc f(~u) =f(~i~j) =2~i=6~u+2~v=6 2 B

0f(~v) =f(2~i+3~j) =5~i=15~u5~v=15

5 B 0 Donc

Mat(f;B0;B0) =615

25

Remarque :

x y B

0désigne le vecteurx~u+y~v.Correction del"exer cice2 N5

1.On note la base B=(e1;e2;e3)etX=0

@x y z1 A

B=xe1+ye2+ze3. La matriceA=MatB(f)est composée

des vecteurs colonnesf(ei), on sait f(e1) =e3=0 @0 0 11 A

Bf(e2) =e1+e2+e3=0

@1 1 11 A

Bf(e3) =e3=0

@0 0 11 A B doncA=0 @01 0 0 1 0

1 1 11

A

Le noyau def(ou celui deA) est l"ensemble deX=0

@x y z1 A tel queAX=0.

AX=0()0

@01 0 0 1 0

1 1 11

A 0 @x y z1 A =0 @0 0 01 A ()8 :y=0 y=0 x+y+z=0

DoncKerf=0

@x 0 x1 A

B2R3jx2R=Vect0

@1 0 11 A

B=Vect(e1e3). Lenoyauestdoncdedimension

1. 2. On applique le pi votde Gauss comme si c"était un système linéaire : 8< :e

1e3=f1L1e

1e2=f2L2e1+e2+e3=f3L3()8

:e

1e3=f1

e2+e3=f2f1L2L1e

2=f3+f1L3+L1

On en déduit

8< :e

1=f1+f2+f3

e

2=f1+f3

e

3=f2+f3

Donc tous les vecteurs de la baseB= (e1;e2;e3)s"expriment en fonction de(f1;f2;f3), ainsi la famille

(f1;f2;f3)est génératrice. Comme elle a exactement 3 éléments dans l"espace vectorielR3de dimension

3 alorsB0= (f1;f2;f3)est une base.

3. f(f1) =f(e1e3) =f(e1)f(e3) =e3e3=0 f(f2) =f(e1e2) =f(e1)f(e2) =e3(e1+e2+e3) =e1e2=f2 f(f3) =f(e1+e2+e3) =f(e1)+f(e2)+f(e3) =e1+e2+e3=f3

Donc, dans la baseB0= (f1;f2;f3), nous avons

f(f1) =0=0 @0 0 01 A B

0f(f2) =f2=0

@0 1 01 A B

0f(f3) =f3=0

@0 0 11 A B 0 6

Donc la matrice defdans la baseB0est

B=0 @0 0 0 0 1 0

0 0 11

A

fest la projection sur Vect(f2;f3)parallèlement à Vect(f1)(autrement dit c"est la projection sur le plan

d"équation(x0=0), parallèlement à l"axe desx0, ceci dans la baseB0).

4.Pest la matrice de passage deBversB0. En effet la matrice de passage contient -en colonnes- les

coordonnées des vecteurs de la nouvelle baseB0exprimés dans l"ancienne baseB. Si un vecteur a pour coordonnéesXdans la baseBetX0dans la baseB0alorsPX0=X(attention à l"ordre). Et siAest la matrice defdans la baseBetBest la matrice defdans la baseB0alors

B=P1AP

(Une matrice de passage entre deux bases est inversible.)

Ici on calcule l"inverse deP:

P 1=0 @1 1 0 1 0 1

1 1 11

A doncB=P1AP=0 @0 0 0 0 1 0

0 0 11

A

On retrouve donc bien les mêmes résultats que précédemment.Correction del"exer cice3 NNotons l"ancienne baseB= (e1;e2;e3)et ce qui sera la nouvelle baseB0= (e01;e02;e03). SoitPla matrice

de passage qui contient -en colonnes- les coordonnées des vecteurs de la nouvelle baseB0exprimés dans

l"ancienne baseB P=0 @2 3 1 3 4 2

1 1 21

A

On vérifie quePest inversible (on va même calculer son inverse) doncB0est bien une base. De plus

P 1=0 @6 52 43 1
11 11 A et on calculeB=P1AP=0 @1 0 0 0 2 0

0 0 31

A

Best la matrice defdans la baseB0.Correction del"exer cice4 NNous associons à la matriceAson application linéaire naturellef. SiB= (e1;e2;:::;en)est la base canonique

deRnalorsf(e1)est donné par le premier vecteur colonne,f(e2)par le deuxième, etc. Donc ici f(e1) =0 B

BBBB@0

0 0 11 C

CCCCA=en;f(e2) =0

B

BBBB@0

0 1 01 C

CCCCA=en1;:::et en généralf(ei) =en+1i

Calculons ce que vaut la compositionff. Comme une application linéaire est déterminée par les images des

éléments d"une base alors on calculeff(ei),i=1;:::;nen appliquant deux fois la formule précédente :

ff(ei) =ff(ei)=f(en+1i) =en+1(n+1i)=ei 7 Commefflaisse invariant tous les vecteurs de la base alorsff(x) =xpour toutx2Rn. Doncff=id.

On en déduitf1=fet que la composition itérée vérifiefp=id sipest pair etfp=fsipest impair.

Conclusion :Ap=Isipest pair etAp=Asipest impair.Correction del"exer cice5 NSoitA;Btel queB=P1AP. 1. Supposons Ainversible, alors il existeA0tel queAA0=IetA0A=I. Notons alorsB0=P1A0P. On a

BB0=P1APP1A0P=P1APP1A0P=P1AA0P=P1IP=I

De mêmeB0B=I. DoncBest inversible d"inverseB0.

2.

Supposons que An=I. Alors

B n=P1APn=P1APP1APP1AP =P1A(PP1)A(PP1)AP =P1AnP =P1IP=I

DoncBest idempotente.

3. Si An= (0)alors le même calcul qu"au-dessus conduit àBn= (0). 4.

Si A=lIalorsB=P1(lI)P=lIP1P=lI(car la matricelIcommute avec toutes les matrices).Correction del"exer cice6 N1.Notons Pla matrice de passage de la base canoniqueB=(1;0);(0;1)vers (ce qui va être) la base

B

0= (e1;e2). C"est la matrice composée des vecteurs colonnese1ete2:

P=22 3 5 detP=46=0 doncPest inversible et ainsiB0est bien une base.

Alors la matrice defdans la baseB0est :

B=P1AP=14

5 2 32
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