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Quelle sont les ensemble de nombre ?
Les ensembles de nombres et leurs notations
Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ?*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ? vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.Qu'est-ce qu'un ensemble de nombres ?
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ?. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ?. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.Comment trouver les ensembles de nombres ?
Quels sont les ensembles de nombres les plus communs ? En mathématique, il existe l' ensemble des entiers naturels N (ou ?), l' ensemble des entiers relatifs Z (ou ?), l' ensemble des nombres rationnels Q (ou ?), l' ensemble des nombres réels R (ou ?) et l' ensemble des nombres complexes C (ou ?).
Chapitre1
Ensemblesdenombres
Enmat hmatiquesnoussommesconfrontsdiffrentsensembles.Lesplus simplesdÕent res euxsont desensemblesdeno mbres.N ousallonstudiscerta inespropri tsdecesderniersdans cech apitre.1.1Intr oduction
Certainsnombresapparai ssentnaturellementda nsleviedetouslesjo urs(notamme ntlorsquÕilsÕagitdednombr erdesq uantitsdiversesetvaries).P ourtantlaconst ructionh istorique(dÕun
pointdevuema thmat ique)dece sensemblesnÕestpasforcmentcelle quelÕonim agine.Voici quelquesmotscesujet : ¥Lesno mbresentierssontconnus depuisEuclide(env iron300av.J.C. ),lanotationN ¥Lesn ombresentiersrelatifs( possdantventuell ementunsigneÇffÈ)appa raissentdansdes textesdumathm aticien sindienårybhata(476ff550):i lsp ermettentd etraiterlanotion dede ttesetderecettes .Cesnom bres sontgalementprsentsdanslescritsduperseAbu I-Wafa(940ff998);enrev anche,i lfautattendrelestravauxde Stevin (1548ff1620)pou r quÕilsapparaise ntenEurope.Laconstructionformell edecetteensembl eestdenouveau obtenueparDedekind( 1831ff1916)e tlanotat ionZ(dumota llemandZahlensigniÞant ¥Lano tiondefractionestdj prsent edansdespapyrusgyptiens(notammen tlepapyrus Rhinddatantdeff1650av .J.C.)mais leurvritablecons tructionmath matiqueda tedes travauxdePeanoen18 95;ilc hoisitlalettreQ(delÕi talienquozientesigniÞantquotient) pourdsig nerdetelsnombres.¥Certainsnombrescommeffou
CantoretDedekind .
78CHAPITRE1.ENSEMBL ESDENO MBRES
1.2Nombr esentiers
Lesno mbreslesplussimples manipu lersontlesnom bresentiers. DÞnition1.2.1.1.LÕe nsembleNdsignelÕensemble desentierspositifs.Autrementdit,N={0,1;2 ,...;100;...;}
2.L ÕensembledesentiersrelatifsZdsignelÕensemblede snombresentiers.Autrementdit,
Remarque.Enpart iculier,N#Zcecisi gniÞequetousleslmentsde Nsontgale mentdeslments
propritsdecesdeuxensemblesplus tar ddanslÕanne .1.3Nomb resfractionnaires
DÕautresnombresappara issentnaturellementd anslaviedetouslesjou rs,ilsÕag itdesnombres fractionnaires.Cesdernierssontobtenuslorsq uedesprop ortionsdÕunquant itdonneestm iseen jeu(le tiersdÕun gteau,unedemi- heure,etc). Cesensemblescon tiennentlesensemblesdÕentiers introduitsplustt.VoicilÕundÕe ntreeux. DÞnition1.3.1.LÕensembledesnombresdcimau xDestcomp osdenombresdelaforme a 10 n aveca$Z,n$NExemple1.3.1.1.ff1$Dcarff1=
a 10 n aveca=ff1$Zetn=0$N.2.20,3$Dcar20,3=
a 10 aveca=203$Z. Iles timportan tdÕobserverquetoutnombred cimaladmetundveloppementdcimalavecun Exemple1.3.2.Voiciquelque sexemplesillustrantcett eproprit: 1 2 =0,5;ff 3 25=ff0,12; 217
125
=1,736 DÞnition1.3.2.LÕensembledesnombresrationn elsQestcom posdenombredelaforme a b aveca$Z,b$Z ff
1.3.NOM BRESFRACTIONNAIRES9
Remarque.Enpart iculierD#Q.Pourcela,ilsu"tdÕobserverquetouslmentsdeDsÕcritdela faonsuivante a 10 n a b avecb=10 n $Z ffQuelquesexemplesdenomb resrationels.
a b aveca=107$Zet b=22$Z ff 2. 1 3 =0,33333...$Qcar 1 3 a b aveca=1$Zetb=3$Z ff Remarque.Iles tpossible demontrerquetouslment sdeQpeuventsÕcrireave cunnombreÞni indÞniment. Iles talorsnat ureldesÕinterr ogersurlefaitsuivant: 1 3 =0,3333333... sÕagitdÕunlmen tdeQmaissepou rrait- ilque 1 3 $D?Commenousallo nslevoir
1 3 DÞnition1.3.3.Touslesno mbresdivi siblespar3peuventsÕcriredel afaonsuivante:3aaveca$Z(1.3.1)
Exemple1.3.4.Ils u"tdeprendrequelquesexemplespoursÕenconvaincre:3=3%1,27=3%9,....Enrevanche,5 nÕe stpasdivisiblepar3caril nÕe stpaspossibledÕexprimer5souslaforme
5=3aaveca$Z(ici,ilestes sentiel queasoitunenti errela tif).
composeestdivisibl epar3. Exemple1.3.5.Parexem ple,27estdivisiblepar3c ar2+7= 9estdivis iblepar3;25nÕestpas divisiblepar3car3nedivisepa s2+5= 7. Nouspouvon sprsentnousattaquera ur sultatsuivant.Proposition2.
1 3 $Qmais 1 3 /$D.10CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES
Dmonstration.Ladm onstrationdececisefaitparlÕabsurde:nousallonssupposerle contrairedece quenousso uhaitonsd montre r(i.e. 1 3 $D)aÞndÕaboutirunecontradiction .Supposonsdonc,parlÕabsur de,que
1 3 existea$Zetn$Ntelque 1 3 a 10 n Nousallons voirquecetteidentitv anousamener unecontradiction.Pourcela,ilsu"tdÕobserver quecett eidentitpeutsÕ criresouslaforme 10 n =3a.Ainsi,10
n estunmu ltiple de3(pardÞnition,cf.1.3.1),ce ciestabsurd ecarlasom medeschiffres composant10 n (cenom brenÕestriendÕautre que1suivitdenzros)vaut1qu inÕestpasdivi sib le par3(c f.pr oposition1)1.4Nombr esrels
VoyonsenÞnunder nierensemble ,plus grandencore:celuidesnombresrels.Intuitivement, ilco ntienttouslesnombresqu enouspouvons renco ntrerdanslaviedetouslesjours.Ilestdonccomposdetouslesenti ers,det outeslesfracti onsmai sausside tousle sautresnombr esquÕiln Õest
pasposs ibledÕexprimersouslaform edÕunefractionoudÕunnombreentier( certainsracinescarr es
parexe mple). DÞnition1.4.1.LÕensembledesnombresrelsRestcomp osdetouslesnombresusuels:R={...,ff;
2;ff4;
457 ;0,234;4372...} Remarque.1.Il estsouv entutiled ereprsentercetense mbledenombregraphiquementlÕaide
dÕunedroit egradue.Danscecas ,ilestalorspossibl edÕassocierunnombre re ltout point
Mdece ttedroitegradue. Cenombreestappela bscissedupointM.2.Ob servonsgalementquelenombre
alorsnature ldesedemandersi 2$Q. CommenouslÕav onsfaitremar querplustt,lesinclu sionssuivantessontvriÞesN#Z#D#Q#R
Ile xisteencoredenombr euxensemblesenmat hmati quesmaisilfaudrapatienterencorepourlestudier.
Pythagoretaientp ersuadsquetouteslongue urspouvanttredes sinerdevaitaussisÕcrire comme
unnom brerationnel(i. e.unefraction a b $Q).Il sfurentbi enennuyfacelÕhy potnusedÕun2etcommenousallonslevoir
2/$Q.CeciseratraitdansunD.M.
1.5.ENCA DREMENTPARDESNOMBRESDCIMAUX11
Proposition3.
2/$Q. Dmonstration.Cf.D.M. (donndansle chapitredÕarithm tique)1.5Encad rementpardesnombresdcimaux
IlnÕ estpaspossibled Õcrire
iles talorspra tiquedetrouve runencadrementdecelui- cilÕaidedenomb resdc imaux(quisont plussim plesmanipuler). DÞnition1.5.1.Unenc adrementdcimaldÕunnombrere lxestunei ngalitdela forme d 1 &x&d 2 avecd 1 ,d 2 $D.Ladi ffrenced
2 ffd 1 correspondlÕamplitudedelÕe ncad rement.Exemple1.5.1.Iles tvidentq ue1,4<
2<1,5estunencadrementde
2dÕamplitude
1,5ff1,4=0,1=10
"1 virgule. DÞnition1.5.2.Soitx$Retc onsidronsunencadrementdexdÕamplitude10 "n i.e.d 1 &x&d 2 avecd 1 ,d 2 $Detd 2 ffd 1 =10 "n pourn$N. LÕundeces deuxno mbresestp lusprochede xquelÕaut re,ilsÕagitdelÕarrond i10 "n dex.Exemple1.5.2.
Sin=3,nousavons1,414&
2vaut1,414.
12CHAPITRE1.ENSEMBLE SDENOM BRES
1.6Sous -ensemblesdeR
Iles tparfois utiledÕtudierdessous -ensemblesdeR,cÕestdireunecollectiondenombrerels.
1.6.1Lesint ervalles
Lorsquenoustudieron sdesfonctions, nousauronsconsidrerdesso us-ensem blesparticuliers deRappelsintervalles.IlpeutsÕagirdesegment,dedemi-droiteouencoredeladroitedesr elsDbutonsparlessegment s:
Voyonsprsentl eca sdesdemi-droites:
Remarque.1.Il fautpren dregardedansqu elsenslessymbol es[et] sontplacs.Silecrochetesttou rnversÇlÕinterieurÈ, celasigniÞe qu elÕextrmitdusegment(oudelademi-droite)
faitpartid elÕensembleenq uestio n;aucontraire,silecrochetestto urnversÇ lÕextrieurÈ,
celasign iÞequelÕextrmitdusegm ent(oudela demi-droite)est exclue.2.At tentionaufaitsuivant:lessym bole s±'nes ontpasdesnombres relse t,auly ce,le
crochetsetrouvant ctde cesymboleesttoujoursouvert (pourexclu recettevaleur).1.7.ENCA DREMENTETVALEURABSOLUE13
Notonsaupassag equeR=]ff';+'[.Pa rlasuite,ils era importantdesavo irpa sserdÕune notationlÕautre.1.7Enca drementetvaleurabsolue
Lava leurabsolueestun enouvellefonctionquiperm etdemes ureladi stances entredeuxpoints, elleestgal ementuti lepourreprsentercertain sintervalles. DÞnition1.7.1.Lav aleurabsoluedÕunen ombrerelxestdÞni ecommesuit: |x|= ff xsix(0 ffxsox&0Voyonssurquelque sexemple s.
Exemple1.7.1.1.|7|=7car7(0alorsque|ff2,3|=ff(ff2,,3)=2 ,3carff2,3&0.2.|1ff
2|=2ff1car1<
2)1,414...donc1ff
2<0,pou rcalculerl avaleurabsolue
nousdevons prendrelÕoppos de1ff 2.3.|1+ff|=1+ffcar1+ff>0.
Voiciquelques propritssatisfaitespa rlavaleurabsolue.Proposition4.Danscequ isuit a,b$R
1.|a|(0,|a|=|ffa|et|a|
2 =a 22.|affb|=|bffa|et|ab|=|a|%|b|
3.(I ngalittriangulaire)|affb|&|a|+|b|
LadÞ nitiondedistanceci-dessousen termed evaleurabsolue,perm etdÕinterprtercert ainesdesasse rtionsdelapropositionprcdente s.L adista nceentredeuxpo intsaetbestdÞni ecomme
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