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Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels ? appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs ? On dit que l'ensemble ? est inclus dans l'ensemble ?
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I Ensembles de nombres 1 Les entiers naturels N est l'ensemble des entiers naturels (positifs et sans partie décimale) : N = {0; 1; 2; 3; ; 122; 123;
Quelle sont les ensemble de nombre ?
Les ensembles de nombres et leurs notations
Il désigne l'ensemble des nombres entiers naturels (exemples : 0 1 2 3 7). Si l'on note ?*, cela signifie que l'on exclut le zéro. L'ensemble ? vient de l'allemand zahlen qui signifie compter.Qu'est-ce qu'un ensemble de nombres ?
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ?. Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ?. Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.Comment trouver les ensembles de nombres ?
Quels sont les ensembles de nombres les plus communs ? En mathématique, il existe l' ensemble des entiers naturels N (ou ?), l' ensemble des entiers relatifs Z (ou ?), l' ensemble des nombres rationnels Q (ou ?), l' ensemble des nombres réels R (ou ?) et l' ensemble des nombres complexes C (ou ?).
I Ensembles de nombres
1. Les entiers naturels
Nest l"ensemble desentiers naturels(positifs et sans partie décimale) :N={0;1;2;3;...;122;123;...}
C"est un ensemble infini. Chaque entier naturelnadmet un successeurn+ 1.2. Les entiers relatifs
Zest l"ensemble desentiers relatifs(positifs, négatifs et sans partie décimale) :Z={...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...}
ZcontientNce qui signifie que tout entier naturel est un entier relatif.3. Les rationnels
Qest l"ensemble des nombresrationnels: ce sont les nombres qui peuvent s"écrire comme le quotientsde deux
entiers relatifs. Parmi les rationnels :Certains nombres ont une écriture décimale finie (qui s"arrête) : ce sont lesdécimaux. Leur ensemble est
noté D.Exemple 1
D"autres ont une écriture décimale périodique (qui se répète) et infinie : ce sont desrationnels non
décimaux.Exemple 2
4. Les réels
Rest l"ensemble des nombresréels: ce sont les nombres donnant l"abscisse de n"importe quel point sur une
droite graduée. Parmi les réels, certains ne sont pas rationnels, on les qualified"irrationnels.Exemple 3
En résumé :
Les ensembles de nombres sont contenus les uns dans les autres :On note :
N?Z?D?Q?R
?signifie : "est inclus dans" ou "est contenu dans". II Rappels des formules à connaître par coeurDévelopper
SOMME PRODUIT
Factoriser
My Maths Space1 sur 6
SecondeChapitre 1 : Calcul algébrique, Intervalles et repérage2014-2015 Savoir :Une DIFFERENCE c"est comme une somme : 3-2 = 3 + (-2)Savoir :
Un QUOTIENT c"est comme un produit :32= 3×12
Distributivité simple :
k(a+b) =ka+kb
a+b k=ak+bkDouble distributivité :
(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd
Egalités remarquables :
(a+b)2=a2+ 2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a-b) =a2-b2
Signe-devant un produit ou un quotient :
-a×b= (-a)×b=a×(-b)
a b=-ab=a-bQue faire d"un signe-devant une somme?
-(a+b) =-a-b
+(a+b) =a+b
III Exemples de développements
Développer et réduire
1. 2x(3x-6) =
2.-3x2(3x+ 5) + 3x2=
3. (-2x+ 5)(3x-6) =
4.-(x+ 2)(3x-1) =
5. 2x-(3x-6) =
6. +(2x-6)-x
3= 7. x-6 7? 28. (3x+ 1)2=
9. ?x3-1??x3+ 1?
10. 1-3x-2
3=IV Les intervalles
IV.1 Définition
Définition 1:
Soientaetbdeux nombres réels tels quea < b.
L"ensemble des nombres réelsxtels quea?x?best appelé intervalle fermé deR. On le note[a;b].Représentation graphique : [a;b]
My Maths Space2 sur 6
SecondeChapitre 1 : Calcul algébrique, Intervalles et repérage2014-2015 Il existe d"autres types d"intervalles deR, les voici résumés dans un tableau. Intervalles deREnsemble des x réels tels que Représentation graphique-∞et +∞sont des symboles et non des nombres. Crochets des intervalles toujours ouverts du côté de l"infini.
L"ensembleRdes nombres réels se note également ]-∞;+∞[.EXERCICE 1:
1. Quel encadrement vérifiexsix?]-2;3]?
2. Six?]-10;-1[ alors ...
3. Six?]- ∞;4] alors ...
EXERCICE 2:
1. Résoudre l"inéquation-2x-5?3x+ 11 et donner l"ensemble des solutions sous forme d"un intervalle.
2. Résoudre l"inéquation
x-34+x6<2x-33et donner l"ensemble des solutions sous forme d"un intervalle.
IV.2 Intersection de deux intervalles
Définition 2: L"intersection de deux ensemblesAetBest l"ensemble des éléments qui appartiennent àAetB.
On note cette intersectionA∩Bet cela se lit "A inter B".Remarque 1: Il se peut qu"aucun élément n"appartienne aux deux ensembles, on écrit alorsA∩B=∅(∅se
prononce "ensemble vide" ) EXERCICE 3: Déterminer [-2;3]∩]0;12] , ]- ∞;0]∩[1;2] puis [2;5]∩]2;+∞[My Maths Space3 sur 6
SecondeChapitre 1 : Calcul algébrique, Intervalles et repérage2014-2015IV.3 Réunion de deux intervalles
Définition 3: La réunion de deux ensemblesAetBest l"ensemble des éléments qui appartiennent àAouB. ( les
éléments peuvent éventuellement appartenir aux deux : "ou" inclusif ) On note cette réunionA?Bet cela se lit "A union B". EXERCICE 4: Déterminer [-2;3]?]0;12] , ]- ∞;0]?[1;2] puis [2;5]?]2;+∞[ EXERCICE 5: Quels sont les nombresxsolutions de l"encadrement suivant :-5<2(x-6)-(5-2x)?4?EXERCICE 6: Donner la négation de :-3< x?7
V Démontrer une égalité
Définition 4: Une égalité est une relation de la forme : Pour toutx?D,expressionA(fonction dex) =expressionB(focntion dex) oùDest un intervalle ou une réunion d"intervalles ou réduit à unnombre.Démontrer l"égalité, c"est prouver que pour n"importe lequel desxdeD, l"égalité est vérifiée. CommeDcontient
un nombre infini de nombres, cela ne peut pas se faire au cas parcas.Une technique : Écrire l"une des deux expressions et parvenir à l"autre après transformations (développer, factoriser,
réduire au même dénominateur, ...) : expressionA= ...= ...= ...= ...= expressionBEXERCICE 7Démontrer que pourx?= 3,2x+ 9
x-3= 2 +15x-3My Maths Space4 sur 6
SecondeChapitre 1 : Calcul algébrique, Intervalles et repérage2014-2015EXERCICE 8:Un nombre solution d"une équation.
Le nombre-2 est-il solution de l"équationx2+ 4x= 2(3x+ 4)?Traduction : ...
technique : ?Je remplacexpar-2 dans le membre de gauche-→ ?Je remplacexpar-2 dans le membre de droite-→ conclusion :EXERCICE 9: Utilisation de la calculatrice
Conjecturer et prouver des égalités algébriques.1. Compléter le tableau de valeurs suivant : vous pouvez utiliser la calculatrice en saisissant 2 formules et lire les
résultats dans les 3 premières colonnes de la table de valeurs.Procédure calculatrice :
x-2 -1,5 -1 -0.5 0 0,5 1 1,5C(x) = (x+ 2)(2x-3)-(3x-2)2
D(x) =-7x2+ 13x-10
2. Quelle conjecture peut-on faire?
3. Prouver cette conjecture.
EXERCICE 10:
1. Calculer les valeurs de l"expressionD(x) =x2-1
x-1-x, pourxallant de 5 à 10 avec un pas de 0,52. Quelle conjecture peut-on faire?
3. Prouver cette conjecture.
VI Repérage
VI.1 Coordonnées dans un repère
Définition 5Un repère du plan est la donnée de trois points non alignésO,IetJ. La droite(OI)s"appelle l"axe
des abscisses et la droite(OJ)s"appelle l"axe des ordonnées.Oest l"origine du repère.My Maths Space5 sur 6
SecondeChapitre 1 : Calcul algébrique, Intervalles et repérage2014-2015Remarque 2:
?Lorsque le triangleOIJest rectangle, on dit que le repère est orthogonal.?Lorsque le triangleOIJest rectangle et isocèle, on dit que le repère est orthonormal. (cas le plus courant en
mathématiques)Propriété 1:
Soit (O,I,J) un repère du plan. A tout pointMdu plan, on as- socie un unique couple (xM;yM) de nombres réels appelé couple de coordonnées.xMest appelél"abscissedeMetyMest appelé l"ordonnéedu pointM.Exemple 4
OIJVoir documents de Mathsenligne.
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