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Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireM´ethodes et techniques des exercices

Etudier si une famille est une baseSoitEunK-espace vectoriel.

Comment d´ecider si une famille donn´ee de vecteurs deEest une base deE?-La premi`ere question qu"il faut se poser c"est :

Est-ce que la dimension deEest connue et finie?-Si non, on doit revenir `a la d´efinition -Si oui, on commence par regarder le nombre d"´el´ements de la famille : -Si ce nombre est diff´erent de la dimension, cette famille ne peut ˆetre une base;-Si ce nombre est ´egal `a la dimension, il suffit de v´erifier que cette famille

est libre ou g´en´eratrice.-Autre possibilit´e : utiliser une application lin´eaire bijective

Nombre de vecteurs ´egal `a la dimension : famille libre ou g´en´eratrice? Pour cela, si les vecteurs sont donn´es par leurs composantes dans une base connue on peut Se ramener `a ´etudier un syst`eme lin´eaire ou

Echelonner la famille de vecteurs

ou si on sait le faire, calculer le d´eterminant de cette famille de vecteurs.

Etudier un syst`eme lin´eaire

Pour d´emontrer que la famille est libre dans le cas o`uEest de dimension finien, onse ram`ene `a un syst`eme lin´eaire, En effet, soit (e1,...,en) une base deEet une famille finie (u1,...,un) de vecteurs deEdonn´es par leurs coordonn´ees dans la base (e1,...,en) deE.

Soientλ1,...,λndes scalaires tels que

juj= 0 Il s"agit de d´emontrer que lesλisont tous nuls. Cette ´equation vectorielle est ´equivalente `a un syst`eme lin´eaire d"inconnuesλ1,...,λn.1

Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireDire que(u1,...,up)est une famille libre deE, c"est dire que

la seule solution du syst`eme est pour touti,λi= 0. Exemple.La famille (u,v,w) o`uu= (1,2,1),v= (2,1,2) etw= (1,-1,2) est-elle une base deR3? Le nombre d´el´ements de la famille est bien ´egal `a la dimension. D´emontrons que cette famille est libre. Soientλ1, λ2, λ3tels queλ1u1+λ2u2+λ3u3= 0. On aboutit `a la r´esolution du syst`eme lin´eaire :??

1+ 2λ2+λ3= 0

2λ1+λ2-λ3= 0

1+ 2λ2+ 2λ3= 0

La m´ethode du pivot de Gauss conduit au syst`eme ´equivalent suivant :

1+ 2λ2+λ3= 0

-3λ2-3λ3= 0 3= 0 Ce syst`eme triangulaire a pour unique solutionλ1=λ2=λ3= 0. Donc (u,v,w) est une famille libre donc une base deR3.

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Une autre m´ethode : ´echelonner la famille de vecteurs On peut ´echelonner la famille de vecteurs, dans le cas o`uEest de dimension finie ´egale `anet la famille (u1,...,un) est donn´ee par les coordonn´ees de chacun de ses vecteurs dans une base deE. En ´echelonnant la famille (u1,...,un), on obtient une famille de vecteurs plus simple `a manipuler, engendrant aussi Vect(u1,...,un). Si cette nouvelle famille est ´echelonn´ee sans apparition de vecteurs nuls au cours de l"´echelonnement, on peut conclure que la famille initiale est une base. (Exemple 1) Si cette nouvelle famille ne comporte pas assez de vecteurs, on peut conclure que la famille initiale n"est pas g´en´eratrice et ainsi ne peut ˆetre une base deE. (Exemple 2)2

Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireExemple 1La famille (u,v,w) o`uu= (1,2,1),v= (2,1,2) etw= (1,-1,2)

est-elle une base deR3? On a u v w( (1 2 1) (2 1 2) (1 -1 2) La m´ethode d"´echelonnement conduit `a consid´erer les deux vecteurs :v?=v-2u etw?=w-u. u v ?w?( (1 2 1) (0 -3 0) (0 -3 1) A l"´etape suivante, on termine l"´echelonnement en calculantw" =w?-v?. u v ?w"( (1 2 1) (0 -3 0) (0 0 1) Comme Vect(u,v,w) = Vect(u,v?,w") et la famille (u,v?,w") est ´echelonn´ee sans vecteurs nuls. C"est donc une famille libre de 3 vecteurs et de l`a une base deR3. Ainsi (u,v,w) est une famille g´en´eratrice et, de l`a, une base deR3.

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Exemple 2La famille (u,v,w) o`uu= (1,2,1),v= (2,1,2) etw= (1,-1,1) est-elle une base deR3? On a u v w( (1 2 1) (2 1 2) (1 -1 1) La m´ethode d"´echelonnement conduit `a consid´erer les deux vecteurs :v?=v-2u etw?=w-u. u v ?w?( (1 2 1) (0 -3 0) (0 -3 0) )3

Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireComme on constate quew?=v?, on a Vect(u,v,w) = Vect(u,v?,w?) = Vect(u,v?).

Puisque la famille (u,v?) ne comporte que deux vecteurs, elle ne peut pas engendrer R

3qui est de dimension 3. Donc (u,v,w) n"est pas une base deR3.

Retour au d´ebutRevenir `a la d´efinitionquand la dimension et la famille sont infinis.

On doit alors v´erifier que la famille est-libre : il faut s"assurer que pour toute combinaison lin´eaire (finie, bien sˆur!)

nulle d"´el´ements de la famille, tous les coefficients sont nuls.-g´en´eratrice : tout ´el´ement deEest combinaison lin´eaire (finie, bien sˆur!)

d"´el´ements de la famille.

Retour au d´ebut4

Base raisonn´ee d"exercices de math´ematiques (Braise)Alg`ebre lin´eaireUtiliser une application lin´eaire bijective

Si on connaˆıt une application lin´eairef:V→Ebijective, c"est-`a-dire un isomor- phisme, et si, pouri?I,ui=f(vi), o`u (vi)i?Iest une base deV(finie ou non), on en d´eduit que (ui)i?Iest une base deE.

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