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Université Paris VILM120

Pierre et Marie CuriePCME24

Feuille d"exercicen° 3.

Exercice 1.Soitaun nombre complexe different de0. Etudier le système suivant selon les valeurs dea: (1)? ?x+1a3y-az= 0 -a2x-a2y+a3z= 0 -a3x-a3y+z= 0. Exercice 2.Les familles suivantes deR3sont-elles libres, génératrices???-213? ,?5-41?? ,??310? ,?201? ,?111?? ,??310? ,?201? ,?511?? ,(2) ??102? ,?524? ,?302?? ,??312? ,?431? ,?111?? ,??012? ,?111? ,?-101? ,?101?? .(3)

Exercice 3.SoitB:={w1,w2,w3}une base deR3. Soit

(4)v1:=w1+w2+w3, v2:=w2+w3, v3:=w3. (1) Donner les coordonnées dev1,v2etv3dans la baseB. (2) Montrer queE:={v1,v2,v3}est une base deR3. (3) Soituun vecteur de coordonnées?1-12? dans la baseB. Donner ses coor- données dans la baseE. (4) Soithun vecteur de coordonnées? -54-3? dans la baseE. Donner ses coor- données dans la baseB. Exercice 4.Les ensembles suivants sont-t-il des sous-espaces vectoriels deR3? a)F={?xyz? ?R3:x+y= 0}d)I={?xyz? ?R3: 7x+ 2y+ 3z= 1} b)G={?xyz? ?R3:x2-y2= 0}e)L={?xyz? ?R3:?x+y-3z= 0

3x-y-z= 0}

c)H={?xyz? ?R3:x+y+z= 0}f)M={?xyz? ?R3:? x+y+z= 0 x

2-y2= 0}

Exercice 5.Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et repondre aux questions posées. (1) La famille{?1-10? ,?0010? }est une base deF; (2) La famille{?1-10? ,?0010? }engendreF; (3) Les vecteurs{?110? ,?1-11? }appartiennent àG; (4) Tout vecteur deGpeut s"écrire comme combinaison linéaire des vecteurs {?110? ,?1-11? (5) Trouver une base deHet deI; (6) Les vecteurs{?121? ,?484? }appartiennent àL; forment une base deL; engendrentL? ; (7) Le vecteur?242? est une base deL; engendreL; (8) Les vecteurs{?11-2? ,?1-10? }appartiennent àM; forment une base deM; (9) Préciser la dimension de F, G, I, L. 1 2

Corrigé de la feuille 3

1. Exercice 1

Le système sous forme matricielle est

(5)?

1 1/a3-a

-a2-a2a3 -a3-a31? ?xyz? =?000?

Reduisons par la méthode du pivot de Gauss :

(6)

1 1/a3-a

-a2-a2a3 -a3-a31? 1

2+a2?1

3+a3?1?

1 1/a3-a

0-a2+1

a0

0 1-a31-a4?

1a? 2? 3?

1 1/a3-a

0 1-a30

0 1-a31-a4?

Remarquer que la dernière réduction (?2?a?2) est légitime car par hypothèse a?= 0. •La réduction suivante est : (7)?

1??1-1

a3(1-a3)?2

2??2/1-a3

3??3-?2

de sorte que la matrice suivante est de la forme?1 0 ?0 1 ?0 0 ?? Cette réduction ne peut se faire que si1-a3?= 0! Il faudra donc discuter selon les valeurs deasuivant que1-a3= 0. Ce qui revient àa=racine3èmede l"unité. Nous rappelons que les racines3èmede l"unité sont les nombres complexes suivants : (8)1, e2iπ/3, e4iπ/3. •Nous étudions d"abord les cas particuliersa= 1,a=e2iπ/3eta=e4iπ/3. •Sia= 1, le système est simple, il a une infinité de solutions et la dimension de son espace de solutions est2: (9)?1 1-10 0 00 0 0?? xyz? =?000? ??x=z-y . •Sia=e2iπ/3, la matrice de l"équation (6) devient?

1 1-e2iπ/3

0 0 0

0 0 1-e8iπ/3?

. On re- marque que l"on a :

On a donc

(11)?

1 1-e2iπ/3

0 0 0

0 0 1-e2iπ/3?

1+e2iπ/3

1-e2iπ/3?3

3/(1-e2iπ/3)

2? 1 1 0 0 0 1

0 0 0?

Le système a une infinité de solutions et son espace de solutions est de dimension 1: (12)?1 1 00 0 10 0 0?? xyz? =?000? ???x=-y z= 0 •Sia=e4iπ/3, la matrice de l"équation (6) devient?

1 1-e4iπ/3

0 0 0

0 0 1-e16iπ/3?

. On re- marque que l"on a :

On a donc

(14)?

1 1-e4iπ/3

0 0 0

0 0 1-e4iπ/3?

1+e4iπ/3

1-e4iπ/3?3

3/(1-e4iπ/3)

2? 1 1 0 0 0 1

0 0 0?

3 Le système a une infinité de solutions, son espace de solutions est de dimension1: (15)?1 1 00 0 10 0 0?? xyz? =?000? ???x=-y z= 0 •Supposons maintenant queane soit pas une racine3èmede l"unité, c"est-à-dire que1-a3?= 0. Nous effectuons la réduction (7). On trouve (16)

1 1/a3-a

0 1-a30

0 1-a31-a4?

1-1 a3(1-a3)?2

2/1-a3

3-?2? 1 0-a 0 1 0

0 0 1-a4?

Maintenant deux cas se présentent1-a4= 0ou1-a4?= 0. •(cas extrême) Si1-a4= 0(c"est-à-dire siaest une racine4èmede l"unité), alors le système devient (17)?1 0-a0 1 00 0 0?? xyz? =?000? x=az y= 0

L"espace de solutions est de dimension1.

•(cas générique) Si1-a4?= 0(c"est à dire sian"est pas une racine4èmede l"unité), alors la forme échelonnée réduite devient (18)? 1 0-a 0 1 0

0 0 1-a4?

1+a (1-a4)?3 2

3/(1-a4)?

1 0 0 0 1 0

0 0 1?

Le système devient

(19) ?1 0 00 1 00 0 1?? xyz? =?000? ???x= 0y= 0 z= 0 il y a donc une unique solution. arang(A)dim SolSol a= 112x=z-y a=e2iπ/321 ?x=-y z= 0 a=e4iπ/321 ?x=-y z= 0 a?= 1,e2iπ/3,e4iπ/3a=e2iπ/421 ?x=az y=0 a=eiπ21 ?x=az y=0 a=e3iπ/221 ?x=az y=0 a?=e2iπ/4,eiπ,e3iπ/230 ?x=0 y=0 z=0 4

2. Exercice 2

Soit (20){v1,...,vn} une famille de vecteurs dans un espace vectorielV. •On dit qu"un vecteurwdeVest uneCOMBINAISON LINÉAIRE dev1,...,vnsiwpeut s"écrire comme (21)a1v1+a2v2+···+anvn= 0, oùa1,...,ansont des nombres réels. •La famille{v1,...,vn}estLIÉEs"il existe des nombres réelsb1,...,bn vérifiant les deux conditions suivantes (1)b1v1+b2v2+···+bnvn= 0; (2) Au moins un, parmi les nombresb1,...,bn, est non nul. •La famille{v1,...,vn}estLIBREsi elle n"est pas liée. •La famille{v1,...,vn}estGÉNÉRATRICE(deV) sitout vecteur wdansVestcombinaison linéairede{v1,...,vn}. C"est-à-direwpeut s"écrire comme (22)w=a1v1+···+anvn, oùa1,...,ansont des nombres réels. •La famille{v1,...,vn}est uneBASE(deV) si elle estlibreet génératrice. •L"ESPACE ENGENDRÉpar{v1,...,vn}est lesous-espacede Vformé par les vecteurswqui sont combinaison linéaire de{v1,...,vn}. 5

À SAVOIR

Soit (23){v1,...,vn} une famille de vecteurs dans un espace vectorielV. •On note (24)(v1,...,vn) la matrice dont les colonnes sont les vecteursv1,...,vn. Par exemple si n= 4et siv1=?111? ,v

2=?210?

,v

3=?536?

,v

4=?017?

, alors (25)(v1,v2,v3,v4) =?1 2 5 01 1 3 11 0 6 7? •On note (26)<{v1,...,vn}> le sous-espace vectoriel deVengendré par{v1,...,vn}. •Lerangde la matrice(v1,...,vn)est égale à ladimensionde l"espace engendrépar{v1,...,vn}: (27) rang(v1,...,vn) =dim<{v1,...,vn}> . •Soient d:= dim(V),(28) En fait, comme les vecteursv1,...,vnappartiennent àV, l"espace vectoriel qu"ils engendrent est contenu dansVet il a donc une di- mensionrinférieure ou égale à celle deVqui estd. D"autre part on sait que le rangrde la matrice(v1,...,vn)est toujour inférieur au nombre de colonnes qui estn. - On aquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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