[PDF] SYSTEMES LINEAIRES 13-Sept-2004 Le nombre

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SYSTEMES LINEAIRES

P. Pansu

September 13, 2004

1 Motivation

On rencontre des syst`emes lin´eaires `a la fois dans la vie courante et dans des probl`emes pos´es

par les sciences.

2 Objectif

Savoir r´esoudre (i.e. d´ecrire l"ensemble des solutions) `a la main un syst`eme lin´eaire de petite

taille. Savoir conduire une discussion lorsque le syst`eme d´epend d"un param`etre. Savoir interpr´eter g´eom´etriquement les r´esultats obtenus.

3 G´en´eralit´es

a. D´efinition: syst`eme lin´eaire Une ´equation lin´eaire `aninconnues s"´ecrit a

1x1+a2x2+···+anxn=b

o`ua1,...,ansont lescoefficientsde l"´equation,best lesecond membre,x1,...,xnd´esignent les inconnues. b. Exemple

L"´equationy= 2x-1 repr´esente une droite affine dans le plan. C"est une ´equation lin´eaire `a

deux inconnues, car on peut l"´ecrire

2x1-x2=-1

o`u on a simplement chang´e les noms des inconnues :x=x1ety=x2. c. Exemple

L"´equationx+2y-3z= 2 repr´esente un plan affine dans l"espace. C"est une ´equation lin´eaire

`a trois inconnues. d. D´efinition: syst`eme lin´eaire (suite)

Unsyst`eme lin´eaire dep´equations `aninconnuesconsiste `a se donnerp´equations lin´eaires

ayant les mˆemes inconnuesx1,...,xn. On range les coefficients desp´equations dans un tableau rectangulaire `aplignes etncolonnes appel´ematrice du syst`eme, et les second membre en une colonne appel´eesecond membredu syst`eme. Le syst`eme de matriceAet de second membreBpeut s"´ecrire symboliquementAX=Bo`uXd´esigne la colonne des inconnuesX=( (x 1... x n) e. Exemple 1 Chercher l"intersection des droites affinesDd"´equationy= 2x-1 etD?d"´equationy=-x+2 revient `a r´esoudre le syst`eme lin´eaire ?2x-y= 1 x+y= 2.

La matrice du syst`eme est

?2-1 1 1? et le second membre?1 2? f. Exemple Chercher l"intersection des plans affinesPd"´equationx+2y-3z= 2 etP?d"´equation 2x-y+z=

3 revient `a r´esoudre le syst`eme lin´eaire

?x+ 2y-3z= 2 x+y+z= 3.

La matrice du syst`eme est

?1 2-3

1 1 1?

et le second membre?2 3? g. D´efinition: syst`eme lin´eaire (suite et fin) Unesolutiond"un syst`eme dep´equations `aninconnues, c"est unn-uplet (x1,...,xn) de nom-

bres qui satisfont simultan´ement lesp´equations du syst`eme.R´esoudrele syst`eme, c"est d´eterminer

l"ensemble de toutes ses solutions, un sous-ensemble deRn. Deux syst`emes lin´eaires sont dits ´equivalentss"ils poss`edent les mˆemes solutions. h. Exemple

Le syst`eme

?2x-y= 1 x+y= 2 poss`ede une unique solution (1,1). C"est le point d"intersection des droitresDetD?. Le syst`eme ?x+ 2y-3z= 2 x+y+z= 3.

poss`ede une infinit´e de solutions. En effet, l"intersection des plansPetP?est une droite affine,

qui poss`ede une infinit´e de points. On d´ecrit une droite affine de fa¸conparam´etrique. Dans une

droite affine, il y a exactement une direction pour se d´eplacer, un "degr´e de libert´e". La droite est

balay´ee par un point d´ependant d"un param`etreλ. Ici, les solutions sont les points de la forme

?x= 4-5λ y=-1 + 4λ z=λ, o`uλd´ecritR.

4 Sous-espaces vectoriels et affines

a. D´efinition: sous-espace vectoriel Un sous-ensembleEdeRnest unsous-espace vectoriels"il est stable par combinaison lin´eaire, i.e. si pour tousv,v??Eetλ,λ??R, le vecteurλv+λ?v?est encore dansE. b. Exemple Une droite passant par l"origine dans le plan ou l"espace est un sous-espace vectoriel. c. Exemplefondamental 2 L"ensemble des solutions d"un syst`eme lin´eairehomog`ene, i.e. dont le second membre est nul, est un sous-espace vectoriel.

On cherche maintenant `a d´efinir le "nombre de degr´es de libert´e" dans un espace vectoriel, i.e.

le nombre de param`etres dont d´epend un ´el´ement du sous-espace. Unerepr´esentation param´etrique

d"un sous-espace vectorielEdeRnprend la forme suivante :v1,...,vdsont des vecteurs deE. Un vecteurvest dansEsi et seulement si il existe des nombresλ1,...,λduniques tels que v=λ1v1+···+λdvd. d. D´efinition: base Une famille (v1,...,vd) de vecteurs d"un sous-espace vectorielEest unebasedeEsi tout vecteur

vposs`ede une ´ecriture uniquev=λ1v1+···+λdvdcomme combinaison lin´eaire dev1,...,vd.

e. Exemple Consid´erons la droiteDd"´equationy= 2xdans le planR2. C"est un sous-espace vectoriel. Soitv1= (1,2). On remarque que tout vecteurvdeDs"´ecrit de mani`ere uniquev= (x,y) = (x,2x) =x(1,2) =xv1. Par cons´equent,v1est une base deD. Th´eor`eme 1Tout sous-espace vectorielEdeRnadmet une base. Le nombre d"´el´ements de la base est le mˆeme pour toutes les bases. f. D´efinition: dimension Ladimensiond"un sous-espace vectorielEdeRnest le nombre d"´el´ements d"une base deE. Par convention, la dimension du sous-espace vectoriel{0}vaut 0. Un sous-espace vectoriel de dimension 1 s"appelle unedroite vectorielle. Un sous-espace vectoriel de dimension 2 s"appelle un plan vectoriel. Un sous-espace vectoriel de dimensionn-1 s"appelle unhyperplan vectoriel. g. Propri´et´es de la dimension Proposition 1SoientEetFdeux sous-espaces vectoriels deRn. SiEest contenu dansF(not´e h. Moralit´e

D´ecrire un sous-espace vectoriel, c"est en donner une base. Etant donn´e un syst`eme lin´eaire

homog`ene (S), `a la question "d´eterminer les solutions de (S)", la r´eponse consiste `a calculer une

base de l"espace des solutions. i. Exemple

Consid´erons le syst`eme homog`ene

?x+ 2y-3z= 0 x+y+z= 0. En ´eliminantxentre les deux ´equations, on arrive au syst`eme ´equivalent ?x+ 2y-3z= 0 y-4z= 0, puis `a ?x=-5z y= 4z. Autrement dit, toute solution du syst`eme s"´ecrit uniquementv= (x,y,z) = (-5z,4z,z) = z(-5,4,1), donc l"ensemble des solutions est le sous-espace vectoriel de basev1= (-5,4,1). j. D´efinition: sous-espace affine 3 SoitEun sous-espace vectoriel deRn, etv0?Rn. Lesous-espace affineFpassant parv0et de directionEest l"ensemble des vecteurs de la formev0+vo`uvd´ecritE. Sa dimension est celle deE, par d´efinition. Les points{v}sont des sous-espaces affines de dimension 0. On peut parler dedroites, plansethyperplans affines. k. Exemple La droite affine d"´equationy= 2x-1 dans le planR2est le sous-espace affine passant par v

0= (0,-1) et dont la direction est la droite vectorielle de basev1= (1,2).

Th´eor`eme 2Soit(S)un syst`eme lin´eaire,(H)le syst`eme homog`ene associ´e (mˆeme matrice, mais

second membre nul). Soitv0une solution particuli`ere de(S). Alors l"ensembleSdes solutions de (S)est le sous-espace affine passant parv0et de direction l"ensembleEdes solutions de(H). Si(v1,...,vd)est une base deE, l"ensembleSadmet la repr´esentation param´etrique suivante Preuve.Sivest solution de (S), alorsv?est solution de (S) si et seulement siv?-vest solution de (H).l. Moralit´e

Soit (S) un syst`eme lin´eaire. A la question "d´eterminer les solutions de (S)", la r´eponse consiste

`a donner une solution particuli`ere et une base de l"ensemble des solutions du syst`eme homog`ene associ´e.

5 Syst`emes ´echelonn´es

Ce sont les syst`emes pour lesquels la dimension de l"ensemble des solutions saute aux yeux. a. D´efinition: syst`eme triangulaire Un syst`eme lin´eaire esttriangulaires"il a autant d"inconnues que d"´equations et si tous les coefficients de sa matrice situ´es au-dessous de la diagonale sont nuls. b. Exemple

Le syst`eme

?x+ 2y-z= 4

3y-z=-1

-2z= 1 est triangulaire. Ses coefficients diagonaux 1, 3 et-2 sont non nuls. On voit `a vue d"oeil que ce

syst`eme poss`ede une et une seule solution. En effet, la derni`ere ´equation d´etermine uniquementz,

puis la deuxi`eme donney, et la premi`ere donnex. Th´eor`eme 3SoitAune matrice triangulaire `a coefficients diagonaux non nuls. Il existe une matrice triangulaire not´eeA-1telle que, pour tout second membreB, l"unique solution du syst`eme

AX=BsoitX=A-1B.

c. D´efinition: syst`eme ´echelonn´e

Un syst`eme lin´eaire est´echelonn´esi sa matrice est form´ee d"une matrice triangulaire `a co-

efficients diagonaux non nuls, `a laquelle on a ajout´e des colonnes (quelconques), puis des lignes

identiquement nulles. La taille du sous-syst`eme triangulaire s"appelle lerangdu syst`eme. d. Exemple

Le syst`eme

?x+ 2y-3z= 3 y-4z=-1 0 = 1 4

est ´echelonn´e, de rang 2. Il ne poss`ede pas de solution, puisque la derni`ere ´equation n"est jamais

satisfaite. Th´eor`eme 4Soit(S)un syst`eme lin´eaire dep´equations `aninconnues. On suppose(S)´eche- lonn´e, de rangq. Alors(S)poss`ede des solutions (on dit que(S)estcompatible) si et seulement si lesp-qderni`eres composantes du second membre sont nulles. Si c"est le cas, alors l"ensemble des solutions de(S)est un sous-espace affine deRnde dimensionn-q. On obtient une solution

particuli`erev0en imposant que lesn-qderni`eres inconnues soient nulles et en r´esolvant le syst`eme

triangulaire obtenu. On obtient une base de l"ensemble des solutions du syst`eme homog`ene associ´e

(H)en ajoutant `a(H)des ´equations qui expriment que lesn-qderni`eres inconnues sont nulles sauf une qui vaut1et en r´esolvant le syst`eme triangulaire homog`ene obtenu.

Preuve.La condition de compatibilit´e est ´evidemment n´ecessaire. Supposons la satisfaite. On

peut donc oublier lesp-qderni`eres ´equations, qui s"´ecrivent 0 = 0. Ajoutons les ´equationsxq+1= 0,...,xn= 0. On obtient un syst`eme den´equations `an inconnues, triangulaire `a coefficients diagonaux non nuls. Il poss`ede une unique solutionv0. C"est une solution particuli`ere de (S).

Consid´erons le syst`eme homog`ene (H) associ´e `a (S). Etant donn´es des nombresλq+1,...,λn,

ajoutons les ´equationsxq+1=λq+1,...,xn=λn. On obtient un syst`eme den´equations `an inconnues, triangulaire `a coefficients diagonaux non nuls, not´eA?X=B?. Il poss`ede une unique solutionX=A?-1B?. Pouri=q+1,...,n, soitBila colonne dont seule lai-`eme composante est

non nulle est vaut 1. Le vecteurvisugg´er´e par l"´enonc´e estvi=A?-1Bi. Soitv= (x1,...,xn) une

solution deH. Alors A ?v= (0,...,0,xq+1,...,xn) =xq+1Bq+1+···+xnBn donc v=A?-1(xq+1Bq+1+···+xnBn) =xq+1vq+1+···+xnvn

et cette ´ecriture est unique. Par cons´equent, (vq+1,...,vn) est une base de l"espace des solutions

de (H).e. Exercice

Suivant la valeur du param`etre r´eela, d´eterminer le rang, d´ecider si l"ensemble des solutions

du syst`eme (Sa) ci-dessous est non vide, et lorsque que c"est le cas, donner sa dimension. (Sa)? ?x+ 2y-3z= 3 (1-a)y-z=-1 az=a(a-1) f. Solution Le syst`eme (Sa) est triangulaire. Siaest distinct de 0 et de 1, les coefficients diagonaux sont non nuls, donc le rang est 3 et le syst`eme (Sa) poss`ede une solution unique.

Sia= 0, le syst`eme (S0) est ´echelonn´e de rang 2. La derni`ere ´equation, 0 = 0, est compatible,

donc (S0) poss`ede des solutions. D"apr`es le th´eor`eme 4, l"ensemble des solutions de (S0) est de

dimension 1, c"est une droite affine.

Sia= 1, le syst`eme (S1) n"est pas ´echelonn´e. N´eanmoins, il suffit de changer l"ordre des

inconnues et d"ajouter la deuxi`eme ligne `a la derni`ere pour obtenir un syst`eme ´echelonn´e ´equivalent

`a (S1), ?x-3z+ 2y= 3 -z=-1

0 = 1.

Ce syst`eme n"a pas de solution, car la derni`ere ligne est incompatible, donc (S1) n"a pas de solution.

5

6 M´ethode du pivot de Gauss

La m´ethode employ´ee pour r´esoudre un syst`eme lin´eaire quelconque consiste `a le transformer en

un syst`eme ´equivalent de plus en plus simple, jusqu"`a ce qu"il soit ´echelonn´e. a. Op´erations ´el´ementaires

Il s"agit des op´erations suivantes

1. Ajouter `a une ´equation une combinaison lin´eaire desautres´equations.

2. R´e´ecrire les ´equations en changeant l"ordre d"apparition des inconnues.

3. Permuter les ´equations.

4. Multiplier une ´equation par un nombrenon nul.

Proposition 2Par op´eration ´el´ementaire, on transforme un syst`eme lin´eaire en un syst`eme

´equivalent. Pour tout syst`eme lin´eaire(S), il existe une suite d"op´erations ´el´ementaires qui ra-

m`enent(S)`a un syst`eme ´echelonn´e.

Preuve.On construit le syst`eme ´echelonn´e ligne par ligne, i.e. apr`es lai-`eme ´etape, lesi

premi`eres lignes ne changeront plus.

La premi`ere ´etape consiste `a choisir une desp´equations et une desninconnues dont le coefficient

dans cette ´equation, appel´epivot, est non nul (les calculs sont simplifi´es s"il vaut 1, cela guide le

choix). On permute ´equations et inconnues de fa¸con `a mettre le pivot en haut `a gauche du

syst`eme. Puis on ajoute aux autres ´equations un multiple de la premi`ere ´equation de fa¸con `a

annuler le premier terme de chaque ´equation. L"´etape suivante consiste `a faire le mˆeme travail dans le sous-syt`eme obtenu en ignorant

la premi`ere ´equation et la premi`ere inconnue (qui n"apparaˆıt que dans la premi`ere ´equation

d´esormais).

Le proc´ed´e s"arrˆete lorsqu"on ne peut plus trouver de pivot dans aucune des ´equations restantes,

i.e. lorsqu"elles ont toutes un premier membre identiquement nul. Les coefficients diagonaux du syst`eme (S?) obtenu sont les pivots successifs, ils sont non nuls par construction, donc (S?) est

´echelonn´e.

L"algorithme est plus facile a saisir sur un exemple.b. Exercice

Echelonner le syst`eme suivant

?y+z= 1 x+y= 2 x+z= 3 c. Solution On choisit comme premier pivot le coefficient deydans la premi`ere ´equation. On ´elimine donc

ydans la deuxi`eme ´equation en lui retranchant la premi`ere. Il n"y a rien `a faire sur la troisi`eme.

Cela donne le syst`eme ´equivalent

?y+z= 1 x-z= 1 x+z= 3

On choisit comme deuxi`eme pivot le coefficient dexdans la deuxi`eme ´equation. On ´elimine donc

xdans la troisi`eme ´equation en lui retranchant la deuxi`eme. On obtient le syst`eme ´echelonn´e

?y+z= 1 x-z= 1

2z= 2,

6 dont le rang vaut 3. d. Exercice Suivant la valeur du param`etre r´eela, ´echelonner le syst`eme (Sa) suivant (Sa)? ?ax+ 2y-3z= 3 (1-a)y-z=-1 az=a(a-1). e. Solution Comme la matrice du syst`eme (Sa) est triangulaire, siaest distinct de 0 et de 1, le syst`eme est ´echelonn´e de rang 3. Sia= 0, on choisit pour pivot le coefficient deydans la troisi`eme ´equation, et on obtient le syst`eme ´echelonn´e ?y-z=-1 -z= 5 0 = 0 de rang 2, compatible. Sia= 1, on choisit pour premier pivot le coefficient dexdans la premi`ere ´equation (aucune

manipulation `a faire) puis le coefficient dezdans la deuxi`eme ´equation, qu"on ajoute `a la derni`ere,

ce qui conduit au syst`eme ´echelonn´e ?x-3z+ 2y=-1 -z=-1 0 =-1 de rang 2, incompatible. f. Exercice Echelonner le syst`eme suivant, en fonction du param`etrea. (Sa)?4ax+ (a+ 1)y+az=-1 (a+ 1)x+y+ (1-a)z=-1. g. Solution Il est prudent de choisir un pivot qui ne d´epend pas du param`etre. On choisit le coefficient de

ydans la seconde ´equation. On ajoute `a l"autre ´equation celle-ci multipli´ee para+ 1. Le syst`eme

obtenu ?y+ (a+ 1)x+ (1-a)z=-1 (-a2+ 2a-1)x+ (-a2+ 3a-1)z=a.

est ´echelonn´e. En effet, sia?= 1, alors-a2+2a-1 n"est pas nul. Sia= 1, le coefficient dexdans

la seconde ´equation est nul mais celui dezn"est pas nul. Dans les deux cas, le rang vaut 2.

7 R´esolution d"un syst`eme lin´eaire

a. M´ethode

On ´echelonne le syst`eme au moyen d"op´erations ´el´ementaires sur les ´equations, comme d´ecrit

au paragraphe pr´ec´edent.

D"apr`es le th´eor`eme 4, lorsqu"il est non vide, l"ensemble des solutions d"un syst`eme lin´eaire

´echelonn´e est un sous-espace affine qu"on d´ecrit au moyen d"une solution particuli`erev0et d"une

base (v1,...,vd). Ces vecteurs s"obtiennent par r´esolution d"un syst`eme triangulaire deq´equations

`aqinconnues, o`uqest le rang. 7 Voici comment on s"y prend. En divisant chaque ´equation non nulle par son pivot, on ram`ene

les pivots `a 1. En continuant avec des op´erations ´el´ementaires, on peut faire disparaˆıtre tous les

coefficients, sauf les pivots, ce qui donne le r´esultat cherch´e. Il vaut mieux expliquer le proc´ed´e sur

des exemples. b. Exemple

R´esolution du syst`eme

?y+z= 1 x+y= 2 x+z= 3. On commence par ´echelonner. On obtient le syst`eme ?y+z= 1 x-z= 1

2z= 2.

On divise chaque ´equation par son pivot (ici, seule la troisi`eme ´equation est concern´ee), on trouve

?y+z= 1 x-z= 1 z= 1.

Pour faire disparaˆıtrezdes deux premi`eres ´equations, on ajoute (resp. retranche) la derni`ere ligne

`a la deuxi`eme (resp. premi`ere). On trouve ?y= 0 x= 2 z= 1, et le tour est jou´e. c. Exercice Soitaun param`etre r´eel. D´eterminer l"intersection des trois plans affinesPd"´equationax+ y-3z= 3,Qd"´equation-ax-ay+ 2z=-4 etRd"´equationa2x+ay= 3a2. d. Solution

Cela revient `a r´esoudre le syst`eme

?ax+y-3z= 3 -ax-ay+ 2z=-4 a

2x+ay= 3a2.

On ´echelonne. On choisit comme pivot le coefficient deydans la premi`ere ´equation. On obtient

le syst`eme ´equivalent ?y+ax-3z= 3 (-a+a2)x+ (2-3a)z=-4 + 3a

3az=-3a+ 3a2.

Sia?= 0 eta?= 1, le syst`eme est ´echelonn´e de rang 3. On divise chaque ´equation par son pivot,

?y+ax-3z= 3quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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