Exercice 2 du TD 6 : comment trouver une base q-orthogonale avec
Etape 4 : On inverse P (méthode de Gauss pour l'inversion de matrices). Etape 5 : Les vecteurs colonnes de P?1 constituent une base q-orthogonale. Méthode
Les 3 formes dun système linéaire
Comment trouver une base de Im(f )? On échelonne A en ?A on repère les colonnes pivotales
Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les ???? ) est une base de si et seulement si tout vecteur.
III. Espaces vectoriels
b) Méthode pour obtenir une base `a partir d'un syst`eme d'équations cartésiennes. Exemple. Soit F le sous-espace vectoriel de R4 d'équations cartésiennes {.
Noyau et image des applications linéaires
Exo corrigé. Trouver une base du noyau de f := (xy
Dimension finie
Pour ces espaces nous allons voir comment calculer une base
Wifeo - Trouver la base conjuguée
Trouver la base conjuguée d'un acide et écrire le couple acide base. Ce qu'il faut savoir. • Un acide est une espèce chimique qui libère un ion H+ .
Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
Calculer les coordonnées de v = (1+i1?i
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure nous commençons par calculer les puissances de où.
Déterminer une matrice de passage et appliquer les formules de
La matrice du vecteur x dans la base b est la matrice colonne à n lignes dont les coeffiY c vers la base b. Calculer la matrice inverse de P notée P-1.
[PDF] Bases
Définition Une base d'un sous-espace vectoriel de Rn c'est un syst`eme générateur libre de ce sous-espace vectoriel Comme sous-espace vectoriel de Rn
[PDF] Coordonnées dans une base
Pour trouver les coordonnées d'un vecteur dans une base on écrit l'équation (vectorielle) caractéristique on convertit cette équation en syst`eme numérique on
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1 Base Exercice 1 1 Montrer que les vecteurs v1 = (011) v2 = (101) et v3 = (110) forment une base de R3 Trouver les composantes du vecteur w = (1
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Pour ces espaces nous allons voir comment calculer une base c'est-à-dire une famille minimale de vecteurs qui engendrent tout l'espace Le nombre de vecteurs
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Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d'un espace vectoriel général Dans ce chapitre désigne un
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Il est juste nécessaire de savoir trouver directement sur l'expression de la forme quadratique la matrice de la forme bilinéaire symétrique associée Voici un
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Exercice 2 du TD 6 : comment trouver une base q-orthogonale avec la méthode de Gauss ? On a vu en TD que la méthode de Gauss donnait en notant
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Demander à votre voisin de retrouver la matrice de passage de L vers r et de trouver les coordonnées dans la base L du vecteur w ayant pour coordonnées 1 et -1
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Comment montrer qu'un espace F est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E de pouvoir ensuite facilement trouver une base POINT MÉTHODOLOGIQUE
[PDF] Familles libres génératrices bases
S'il y a une base { v1 vn} de V qui compte n éléments alors – toute famille libre de V compte au plus n éléments ; – toute famille génératrice de V
Comment trouver une base ?
Pour montrer que la famille {v1,v2,v3} est une base nous allons montrer que cette famille est libre et génératrice. Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est libre. (b) Montrons que la famille {v1,v2,v3} est génératrice.Comment montrer que c'est une base ?
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + ?v) = f(u) + ?f(v) pour tous u, v ? E,? ? K. Propriétés. Si f:E ? F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(?1u1 + ··· + ?nun) = ?1f(u1) + ··· + ?nf(un).Comment trouver une base d'une application linéaire ?
On appelle base du plan vectoriel tout couple de deux vecteurs non colinéaires. Ainsi, deux vecteurs ? u et ? v non colinéaires forment une base notée ? ? (u , v ).
Dimension finie
finie. Pour ces espaces, nous allons voir comment calculer une base, c"est-à-dire une famille minimale de vecteurs
qui engendrent tout l"espace. Le nombre de vecteurs dans une base s"appelle la dimension et nous verrons comment
calculer la dimension des espaces et des sous-espaces.1. Famille libre
1.1. Combinaison linéaire (rappel)
SoitEunK-espace vectoriel.Définition 1.
Soientv1,v2,...,vp,p>1 vecteurs d"un espace vectorielE. Tout vecteur de la forme u=1v1+2v2++pvp(où1,2,...,psont des éléments deK) est appelécombinaison linéairedes vecteursv1,v2,...,vp. Les scalaires
1,2,...,psont appeléscoefficientsde la combinaison linéaire.1.2. Définition
Définition 2.
Une famillefv1,v2,...,vpgdeEest unefamille libreoulinéairement indépendantesi toute combinaison linéaire
nulle1v1+2v2++pvp=0
est telle que tous ses coefficients sont nuls, c"est-à-dire1=0,2=0, ...p=0.
Dans le cas contraire, c"est-à-dire s"il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls, on dit
que la famille estliéeoulinéairement dépendante. Une telle combinaison linéaire s"appelle alors unerelation de
dépendance linéaireentre lesvj.DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE2
1.3. Premiers exemples
Pour des vecteurs deRn, décider si une famillefv1,...,vpgest libre ou liée revient à résoudre un système linéaire.
Exemple 1.
Dans leR-espace vectorielR3, considérons la famille8 :0 @1 2 31A ,0 @4 5 61
A ,0 @2 1 01 A9 On souhaite déterminer si elle est libre ou liée. On cherche des scalaires(1,2,3)tels que 1
123
+2456
+3210
=000 ce qui équivaut au système : 81+42+23=0
21+52+3=0
31+62=0
On calcule (voir un peu plus bas) que ce système est équivalent à :123=02+3=0Ce système a une infinité de solutions et en prenant par exemple3=1on obtient1=2et2=1, ce qui fait que
20 @1 2 31A 0 @4 5 61
A +0 @2 1 01 A =0 @0 0 01 A
La famille
8 :0 @1 2 31A ,0 @4 5 61
A ,0 @2 1 01 A9 est donc une famille liée. Voici les calculs de la réduction de Gauss sur la matrice associée au système :0 @1 4 2 2 5 1
3 6 01
A 0 @1 4 2 0330661
A 0 @1 4 2 033
0 0 01
A 0 @1 4 2 0 1 10 0 01
A 0 @1 02 0 1 10 0 01
AExemple 2.
Soientv1=
111
,v2=210
,v3=211
. Est-ce que la famillefv1,v2,v3gest libre ou liée? Résolvons le système linéaire correspondant à l"équation1v1+2v2+3v3=0 :81+22+23=0
12+3=0
1+3=0On résout ce système et on trouve comme seule solution1=0,2=0,3=0. La famillefv1,v2,v3gest donc une
famille libre.Exemple 3.
2103
1251
7158
. Alorsfv1,v2,v3gforme une famille liée, car3v1+v2v3=0.
1.4. Autres exemples
Exemple 4.
Les polynômesP1(X) =1X,P2(X) =5+3X2X2etP3(X) =1+3XX2forment une famille liée dans l"espace vectorielR[X], car3P1(X)P2(X)+2P3(X) =0.
DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE3
Exemple 5.Dans leR-espace vectorielF(R,R)des fonctions deRdansR, on considère la famillefcos,sing. Montrons que c"est
une famille libre. Supposons que l"on aitcos+sin=0. Cela équivaut à8x2Rcos(x)+sin(x) =0.
En particulier, pourx=0, cette égalité donne=0. Et pourx=2, elle donne=0. Donc la famillefcos,singest
libre. En revanche la famillefcos2,sin2,1gest liée car on a la relation de dépendance linéairecos2+sin21=0. Les
coefficients de dépendance linéaire sont1=1,2=1,3=1.1.5. Famille liée
SoitEunK-espace vectoriel. Siv6=0, la famille à un seul vecteurfvgest libre (et liée siv=0). Considérons le cas
particulier d"une famille de deux vecteurs.Proposition 1. La famillefv1,v2gest liée si et seulement si v1est un multiple de v2ou v2est un multiple de v1.Ce qui se reformule ainsi par contraposition : " La famillefv1,v2gest libre si et seulement siv1n"est pas un multiple
dev2etv2n"est pas un multiple dev1. »Démonstration.
Supposons la famillefv1,v2gliée, alors il existe1,2non tous les deux nuls tels que1v1+2v2=0. Si c"est1
qui n"est pas nul, on peut diviser par1, ce qui donnev1=21v2etv1est un multiple dev2. Si c"est2qui n"est
pas nul, alors de mêmev2est un multiple dev1.Réciproquement, siv1est un multiple dev2, alors il existe un scalairetel quev1=v2, soit1v1+()v2=0, ce
qui est une relation de dépendance linéaire entrev1etv2puisque16=0: la famillefv1,v2gest alors liée. Même
conclusion si c"estv2qui est un multiple dev1.Généralisons tout de suite cette proposition à une famille d"un nombre quelconque de vecteurs.
Théorème 1.
SoitEunK-espace vectoriel. Une familleF=fv1,v2,...,vpgdep>2vecteurs deEest une famille liée si et seulement
si au moins un des vecteurs deFest combinaison linéaire des autres vecteurs deF.Démonstration.C"est essentiellement la même démonstration que ci-dessus.
Supposons d"abordFliée. Il existe donc une relation de dépendance linéaire1v1+2v2++pvp=0,
aveck6=0 pour au moins un indicek. Passons tous les autres termes à droite du signe égal. Il vient
kvk=1v12v2pvp,oùvkne figure pas au second membre. Commek6=0, on peut diviser cette égalité parket l"on obtient
v k=1 kv 12 kv 2p kv p,c"est-à-dire quevkest combinaison linéaire des autres vecteurs deF, ce qui peut encore s"écrirevk2VectF nfvkg
(avec la notation ensemblisteAnBpour l"ensemble des éléments deAqui n"appartiennent pas àB).
Réciproquement, supposons que pour un certaink, on aitvk2VectF nfvkg. Ceci signifie que l"on peut écrire
v k=1v1+2v2++pvp, oùvkne figure pas au second membre. Passantvkau second membre, il vient0=1v1+2v2+vk++pvp,
ce qui est une relation de dépendance linéaire pourF(puisque16=0) et ainsi la familleFest liée.
DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE4
1.6. Interprétation géométrique de la dépendance linéaire
•DansR2ouR3, deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s"ils sont colinéaires. Ils sont donc sur
une même droite vectorielle.DansR3, trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s"ils sont coplanaires. Ils sont donc dans un
même plan vectoriel.v 1v 20 e 2e 3e 1v 1v 2v3Proposition 2.
SoitF=fv1,v2,...,vpgune famille de vecteurs deRn. SiFcontient plus denéléments (c"est-à-direp>n), alorsF
est une famille liée.Démonstration.Supposons que v 1=0 B BB@v 11 v 21...v n11 C
CCAv2=0
B BB@v 12 v 22...v n21 C
CCA...vp=0
B BB@v 1p v 2p... v np1 C CCA.L"équation
x1v1+x2v2++xpvp=0
donne alors le système suivant8>>>< >>:v11x1+v12x2++v1pxp=0
v21x1+v22x2++v2pxp=0
v n1x1+vn2x2++vnpxp=0C"est un système homogène denéquations àpinconnues. Lorsquep>n, ce système a des solutions non triviales
(voir le chapitre " Systèmes linéaires », dernier théorème) ce qui montre que la familleFest une famille liée.Mini-exercices.
1.Pour quelles valeurs det2R,1t,t2
test une famille libre deR2? Même question avec la famillen1t t 2 t2 111t1
o deR3. 2. Montrer que toute famille contenant une famille liée est liée. 3. Montrer que toute famille inclue dans une famille libre est libre. 4.Montrer que sif:E!Fest une application linéaire et quefv1,...,vpgest une famille liée deE, alors
ff(v1),...,f(vp)gest une famille liée deF. 5.Montrer que sif:E!Fest une application linéaireinjectiveet quefv1,...,vpgest une famille libre deE, alors
ff(v1),...,f(vp)gest une famille libre deF.DIMENSION FINIE2. FAMILLE GÉNÉRATRICE5
2. Famille génératrice
SoitEun espace vectoriel sur un corpsK.
2.1. DéfinitionDéfinition 3.Soientv1,...,vpdes vecteurs deE. La famillefv1,...,vpgest unefamille génératricede l"espace vectorielEsi
tout vecteur deEest une combinaison linéaire des vecteursv1,...,vp.Ce qui peut s"écrire aussi :
8v2E91,...,p2Kv=1v1++pvpOn dit aussi que la famillefv1,...,vpgengendrel"espace vectorielE.
Cette notion est bien sûr liée à la notion de sous-espace vectoriel engendré : les vecteursfv1,...,vpgforment une
famille génératrice deEsi et seulement siE=Vect(v1,...,vp).2.2. Exemples
Exemple 6.
Considérons par exemple les vecteursv1=
100
,v2=010
etv3=001
deE=R3. La famillefv1,v2,v3gest génératrice car tout vecteurv= xyz deR3peut s"écrire xyz =x100 +y010 +z001Les coefficients sont ici1=x,2=y,3=z.
Exemple 7.
Soient maintenant les vecteursv1=
111
,v2=123
deE=R3. Les vecteursfv1,v2gne forment pasune famille génératrice deR3. Par exemple, le vecteurv=010
n"est pas dansVect(v1,v2). En effet, si c"était le cas, alors il existerait1,22Rtels quev=1v1+2v2. Ce qui s"écrirait aussi010
=1111
+2123
, d"où le système linéaire : 8quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] base d'un espace vectoriel
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