[PDF] Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base

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Exo7

Espaces vectoriels de dimension finie

1 Base

Exercice 11.Montrer que les v ecteursv1= (0;1;1),v2= (1;0;1)etv3= (1;1;0)forment une base deR3. Trouver les

composantes du vecteurw= (1;1;1)dans cette base(v1;v2;v3). 2. Montrer que les v ecteursv1=(1;1;1),v2=(1;1;0)etv3=(1;0;1)forment une base deR3. Trouver les composantes du vecteure1= (1;0;0),e2= (0;1;0),e3= (0;0;1)etw= (1;2;3)dans cette base (v1;v2;v3). 3. Dans R3, donner un exemple de famille libre qui n"est pas génératrice. 4. Dans R3, donner un exemple de famille génératrice qui n"est pas libre. DansR4on considère l"ensembleEdes vecteurs(x1;x2;x3;x4)vérifiantx1+x2+x3+x4=0. L"ensembleE est-il un sous-espace vectoriel deR4? Si oui, en donner une base. Déterminer pour quelles valeurs det2Rles vecteurs (1;0;t);(1;1;t);(t;0;1) forment une base deR3. 1. Montrer que les v ecteursv1= (1;1;i),v2= (1;i;1),v3= (i;1;1)forment une base deC3. 2. Calculer les coordonnées de v= (1+i;1i;i)dans cette base. 1.

Soit E=Rn[X]l"espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal àn. Montrer que toute famille

de polynômesfP0;P1;:::;Pngavec degPi=i(pouri=0;1;:::;n) forme une base deE. 2. Écrire le polynôme F=3XX2+8X3sous la formeF=a+b(1X)+c(XX2)+d(X2X3)

2 Dimension

Exercice 6SoitEest un espace vectoriel de dimension finie etFetGdeux sous-espaces vectoriels deE. Montrer que :

dim(F+G) =dimF+dimGdim(F\G):

On considère, dansR4, les vecteurs :

v

1= (1;2;3;4);v2= (1;1;1;3);v3= (2;1;1;1);v4= (1;0;1;2);v5= (2;3;0;1):

SoitFl"espace vectoriel engendré parfv1;v2;v3get soitGcelui engendré parfv4;v5g. Calculer les dimensions

respectives deF,G,F\G,F+G.

Montrer que tout sous-espace vectoriel d"un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie.

Indication pourl"exer cice1 NÊtre une base, c"est être libre et génératrice. Chacune de ces conditions se vérifie par un système linéaire.

Indication pour

l"exer cice

2 NEest un sous-espace vectoriel deR4. Une base comporte trois vecteurs.Indication pourl"exer cice3 NC"est une base pourt6=1.Indication pourl"exer cice4 NIl n"y a aucune difficulté. C"est comme dansR3sauf qu"ici les coefficients sont des nombres complexes.Indication pourl"exer cice5 NIl suffit de montrer que la famille est libre (pourquoi ?). Prendre ensuite une combinaison linéaire nulle et

regarder le terme de plus haut degré.Indication pourl"exer cice6 NPartir d"une base(e1;:::;ek)deF\Get la compléter par des vecteurs(f1;:::;f`)en une base deF. Repartir de

(e1;:::;ek)pourlacompléterpardesvecteurs(g1;:::;gm)enunebasedeG. Montrerque(e1;:::;ek;f1;:::;f`;g1;:::;gm)

est une base deF+G.Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord les dimensions deFetG. Pour celles deF\GetF+Gservez-vous de la formule dim(F+

G) =dimF+dimGdim(F\G).Indication pourl"exer cice8 NOn peut utiliser des familles libres. 3

Correction del"exer cice1 N1.Pour montrer que la f amillefv1;v2;v3gest une base nous allons montrer que cette famille est libre et

génératrice. (a) Montrons que l af amillefv1;v2;v3gest libre. Soit une combinaison linéaire nulleav1+bv2+cv3=

0, nous devons montrer qu"alors les coefficientsa;b;csont nuls. Ici le vecteur nul est 0= (0;0;0)

av

1+bv2+cv3= (0;0;0)

()a(0;1;1)+b(1;0;1)+c(1;1;0) = (0;0;0) ()(b+c;a+c;a+b) = (0;0;0) ()8 :b+c=0 a+c=0 a+b=0()8 :a=0 b=0 c=0 Ainsi les coefficients vérifienta=b=c=0, cela prouve que la famille est libre. (b) Montrons que la f amillefv1;v2;v3gest génératrice. Pour n"importe quel vecteurv= (x;y;z)deR3 on doit trouvera;b;c2Rtels queav1+bv2+cv3=v. av

1+bv2+cv3=v

()a(0;1;1)+b(1;0;1)+c(1;1;0) = (x;y;z) ()(b+c;a+c;a+b) = (x;y;z) ()8 :b+c=x a+c=y(L2) a+b=z(L3)()8 :b+c=x(L01) a+c=y bc=zy(L03) = (L3L2) ()8 :2b=x+zy(L01+L03) a+c=y

2c=x(zy) (L01L03)()8

:a=12 (x+y+z) b=12 (xy+z) c=12 (x+yz)

Poura=12

(x+y+z),b=12 (xy+z),c=12 (x+yz)nous avons donc la relationav1+bv2+ cv

3= (x;y;z) =v. Donc la famillefv1;v2;v3gest génératrice.

(c) La f amilleest libre et génératrice donc c"est une base. (d)

Pour écrire w= (1;1;1)dans la base(v1;v2;v3)on peut résoudre le système correspondant à la

relationav1+bv2+cv3=w. Mais en fait nous l"avons déjà résolu pour tout vecteur(x;y;z), en particulier pour le vecteur(1;1;1)la solution esta=12 ,b=12 ,c=12 . Autrement dit12 v1+12 v2+ 12 v3=w. Les coordonnées dewdans la base(v1;v2;v3)sont donc(12 ;12 ;12 2.

Pour montrer que la f amilleest libre et génératrice les cal culssont similaires à ceux de la question

précédente. NotonsBla base(v1;v2;v3). Exprimons ensuitee1dans cette base, les calculs donnent :e1=13 v113 v2+13 v3. Ses coordonnées dans la baseBsont(13 ;13 ;13 e 2=13 v1+23 v2+13 v3. Ses coordonnées dansBsont(13 ;23 ;13 e 3=13 v113 v223 v3. Ses coordonnées dansBsont(13 ;13 ;23 Les calculs sont ensuite terminés, on remarque quew= (1;2;3)vaut en faitw=e1+2e23e3donc par nos calculs précédentsw=13 v113 v2+13 v3+2(13 v1+23 v2+13 v3)3(13 v113 v223 v3) =2v2+3v3.

Les coordonnées dewdansBsont(0;2;3).

4

3.P are xemplela f amillef(1;0;0);(0;1;0)gest libre dansR3mais pas génératrice.

4.

La f amillef(1;0;0);(0;1;0);(0;0;1);(1;1;1)gest génératrice dansR3mais pas libre.Correction del"exer cice2 N1.On vérifie les propriétés qui font de Eun sous-espace vectoriel deR4:

(a) l"origine (0;0;0;0)est dansE, (b) si v= (x1;x2;x3;x4)2Eetv0= (x01;x02;x03;x04)2Ealorsv+v0= (x1+x01;x2+x02;x3+x03;x4+x04)a des coordonnées qui vérifient l"équation et doncv+v02E. (c) si v= (x1;x2;x3;x4)2Eetl2Ralors les coordonnées delv= (lx1;lx2;lx3;lx4)vérifient l"équation et donclv2E. 2. Il f auttrouv erune f amillelibre de v ecteursqui engendrent E. CommeEest dansR4, il y aura moins de

4 vecteurs dans cette famille. On prend un vecteur deE(au hasard), par exemplev1= (1;1;0;0). Il

est bien clair quev1n"engendre pas toutE, on cherche donc un vecteurv2linéairement indépendant de

v

1, prenonsv2= (1;0;1;0). Alorsfv1;v2gn"engendrent pas toutE; par exemplev3= (1;0;0;1)est

dansEmais n"est pas engendré parv1etv2. Montrons que(v1;v2;v3)est une base deE. (a)(v1;v2;v3)est une famille libre. En effet soienta;b;g2Rtels queav1+bv2+gv3=0. Nous obtenons donc : av1+bv2+gv3=0 )a0 B B@1 1 0 01 C CA+b0 B B@1 0 1 01 C CA+g0 B B@1 0 0 11 C CA=0 B B@0 0 0 01 C CA 8 >>>:a+b+g=0 a=0 b=0 g=0 )a=0;b=0;g=0

Donc la famille est libre.

(b) Montrons que la f amilleest génératrice : soit v= (x1;x2;x3;x4)2E. Il faut écrirevcomme

combinaison linéaire dev1;v2;v3. On peut résoudre un système comme ci-dessus (mais avec second

membre) en cherchanta;b;gtels queav1+bv2+gv3=v. On obtient quev=x2v1x3v2x4v4 (on utilisex1+x2+x3+x4=0).

Bien sûr vous pouvez choisir d"autres vecteurs de base (la seule chose qui reste indépendante des choix

est le nombre de vecteurs dans une base : ici 3).Correction del"exer cice3 NQuand le nombre de vecteurs égal la dimension de l"espace nous avons les équivalences, entreêtre une famille

libreetêtre une famille génératriceet donc aussiêtre une base.

Trois vecteurs dansR3forment donc une base si et seulement s"ils forment une famille libre. Vérifions quand

c"est le cas. 5 a(1;0;t)+b(1;1;t)+c(t;0;1) = (0;0;0) ()(a+b+tc;b;at+bt+c) = (0;0;0) ()8 :a+b+tc=0 b=0 at+bt+c=0()8 :b=0 a+tc=0 at+c=0 ()8 :b=0 a=tc (tc)t+c=0()8quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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