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Universite Grenoble-Alpes

Centre Dr^ome-Ardeche

Cours MAT244

Formes quadratiques, series

et series de Fourier pour la physique

RomainJoly

Derniere mise a jour : janvier 2016

Table des matieres

Chapitre 1 : Formes bilineaires et quadratiques1

1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Applications et formes bilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Chapitre 2 : Espaces euclidiens et prehilbertiens11

1 Produits scalaires et normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Espaces euclidiens et bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3 Espaces prehilbertiens et approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

4 Un mot sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chapitre 3 : Series21

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2 Criteres de convergence pour les series de termes positifs . . . . . . . . . .

22

3 Series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chapitre 4 : Series de Fourier30

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2 L'espace des fonctionsCk;V P

Tper;m(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Series de Fourier et convergence au sensL2. . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4 Autres types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

5 Serie de Fourier en exponentielles complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Chapitre 5 : Applications aux EDP46

1 Decompositions de fonctions sur [0;L] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3 Equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4 Equation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Chapitre 1 : Formes bilineaires et

quadratiques Le but de ce chapitre est d'introduire un contexte geometrique qui pourra ^etre utilise pour decrire les espaces-temps de la relativite, une grande partie des energies utilisees en physique et les produits scalaires.

1 Rappels

Dans la suiteEest un espace vectoriel reel, c'est-a-dire que cet espace est stable par addition (translation) et multiplication par un nombre reel (dilatation) : sixetysont dans Eet sietsont des reels, alors on peut denir un pointx+yqui est dansE.

Exemples :

Pour toutd1,Rdest un espace vectoriel { en particulier, le planR2, l'espaceR3 et l'espace-tempsR4. SiIest un intervalle deR, l'espaceC0(I;R) des fonctions a valeurs reelles continues surIest un espace vectoriel. De m^eme, l'espaceC1(I;R) des fonctions derivables et de derivee continue surIest un espace vectoriel.

L'espace des matricesMm;n(R).

Une application lineairefentre deux espaces vectorielsEetFest une fonctionf: E!Fqui commute avec les combinaisons lineaires : sixetysont dansEet siet sont des reels, alorsf(x+y) =f(x) +f(y).

Exemples :

L'applicationx2R37!(x1+ 2x3;x2x1)2R2est lineaire deR3dansR2. La derivationf2 C1(I;R)7!f02 C0(I;R) est lineaire. Une forme lineaire'sur un espace vectorielEest une application lineaire deEdans R.

Exemples :

Siy2R3, alorsx2R37! hxjyiest une forme lineaire.

L'integralef2 C0([0;1];R)7!R1

0f(x)dxest une forme lineaire.

1

Formes bilineaires et quadratiques

2 Applications et formes bilineaires

2.1 Denitions

Denitions 1.1.

SoientE,E0etFtrois espaces vectoriels reels.

Une applicationfdeEE0dansFest dite bilineaire si pour touty2E0,x7!f(x;y) est lineaire enxet si pour toutx2E,y7!f(x;y)est lineaire eny. Une forme bilineaire'surEest une application bilineaire deEEdansR. Une application bilineairefdeEEdansFest dite symetrique si :8x;y2 E; f(y;x) =f(x;y). Une application bilineairefdeEEdansFest dite anti- symetrique si :8x;y2E; f(y;x) =f(x;y). Remarque :Sifest bilineaire anti-symetrique surE, alorsf(x;x) =f(x;x) et donc f(x;x) = 0.

Exemples :

Le produit scalaire (x;y)2R3R37! hxjyi=x1y1+x2y2+x3y3est une forme bilineaire symetrique surR3. Le produit coordonnees par coordonnees (x;y)2R3R37!xy= (x1y1;x2y2;x3y3) est une application bilineaire symetrique deR3R3dansR3. Le produit vectoriel (x;y)2R3R37!x^y= (x2y3x3y2;x3y1x1y3;x1y2x2y1) est une application bilineaire anti-symetrique deR3R3dansR3.

L'application (f;g)7!R1

0f(x)g(x)dxdenit une forme bilineaire symetrique sur

C

0([0;1];R).

Le commutateur (M;N)2 Mn(R) Mn(R)7![M;N] =MNNMest une application bilineaire anti-symetrique deMn(R) Mn(R) dansMn(R). Le determinant 22 (x;y)2R2R27!x1y2x2y1est une forme bilineaire anti- symetrique par rapport aux colonnes de la matrice. L'application (x;y)2R2R27!x1y23x2y1+ 2x2y2est une forme bilineaire sur R

2qui n'est ni symetrique, ni anti-symetrique.

Exercice 1.2.

Verier les armations des exemples ci-dessus.

Denition 1.3.

A toute forme bilineaire'surE, on peut denir la forme bilineaire transposee t'part'(x;y) ='(y;x). On note qu'une forme est symetrique si et seulement si t'='et anti-symetrique si et seulement si t'='.

Proposition 1.4.

SoitEun espace vectoriel et'une forme bilineaire. Il existe une unique decomposition'='s+'aavec'sune forme bilineaire symetrique et'aune forme bilineaire anti-symetrique 2

Formes bilineaires et quadratiques

Demonstration :Pour l'existence, il sut de poser's=1 2 ('+t') et'a=1 2 ('t'). Par ailleurs, cette decomposition est unique puisque si'='s+'a, alors'+t'= 2's.

2.2 Representation matricielle

Soitfune application bilineaire deEE0dansF. La propriete de bilinearite montre que, pour toutx1;x22E,y1;y22E0et1,2,1et2reels, on a f(1x1+2x2;1y1+2y2) =11f(x1;y1)+12f(x1;y2)+21f(x2;y1)+22f(x2;y2): Le m^eme type de developpement montre la propriete suivante dans les espaces de dimension nie. Si (e1;:::;ed) est une base deEet (e01;:::;e0d0) est une base deE0et six=x1e1+ x

2e2+:::+xdedet siy=y1e01+y2e02+:::+yd0e0d0alors

f(x;y) =dX i=1d 0X j=1x iyjf(ei;e0j):

On en deduit les proprietes suivantes.

Proposition 1.5.

On suppose queEetE0sont de dimension nie avec(e1;:::;ed)et (e01;:::;e0d0)comme bases respectives. Une application bilineaire est connue si et seulement si on connait les imagesf(ei;e0j) des vecteurs de base. Une application bilineairefdeEEdansFest symetrique si et seulement si f(ei;ej) =f(ej;ei)pour touti6=j. Une application bilineairefdeEEdansFest anti-symetrique si et seulement si f(ei;ej) =f(ej;ei)pour touti6=jetf(ei;ei) = 0. En particulier, si'est une forme bilineaire surEEde dimension nie, alors '(x1e1+:::+xded;y1e1+:::yded) =dX i;j=1c i;jxiyj; ou le coecient reelci;jest deni par c i;j='(ei;ej): A toute forme bilineaire, on peut donc associer la matriceC= (ci;j)i;j=1;:::;dqui la denit dans la base (e1;:::;ed). Six= (x1;:::;xd) ety= (y1;:::;yd) dans cette base, alors '(x;y) =txCy= (x1;:::;xd)0 B @c

1;1c1;d.........

c d;1cd;d1 C A0 B @y 1... y d1 C A: 3

Formes bilineaires et quadratiques

La forme bilineaire'est symetrique si et seulement siCest symetrique. En outre, la transposee tCest la matrice representant la forme bilineaire transposeet'.

Exemples :

Le produit scalaire (x;y)2R3R37! hxjyi=x1y1+x2y2+x3y3est represente, dans la base canonique, par la matrice identite0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A qui est symetrique. La forme lineaire (x;y)2R2R27!x1y23x2y1+ 2x2y2est representee, dans la base canonique, par la matrice0 1 3 2

2.3 Un peu de geometrie

Denitions 1.6.

Soit'une forme bilineaire symetrique surE. Deux vecteursxety sont dits orthogonaux (pour') si'(x;y) = 0. On note alorsx?y(oux?'yen cas d'ambigute). Un vecteurxest perpendiculaire a un sous-espaceFdeEsix?ypour tout y2F. Enn, on denit l'orthogonalF?d'un sous-espace comme l'ensemble des vecteurs orthogonaux af.

Proposition 1.7.

Six1etx2sont orthogonaux ay, alors1x1+2x2l'est aussi pour tous reels1et2. En particulier, F ?est un sous-espace vectoriel deE(qui contient0) xest orthogonal aFsi et seulement s'il est orthogonal a tous les vecteurs d'une base deF.

Exemples :

Dans une carte qui n'est pas a l'echelle (penser aux points pres des p^oles dans une carte du globe), les vecteurs (x1;x2) sont transformes en (x01;x02) = (x1;2x2). Pour garder l'ancienne geometrie, le nouveau produit scalaire dans ces coordonnees est (x0jy0) =x01y01+1 4 x02y02. Donc les vecteurs (1;2) et (1;2) sont orthogonaux dans les nouvelles coordonnees.

On considere la forme bilineaire symetrique

': (x;y)2R3R37!x1y1+ 2x2y3+ 2x3y2: Calculons l'orthogonal deF=vect((1;0;0);(0;1;0)). Soitxorthogonal aF. C'est equivalent ax?(1;0;0) etx?(0;1;0), ce qui se traduit par : x

11 + 2x20 + 2x30 = 0 etx10 + 2x20 + 2x31 = 0:

On doit donc avoirx1= 0 etx3= 0. DoncF?=R:(0;1;0). 4

Formes bilineaires et quadratiques

Denition 1.8.

Soit'une forme bilineaire symetrique surE. On appellenoyau de'et on note Ker(')l'ensemble des vecteurs orthogonaux a toutE(c'est-a-dire que Ker(') =E?). On dit que'est degeneree si Ker(')n'est pas reduit af0get non-degeneree sinon.

Proposition 1.9.

Soit'une forme bilineaire symetrique surRdetCla matrice associeequotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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