Exercices de colle MP* Algèbre générale
Exercices de colle MP*. Algèbre générale. Adrien Fontaine. 18/12/2013. Exercice 1 (Théorème de Wilson). Soit p un nombre premier supérieur à 2.
ALGÈBRE GÉNÉRALE Le premier chapitre de ce cours est une
ALGÈBRE GÉNÉRALE. JEAN-PAUL CALVI. Le premier chapitre de ce cours est une introduction à la théorie élémen- taires des groupes.
Tous les exercices dAlgèbre et de Géométrie MP
Algèbre générale. Exercice 1.4. Centrale MP 2007. Le groupe des permutations de {12
Algèbre générale
On peut représenter une telle application à l'aide de matrices sous la forme. ?(X) = AX
Algèbre linéaire de MPSI
En général l'union de deux sous-espaces vectoriels de E n'est pas un sous-espace matrice de u dans la base B la matrice carrée MB(u) de Mp(K) dont les.
Chapitre 8 :Changement de corps en algèbre linéaire
Chapitre 8 : Changement de corps en algèbre linéaire. Algèbre générale. Page 3 sur 4. Autrement dit toute solution. )( L n. MP.
Cours de Mathématiques MP*
ALGÈBRE GÉNÉRALE. 1.1. RELATION D'ÉQUIVALENCE. 1.1.2 Classes d'équivalences ensemble quotient. Définition. Soit E un ensemble muni d'une relation
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
anp.. 57. Page 60. 586. NOTION DE MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE ET CALCUL ALGÉBRIQUE SUR LES MATRICES AVEC. On note aij l'élément ...
oraux X-ENS Algèbre 1
Concours 2004 (MP). 22. P. Bourgade Olympiades internationales de mathématiques 1976-2005. 23. V. Prasolov
Chapitre 5 :Compléments de théorie des ensembles et algèbre
Chapitre 5 : Compléments de théorie des ensembles et algèbre générale. Algèbre générale. Page 4 sur 32. Définition : Un groupe dont les seuls sous-groupes
Exercices de mathématiques MP MP* - Dunod
préparatoires scienti?ques Il est plus particulièrement adapté à la ?lière MP/MP* et conforme au nouveau programme o?ciel (rentrée 2014) de cette ?lière Il pourra bien sûr également être utile aux élèves des autres ?lières et aux candidats aux concours d’enseignement (CAPES et Agrégation)
TOUS LES EXERCICES D'ALGEBRE ET DE GEOMETRIE MP
MP Pour assimiler le programme sÕentra ner et r ussir son concours El-Haj Laamri Agr g en math matiques et ma tre de conf rences Nancy-Universit Philippe Chateaux Agr g en math matiques et professeur en MP au Lyc e Henri Poincar Nancy G rard Eguether Ma tre de conf rences Nancy-Universit Alain Mansoux
9!(q;r)2Z[j0;n1j]=n0=qn+r)n02r
r;r02[j0;n1j];r=r0)r=r0
xRy,x1y2H, 9h2H;x1y=h, 9h2H;y=xh ?? ????? ?x=fxh=h2Hg=xH ':H!xH x7!xh ?? ? ???? ?card(xH) =card(GR )card(H) card(H)jcard(G) xy=xy ???? ?? ????? ?? ???? ??? ??x=x0??y=y0?????xy=x8(x;x0;y;y0)2E4;xRx0??yRy0)xyRx0y0
ER x1= x1 ER ZnZZnZ????? ??? ?? ?????? ????? ? ???? ?
x+ y=x+y0??? ?? ?????? x=x=nx8(x;y)2G2;'(xy) ='(x)'(y)
???? ?? ??? ?'(e) =e0??8x2G;'(x1) ='(x)1?????? ?'(ee) ='(e)??'(ee) ='(e)2)'(e) =e0 '(xx1) ='(x)'(x1)??'(xx1) ='(e) =e0)'(x)'(x1) =e0)'(x1) ='(x)1 ??x2G??': (Z;+)!(G;) n7!xn '(n1+n2) =xn1+n2=xn1xn2='(n1)'(n2) ln : (R+;)!(R;+) x7!ln(x) ln(xy) = ln(x) + ln(y) ': (R+;+)!(C;)7!exp(i)
8(x0;y0)2G02;f(f1(x0y0)) =x0y0=f(f1x0)f(f1y0) =f(f1(x0)f1(y0))
x7!gx ZnZ ????? ??f? ????Ker(f)? ??e2H)e0=f(e)2H ????(x0;y0)2f(H)2?9(x;y)2H2? x0=f(x)
y0=f(y)
x0(y0)1=f(x)f(y)1=f(x)f(y1) =f(xy1)2f(H)
??f(e) =e02H0)e2f1(H0)? ????(x;y)2f1(H0)2;f(xy1) =f(x)f(y)12H0 fKer(f) =feg
??Ker(f) =feg?(x;y)2G2 f(x) =f(y),f(x)f(y)1=e ,f(xy1) =e ,xy1=e ,x=y f(x1) =f(x2),x1x122Ker(f),x11x22Ker(f) f(x1) =f(x2),x1x22Ker(f),x2=x1+Ker(f)8(x;y)2G2;xRy,f(x) =f(y),xy12Ker(f)
GKer(f)???Im(f)?????? ? ????(x;x0;y;y0)2G4xRy??x0Ry0?? ? ?xyRx0y0 ????(x;x0)2G2? ????? ???x=x8x2G;x2Ker(f),f(x) =e0
,f(x) =e0 ,x2Ker(f) =e ,x=eKer(f) =feg
??HG ??e2H ??8(x;y)2H2;xy12H ??y2H2nH1? xy2H1[H2)xy2H1;xy2H2 )x= (xy)y12H2 ???? x2G?gr(A) =fxn=n2Zg f:Z!G fxn=n2Zg H? ???? ? gr(A) =fxn=n2Zg gr(A) =fa"11:::a"nn=n2N;(a1;:::;an)2 An;"k2 f1;1gG=fxn=n2Zg??fnx=n2Zg
H=nZ=grfng
n7!xn??? ?? ???? ?? ? ?? ?????':ZnZ!Gk7!xk????? ??????? ? ?????ZnZ? ? ?? ?? ?????? ?? ??????? ??? ?f??? ???? ??????? ??? ??k=k0?????njkk0)kk02nZ=Ker(f))
8(k;k0)2Z2;f(k+k
0) =f(k+k0)
=f(k+k0) =f(k)f(k 0) ????n2N;Un=fe2ikn =k2[j0;n1j]g=grfe2in :ZnZ!Unk7!e2ikn ??!(e) = 1? ? ??? ?? ???? ??????? ??????? ? ??!((i;j)) = 2???(i;j)2=id? ?? ???? ??????? ?????? ? ???? ????? ??? ? ??? ?? ????? ??? ???? 2R=8k2Z;()n=Rn=id,n22Z,
2Q k2Z;km=0,km=0 ,njkm ,n1(n^m)jkm1(n^m); n1^m1= 1 ,n1jkm1;^m1= 1 !(m) =n1=nn^m grf0g=0 grf1g=1 grf2g=f0;2;4g grf3g=f0;3g grf4g=f0;4;2g grf5g=f0;5;4;3;2;1g=Z6Z x2G!(x)8x2G;!(x)jm????xm=e? ??????? ??? ?
9x02G=!(x) =m
n=Y p2Pp p(n) ajb, 8p2P;p(a)p(b) p(a^b) =min(p(a);p(b)) p(a_b) =max(p(a);p(b)) ?????p(m) =maxx2G(pi(!(x)))9yi2G=pi(!(yi)) =i??9ki2N=!(ki) =piiki
?????? ?xi=ykii n2N;xni=e,ynkii=e ,piikijnki ,piijn n2xn=e)xn1:::xnr=e )xnp22:::prr1(xn2:::xnr)p22:::prr=e )xnp22:::prr1=e )pi1jnp22:::prr m=p11:::prrjn ??!(x)jn ??!(x)jn)xn=e a=Y x2Gx0x=xn0Y
x2Gx x n0=e x n= 1??card(G) =n)GUn)G=Un9d2N;H=Ud
grfn d g !(xn) =m8x2G;!(f(x))j!(x)
????k2Z;(xn)k,xnk=e ,nmjnk ,mjk !(xn) =m ??f(x!(x)) =e0,f(x)!(x)je,!(f(x))j!(x)8k2Z;f(x)k=e0=f(xk) =e0
=xk=e =!(x)jk !(f(x)) =!(x)Z6Z????Z14Z?
8k2Z;f(k) =kf(1)
f(1)2Z14Z)!(f(1))j14??!(f(1))j!(1) = 6?? ????? ? !(f(1)) = 2)f(1) =~7 f(k) =~7k ????(Gi)i2[j1;nj]??? ??????? ?? ??????? ?? ?????? ??? ??? ??????? ???G1:::Gn?8((x1;:::;xn);(y1;:::;yn))2(G1:::Gn)2
??? ?????? ??? ?(e1;:::;en)?? ?? ? ?(x1;:::;xn)1= (x11;:::;x1n)?Z4Z? ??? ???
ZpZ ?????? ?x2Gn feg;!(x)6= 1??!(x)jp? ???? ? !(x) =pG=grfxg
????2n??l2[j1;nj]?8k2N;k(l)2[j1;nj]
9i < j2[j1;nj]2=i(l) =j(l)
?????ji(l) =l;ji2[j1;nj] iRj, 9k2Z=j=k(i)??????? ???? ????210?=1 2 3 4 5 6 7 8 9 105 6 7 4 9 10 8 3 1 2
=1 5 92 6 103 7 8 f1;5;9g;f2;6;10g;f3;7;8g;f4g ????(a1;:::;am)?? ????? ??? ??? ? (a1;:::;am)(ai) =ai+1??1im1 (a1;:::;am)(am) =a18k =2 fa1;:::;ang;(a1;:::;am)(k) =k
??(a1;:::;am) =a1a2a2a3:::am1am ??8i2[j1;n1j];a1a2a2a3:::am1am(ai) =ai+1a1a2a2a3:::am1am(am) =a18k =2 fa1;:::;amg;a1a2a2a3:::am1am(k) =k
??(a1;:::;am)1((ai)) =(a1;:::;am)(ai) =(ai+1) (a1;:::;am)1((am)) =(a1) (a1;:::;am)1(k) =k;k2Zn fa1;:::;amg x7!x10xx0??? ??8(x;y)2G2;f(xy) =x10xyx0=x10xx10x0yx0=f(x)f(y) f1:G!G "() =Y1i ??"()2 f1;1g ?????? ? ????? ? ????n=f(i;j)2[j1;nj]2=i6=jg? : n!n (1): n!n (i;j)7!(1(i);1(j)) ???? (;0)22n? "(0) =Y 1i 0(j)0(i)0(j)0(i)ji
Y 1i 0(j)0(i)Y
1i0(j)0(i)ji
="(0)Y 1i0 0i0 ="(0)"() "(id) = +1 nA card(n) =card(An)card(nA n) ????card(An) =n!2 :An!nA 23
??43 R (A1) =Ak)=2(k1)n ??(A;+)??? ?? ?????? ??????? ?? ??????0A ???? ? ?? ????? ???? F(I;K)?Q?R?C??K(X)???? ??? ????? 8a2 A;a0 = 0a= 0
9b2 A n f0g=ab= 0??ba= 0
8(a;b)2 A2;ab= 0,a= 0??b= 0
8(c;b)2 A2;ab=ac)b=c
??Z=f1;+1g deg(AB) = deg(A)deg(B),deg(A) = deg(B) = 0 Z[i]=f1;1;i;ig
(a+bp2)(a0+b0p2) = 1,(a22b2)(a022b02) = 1 ,a22b22 f1;1g ????(a;b)2 A2?ab=ba? 8n2N;(a+b)n=nX
k=0 n k a nkbk 8n2N;anbn= (ab)nX
k=1a nkbk1 8n2N;a2+1+b2n+1=a2n+1(b)2n+1= (a+b)2n+1X
k=1a 2n+1k(b)k1
1an= 1nan= (1a)n1X
k=0a k n1X k=0a AR 8(a;b)2 A2;a+b=a+b
ab=ab ZnZ 8(x;y;x0;y0)2Z4;xy[n]??x0y0[n]????? ?
x+yx0+y0[n]??xyx0y0[n] 8(x;y)2 A2;'(x+y) ='(x) +'(y)
'(xy) ='(x)'(y) xRy,'(x) ='(y),(xy)2Ker(') 8(x;y;x0;y0)2 A4;'(x) ='(x0)??'(y) ='(y0)????
'(xy) ='(x)'(y) ='(x0)'(y0) ='(x0y0) 8((a1;:::;an);(b1;:::;bn))2(A1::: An)2
(a1;:::;an) + (b1;:::;bn) = (a1+b1;:::;an+bn) (a1;:::;an)(b1;:::;bn) = (a1b1;:::;anbn) A (1 A1;:::;1An)???? ?
(0 A1;:::;0An)????
B???? ?? ?????? ??? ???? ??? ????? ?R2????? ??? ?? ????? ???? ?? ??? ??????? ? (1;0)(0;1) = (0;0) ZnZ ????n2N? ?? ? ? ??8(l;m)2Z2;lm=lm=lm ?? p2P?ZpZ??? ?? ?????? ????Fp ?????? ZnZ ?k2ZnZ ) 9l2ZnZ;lk=1 )lk=1 ) 8a2Z;alk=a2grfkg ) 9(u;v)2Z2;ku+nv= 1 ) 9u2Z;ku=1 ??p2P;8k2[j1;p1j];p^k= 1) 9(u;v)2Z2;pu+kv= 1 ) 9v2Z;vk=1 ZpZ;+;)??? ?? ?????
9(a;b)2[j1;n1j]2;n=ab)ab=n)ab=0
x Z12Z ????? ? ?? ???? ??? ?!(x)jp1? ???? m=_x2Fp!(x) 8x2Fp;x
m=1 F p=grfx p-a)ap11[p] a pa[p] p1=1 ?? ???? ?pja)a p=0)a p=a n2P;(n1)! =Y x2Fpx)(n1)! =11 =1 ?? ??n =2P?????(n1)! =0 ':ZnmZ!ZnZZmZk7!( k ;!k) 8(a;b)2Z2;9!k2[j0;mn1j];( k ;!k) = ( a ;!b)
ak[n]??bk[m] ':Zn 1:::nrZ!Zn
1Z:::Zn
rZk n 1:::nr7!( kn1;:::;!knr)
????n2N? '(n) =cardf1kn=k^n= 1g '(n)?????? ?? p2P;82N;'(p) =pp1? ????'(p) =p1 ?? n^m= 1;'(nm) ='(n)'(m) n=rY i=1p ii;'(n) =rY i=1(piipi1 i) =nrY i=1(11p i)?????? ? ???? m2[j1;pj]? m^p6= 1,pjm,m2 fkp=k2[j1;pj]g ????n2N? ?? ? ? n=X djn'(d)?????? ? ????(Un;)?????? ??????? ??????? ?? ????? ?? ?? ????djn? ???? ? U n=[ djnG d n=card(Un) =X djncard(Gd) =X djn'(d) ?? ?? ????? ????U6??j2j??j 2j!(x)??????
8 t2ZnZ;tcd=t pjt)tcdt0[p])pjtcdt p^t= 1)tp11[p] cd1['(n)]) 9k2N=cd= 1 +k'(n) = 1 +k(p1)(q1))tcd=t(tp1)q1t[p] pjtcdt? ?? ???? ???? ? xRy,xy2I ????(x;y;x0;y0)2 A4=xRy??x0Ry0? ????? ? 9(a;b)2I2=x0=x+a??y0=y+b
x 0+y0=x+y+a+b)x0+y0Rx+y
x 0y0=xy+ay+xb+ab? ?? ? ?
x 0y0Rxy,ay+xb+ab2I, 8a2 A;8z2I;az2I
??f0g??f0g???? ??? ?????? ???a? ???? Z? ??? ?????? ???? ?? ?? ?????nZ ???? Z2?(0;1)Z+ (2;0)Z??? ?? ????? ???? I?? ????? ??A I=A ,12I, 9b2 A;b2I
?? A??? ?? ????? ????? ??? ????? ?????? ????f0g??A?????? ? ??A=I)12I) 9b2 A;b2I) 8a2 A;a=u(u1a)2I;u2 A) A=I I 1+:::+In=nX
k=1I k=fx1+:::+xn=8i2[j1;nj];xi2Iig n[ i=1I i?????? ? 02nX k=1I k ????((x1;:::;xn);(y1;:::;yn))2(I1:::In)2 (x1;:::;xn)(y1;:::;yn) = (x1y1;:::;xnyn)2nX k=1I k a(x1;:::;xn) = (ax1;:::;axn)2nX k=1I k n[ i=1I i n[ i=1I i 8(x1;:::;xn)2I1:::In;nX
i=1x i2InX k=1I k ???? ? ':AKer(')!Im(') '(x) Ker(')??? ?? ????? ??A
xRy,(xy)2Ker('),'(x) ='(y) ???? (a;b)2 A2? ?? ??? ??? ? bja, 9c2 A=a=bc,a2bA ,aA bA ???? (a;b)2(A n f0g)2?? ??? ??? !??I=f0g?????I= 0K[X] deg(P0) =minfdeg(P)=P2In f0gg 9(Q;R)2K[X]2=A=QP0+R;deg(R)< deg(Q)
R=AQP02I)R= 0
A=QP02P0K[X]
=PGCD(a1;:::;an) =m^ i=1,A=nX i=1a i=1a iA ?? ? ?8d2 A;8i2[j1;nj];djai,dj m=PPCM(a1;:::;an) =n_ i=1a i,mA=n\ i=1a i=1a i 8i2[j1;nj]djai, 8i2[j1;nj]aiA dA
n[ i=1a iA dA ,dj 8i2[j1;nj]aijb, 8i2[j1;nj]bA aiA
,bA n\ i=1a iA ,mjb ????(a1;:::;an)2 An? nV i=1a i= 1 ????(a1;:::;an)2 An;n^ i=1= 1, A=nX i=1a iA ,12nX i=1a iA , 9(x1;:::;xn)2 An;nX i=1a ixi= 1????Z??K[X]? ?? ??????? ??? ??????? ????a^b= 1??? ???????(x1;x2)????? ???ax1+bx2= 1quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
1i 0(j)0(i)0(j)0(i)ji
Y 1i 0(j)0(i)Y
1i0(j)0(i)ji
="(0)Y 1i0 0i0 ="(0)"() "(id) = +1 nA card(n) =card(An)card(nA n) ????card(An) =n!2 :An!nA 23
??43 R (A1) =Ak)=2(k1)n ??(A;+)??? ?? ?????? ??????? ?? ??????0A ???? ? ?? ????? ???? F(I;K)?Q?R?C??K(X)???? ??? ????? 8a2 A;a0 = 0a= 0
9b2 A n f0g=ab= 0??ba= 0
8(a;b)2 A2;ab= 0,a= 0??b= 0
8(c;b)2 A2;ab=ac)b=c
??Z=f1;+1g deg(AB) = deg(A)deg(B),deg(A) = deg(B) = 0 Z[i]=f1;1;i;ig
(a+bp2)(a0+b0p2) = 1,(a22b2)(a022b02) = 1 ,a22b22 f1;1g ????(a;b)2 A2?ab=ba? 8n2N;(a+b)n=nX
k=0 n k a nkbk 8n2N;anbn= (ab)nX
k=1a nkbk1 8n2N;a2+1+b2n+1=a2n+1(b)2n+1= (a+b)2n+1X
k=1a 2n+1k(b)k1
1an= 1nan= (1a)n1X
k=0a k n1X k=0a AR 8(a;b)2 A2;a+b=a+b
ab=ab ZnZ 8(x;y;x0;y0)2Z4;xy[n]??x0y0[n]????? ?
x+yx0+y0[n]??xyx0y0[n] 8(x;y)2 A2;'(x+y) ='(x) +'(y)
'(xy) ='(x)'(y) xRy,'(x) ='(y),(xy)2Ker(') 8(x;y;x0;y0)2 A4;'(x) ='(x0)??'(y) ='(y0)????
'(xy) ='(x)'(y) ='(x0)'(y0) ='(x0y0) 8((a1;:::;an);(b1;:::;bn))2(A1::: An)2
(a1;:::;an) + (b1;:::;bn) = (a1+b1;:::;an+bn) (a1;:::;an)(b1;:::;bn) = (a1b1;:::;anbn) A (1 A1;:::;1An)???? ?
(0 A1;:::;0An)????
B???? ?? ?????? ??? ???? ??? ????? ?R2????? ??? ?? ????? ???? ?? ??? ??????? ? (1;0)(0;1) = (0;0) ZnZ ????n2N? ?? ? ? ??8(l;m)2Z2;lm=lm=lm ?? p2P?ZpZ??? ?? ?????? ????Fp ?????? ZnZ ?k2ZnZ ) 9l2ZnZ;lk=1 )lk=1 ) 8a2Z;alk=a2grfkg ) 9(u;v)2Z2;ku+nv= 1 ) 9u2Z;ku=1 ??p2P;8k2[j1;p1j];p^k= 1) 9(u;v)2Z2;pu+kv= 1 ) 9v2Z;vk=1 ZpZ;+;)??? ?? ?????
9(a;b)2[j1;n1j]2;n=ab)ab=n)ab=0
x Z12Z ????? ? ?? ???? ??? ?!(x)jp1? ???? m=_x2Fp!(x) 8x2Fp;x
m=1 F p=grfx p-a)ap11[p] a pa[p] p1=1 ?? ???? ?pja)a p=0)a p=a n2P;(n1)! =Y x2Fpx)(n1)! =11 =1 ?? ??n =2P?????(n1)! =0 ':ZnmZ!ZnZZmZk7!( k ;!k) 8(a;b)2Z2;9!k2[j0;mn1j];( k ;!k) = ( a ;!b)
ak[n]??bk[m] ':Zn 1:::nrZ!Zn
1Z:::Zn
rZk n 1:::nr7!( kn1;:::;!knr)
????n2N? '(n) =cardf1kn=k^n= 1g '(n)?????? ?? p2P;82N;'(p) =pp1? ????'(p) =p1 ?? n^m= 1;'(nm) ='(n)'(m) n=rY i=1p ii;'(n) =rY i=1(piipi1 i) =nrY i=1(11p i)?????? ? ???? m2[j1;pj]? m^p6= 1,pjm,m2 fkp=k2[j1;pj]g ????n2N? ?? ? ? n=X djn'(d)?????? ? ????(Un;)?????? ??????? ??????? ?? ????? ?? ?? ????djn? ???? ? U n=[ djnG d n=card(Un) =X djncard(Gd) =X djn'(d) ?? ?? ????? ????U6??j2j??j 2j!(x)??????
8 t2ZnZ;tcd=t pjt)tcdt0[p])pjtcdt p^t= 1)tp11[p] cd1['(n)]) 9k2N=cd= 1 +k'(n) = 1 +k(p1)(q1))tcd=t(tp1)q1t[p] pjtcdt? ?? ???? ???? ? xRy,xy2I ????(x;y;x0;y0)2 A4=xRy??x0Ry0? ????? ? 9(a;b)2I2=x0=x+a??y0=y+b
x 0+y0=x+y+a+b)x0+y0Rx+y
x 0y0=xy+ay+xb+ab? ?? ? ?
x 0y0Rxy,ay+xb+ab2I, 8a2 A;8z2I;az2I
??f0g??f0g???? ??? ?????? ???a? ???? Z? ??? ?????? ???? ?? ?? ?????nZ ???? Z2?(0;1)Z+ (2;0)Z??? ?? ????? ???? I?? ????? ??A I=A ,12I, 9b2 A;b2I
?? A??? ?? ????? ????? ??? ????? ?????? ????f0g??A?????? ? ??A=I)12I) 9b2 A;b2I) 8a2 A;a=u(u1a)2I;u2 A) A=I I 1+:::+In=nX
k=1I k=fx1+:::+xn=8i2[j1;nj];xi2Iig n[ i=1I i?????? ? 02nX k=1I k ????((x1;:::;xn);(y1;:::;yn))2(I1:::In)2 (x1;:::;xn)(y1;:::;yn) = (x1y1;:::;xnyn)2nX k=1I k a(x1;:::;xn) = (ax1;:::;axn)2nX k=1I k n[ i=1I i n[ i=1I i 8(x1;:::;xn)2I1:::In;nX
i=1x i2InX k=1I k ???? ? ':AKer(')!Im(') '(x) Ker(')??? ?? ????? ??A
xRy,(xy)2Ker('),'(x) ='(y) ???? (a;b)2 A2? ?? ??? ??? ? bja, 9c2 A=a=bc,a2bA ,aA bA ???? (a;b)2(A n f0g)2?? ??? ??? !??I=f0g?????I= 0K[X] deg(P0) =minfdeg(P)=P2In f0gg 9(Q;R)2K[X]2=A=QP0+R;deg(R)< deg(Q)
R=AQP02I)R= 0
A=QP02P0K[X]
=PGCD(a1;:::;an) =m^ i=1,A=nX i=1a i=1a iA ?? ? ?8d2 A;8i2[j1;nj];djai,dj m=PPCM(a1;:::;an) =n_ i=1a i,mA=n\ i=1a i=1a i 8i2[j1;nj]djai, 8i2[j1;nj]aiA dA
n[ i=1a iA dA ,dj 8i2[j1;nj]aijb, 8i2[j1;nj]bA aiA
,bA n\ i=1a iA ,mjb ????(a1;:::;an)2 An? nV i=1a i= 1 ????(a1;:::;an)2 An;n^ i=1= 1, A=nX i=1a iA ,12nX i=1a iA , 9(x1;:::;xn)2 An;nX i=1a ixi= 1????Z??K[X]? ?? ??????? ??? ??????? ????a^b= 1??? ???????(x1;x2)????? ???ax1+bx2= 1quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
0(j)0(i)0(j)0(i)ji
Y1i 0(j)0(i)Y
1i0(j)0(i)ji
="(0)Y 0(j)0(i)Y
1i1i0 0i0 ="(0)"() "(id) = +1 nA card(n) =card(An)card(nA n) ????card(An) =n!2 :An!nA 23
??43 R (A1) =Ak)=2(k1)n ??(A;+)??? ?? ?????? ??????? ?? ??????0A ???? ? ?? ????? ???? F(I;K)?Q?R?C??K(X)???? ??? ????? 8a2 A;a0 = 0a= 0
9b2 A n f0g=ab= 0??ba= 0
8(a;b)2 A2;ab= 0,a= 0??b= 0
8(c;b)2 A2;ab=ac)b=c
??Z=f1;+1g deg(AB) = deg(A)deg(B),deg(A) = deg(B) = 0 Z[i]=f1;1;i;ig
(a+bp2)(a0+b0p2) = 1,(a22b2)(a022b02) = 1 ,a22b22 f1;1g ????(a;b)2 A2?ab=ba? 8n2N;(a+b)n=nX
k=0 n k a nkbk 8n2N;anbn= (ab)nX
k=1a nkbk1 8n2N;a2+1+b2n+1=a2n+1(b)2n+1= (a+b)2n+1X
k=1a 2n+1k(b)k1
1an= 1nan= (1a)n1X
k=0a k n1X k=0a AR 8(a;b)2 A2;a+b=a+b
ab=ab ZnZ 8(x;y;x0;y0)2Z4;xy[n]??x0y0[n]????? ?
x+yx0+y0[n]??xyx0y0[n] 8(x;y)2 A2;'(x+y) ='(x) +'(y)
'(xy) ='(x)'(y) xRy,'(x) ='(y),(xy)2Ker(') 8(x;y;x0;y0)2 A4;'(x) ='(x0)??'(y) ='(y0)????
'(xy) ='(x)'(y) ='(x0)'(y0) ='(x0y0) 8((a1;:::;an);(b1;:::;bn))2(A1::: An)2
(a1;:::;an) + (b1;:::;bn) = (a1+b1;:::;an+bn) (a1;:::;an)(b1;:::;bn) = (a1b1;:::;anbn) A (1 A1;:::;1An)???? ?
(0 A1;:::;0An)????
B???? ?? ?????? ??? ???? ??? ????? ?R2????? ??? ?? ????? ???? ?? ??? ??????? ? (1;0)(0;1) = (0;0) ZnZ ????n2N? ?? ? ? ??8(l;m)2Z2;lm=lm=lm ?? p2P?ZpZ??? ?? ?????? ????Fp ?????? ZnZ ?k2ZnZ ) 9l2ZnZ;lk=1 )lk=1 ) 8a2Z;alk=a2grfkg ) 9(u;v)2Z2;ku+nv= 1 ) 9u2Z;ku=1 ??p2P;8k2[j1;p1j];p^k= 1) 9(u;v)2Z2;pu+kv= 1 ) 9v2Z;vk=1 ZpZ;+;)??? ?? ?????
9(a;b)2[j1;n1j]2;n=ab)ab=n)ab=0
x Z12Z ????? ? ?? ???? ??? ?!(x)jp1? ???? m=_x2Fp!(x) 8x2Fp;x
m=1 F p=grfx p-a)ap11[p] a pa[p] p1=1 ?? ???? ?pja)a p=0)a p=a n2P;(n1)! =Y x2Fpx)(n1)! =11 =1 ?? ??n =2P?????(n1)! =0 ':ZnmZ!ZnZZmZk7!( k ;!k) 8(a;b)2Z2;9!k2[j0;mn1j];( k ;!k) = ( a ;!b)
ak[n]??bk[m] ':Zn 1:::nrZ!Zn
1Z:::Zn
rZk n 1:::nr7!( kn1;:::;!knr)
????n2N? '(n) =cardf1kn=k^n= 1g '(n)?????? ?? p2P;82N;'(p) =pp1? ????'(p) =p1 ?? n^m= 1;'(nm) ='(n)'(m) n=rY i=1p ii;'(n) =rY i=1(piipi1 i) =nrY i=1(11p i)?????? ? ???? m2[j1;pj]? m^p6= 1,pjm,m2 fkp=k2[j1;pj]g ????n2N? ?? ? ? n=X djn'(d)?????? ? ????(Un;)?????? ??????? ??????? ?? ????? ?? ?? ????djn? ???? ? U n=[ djnG d n=card(Un) =X djncard(Gd) =X djn'(d) ?? ?? ????? ????U6??j2j??j 2j!(x)??????
8 t2ZnZ;tcd=t pjt)tcdt0[p])pjtcdt p^t= 1)tp11[p] cd1['(n)]) 9k2N=cd= 1 +k'(n) = 1 +k(p1)(q1))tcd=t(tp1)q1t[p] pjtcdt? ?? ???? ???? ? xRy,xy2I ????(x;y;x0;y0)2 A4=xRy??x0Ry0? ????? ? 9(a;b)2I2=x0=x+a??y0=y+b
x 0+y0=x+y+a+b)x0+y0Rx+y
x 0y0=xy+ay+xb+ab? ?? ? ?
x 0y0Rxy,ay+xb+ab2I, 8a2 A;8z2I;az2I
??f0g??f0g???? ??? ?????? ???a? ???? Z? ??? ?????? ???? ?? ?? ?????nZ ???? Z2?(0;1)Z+ (2;0)Z??? ?? ????? ???? I?? ????? ??A I=A ,12I, 9b2 A;b2I
?? A??? ?? ????? ????? ??? ????? ?????? ????f0g??A?????? ? ??A=I)12I) 9b2 A;b2I) 8a2 A;a=u(u1a)2I;u2 A) A=I I 1+:::+In=nX
k=1I k=fx1+:::+xn=8i2[j1;nj];xi2Iig n[ i=1I i?????? ? 02nX k=1I k ????((x1;:::;xn);(y1;:::;yn))2(I1:::In)2 (x1;:::;xn)(y1;:::;yn) = (x1y1;:::;xnyn)2nX k=1I k a(x1;:::;xn) = (ax1;:::;axn)2nX k=1I k n[ i=1I i n[ i=1I i 8(x1;:::;xn)2I1:::In;nX
i=1x i2InX k=1I k ???? ? ':AKer(')!Im(') '(x) Ker(')??? ?? ????? ??A
xRy,(xy)2Ker('),'(x) ='(y) ???? (a;b)2 A2? ?? ??? ??? ? bja, 9c2 A=a=bc,a2bA ,aA bA ???? (a;b)2(A n f0g)2?? ??? ??? !??I=f0g?????I= 0K[X] deg(P0) =minfdeg(P)=P2In f0gg 9(Q;R)2K[X]2=A=QP0+R;deg(R)< deg(Q)
R=AQP02I)R= 0
A=QP02P0K[X]
=PGCD(a1;:::;an) =m^ i=1,A=nX i=1a i=1a iA ?? ? ?8d2 A;8i2[j1;nj];djai,dj m=PPCM(a1;:::;an) =n_ i=1a i,mA=n\ i=1a i=1a i 8i2[j1;nj]djai, 8i2[j1;nj]aiA dA
n[ i=1a iA dA ,dj 8i2[j1;nj]aijb, 8i2[j1;nj]bA aiA
,bA n\ i=1a iA ,mjb ????(a1;:::;an)2 An? nV i=1a i= 1 ????(a1;:::;an)2 An;n^ i=1= 1, A=nX i=1a iA ,12nX i=1a iA , 9(x1;:::;xn)2 An;nX i=1a ixi= 1????Z??K[X]? ?? ??????? ??? ??????? ????a^b= 1??? ???????(x1;x2)????? ???ax1+bx2= 1quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
??43 R (A1) =Ak)=2(k1)n ??(A;+)??? ?? ?????? ??????? ?? ??????0A ???? ? ?? ????? ???? F(I;K)?Q?R?C??K(X)???? ??? ?????
8a2 A;a0 = 0a= 0
9b2 A n f0g=ab= 0??ba= 0
8(a;b)2 A2;ab= 0,a= 0??b= 0
8(c;b)2 A2;ab=ac)b=c
??Z=f1;+1g deg(AB) = deg(A)deg(B),deg(A) = deg(B) = 0Z[i]=f1;1;i;ig
(a+bp2)(a0+b0p2) = 1,(a22b2)(a022b02) = 1 ,a22b22 f1;1g ????(a;b)2 A2?ab=ba?8n2N;(a+b)n=nX
k=0 n k a nkbk8n2N;anbn= (ab)nX
k=1a nkbk18n2N;a2+1+b2n+1=a2n+1(b)2n+1= (a+b)2n+1X
k=1a2n+1k(b)k1
1an= 1nan= (1a)n1X
k=0a k n1X k=0a AR8(a;b)2 A2;a+b=a+b
ab=ab ZnZ8(x;y;x0;y0)2Z4;xy[n]??x0y0[n]????? ?
x+yx0+y0[n]??xyx0y0[n]8(x;y)2 A2;'(x+y) ='(x) +'(y)
'(xy) ='(x)'(y) xRy,'(x) ='(y),(xy)2Ker(')8(x;y;x0;y0)2 A4;'(x) ='(x0)??'(y) ='(y0)????
'(xy) ='(x)'(y) ='(x0)'(y0) ='(x0y0)8((a1;:::;an);(b1;:::;bn))2(A1::: An)2
(a1;:::;an) + (b1;:::;bn) = (a1+b1;:::;an+bn) (a1;:::;an)(b1;:::;bn) = (a1b1;:::;anbn) A (1A1;:::;1An)???? ?
(0A1;:::;0An)????
B???? ?? ?????? ??? ???? ??? ????? ?R2????? ??? ?? ????? ???? ?? ??? ??????? ? (1;0)(0;1) = (0;0) ZnZ ????n2N? ?? ? ? ??8(l;m)2Z2;lm=lm=lm ?? p2P?ZpZ??? ?? ?????? ????Fp ?????? ZnZ ?k2ZnZ ) 9l2ZnZ;lk=1 )lk=1 ) 8a2Z;alk=a2grfkg ) 9(u;v)2Z2;ku+nv= 1 ) 9u2Z;ku=1 ??p2P;8k2[j1;p1j];p^k= 1) 9(u;v)2Z2;pu+kv= 1 ) 9v2Z;vk=1ZpZ;+;)??? ?? ?????
9(a;b)2[j1;n1j]2;n=ab)ab=n)ab=0
x Z12Z ????? ? ?? ???? ??? ?!(x)jp1? ???? m=_x2Fp!(x)8x2Fp;x
m=1 F p=grfx p-a)ap11[p] a pa[p] p1=1 ?? ???? ?pja)a p=0)a p=a n2P;(n1)! =Y x2Fpx)(n1)! =11 =1 ?? ??n =2P?????(n1)! =0 ':ZnmZ!ZnZZmZk7!( k ;!k)8(a;b)2Z2;9!k2[j0;mn1j];( k ;!k) = ( a ;!b)
ak[n]??bk[m] ':Zn1:::nrZ!Zn
1Z:::Zn
rZk n1:::nr7!( kn1;:::;!knr)
????n2N? '(n) =cardf1kn=k^n= 1g '(n)?????? ?? p2P;82N;'(p) =pp1? ????'(p) =p1 ?? n^m= 1;'(nm) ='(n)'(m) n=rY i=1p ii;'(n) =rY i=1(piipi1 i) =nrY i=1(11p i)?????? ? ???? m2[j1;pj]? m^p6= 1,pjm,m2 fkp=k2[j1;pj]g ????n2N? ?? ? ? n=X djn'(d)?????? ? ????(Un;)?????? ??????? ??????? ?? ????? ?? ?? ????djn? ???? ? U n=[ djnG d n=card(Un) =X djncard(Gd) =X djn'(d) ?? ?? ????? ????U6??j2j??j2j!(x)??????
8 t2ZnZ;tcd=t pjt)tcdt0[p])pjtcdt p^t= 1)tp11[p] cd1['(n)]) 9k2N=cd= 1 +k'(n) = 1 +k(p1)(q1))tcd=t(tp1)q1t[p] pjtcdt? ?? ???? ???? ? xRy,xy2I ????(x;y;x0;y0)2 A4=xRy??x0Ry0? ????? ?9(a;b)2I2=x0=x+a??y0=y+b
x0+y0=x+y+a+b)x0+y0Rx+y
x0y0=xy+ay+xb+ab? ?? ? ?
x0y0Rxy,ay+xb+ab2I, 8a2 A;8z2I;az2I
??f0g??f0g???? ??? ?????? ???a? ???? Z? ??? ?????? ???? ?? ?? ?????nZ ???? Z2?(0;1)Z+ (2;0)Z??? ?? ????? ???? I?? ????? ??AI=A ,12I, 9b2 A;b2I
?? A??? ?? ????? ????? ??? ????? ?????? ????f0g??A?????? ? ??A=I)12I) 9b2 A;b2I) 8a2 A;a=u(u1a)2I;u2 A) A=I I1+:::+In=nX
k=1I k=fx1+:::+xn=8i2[j1;nj];xi2Iig n[ i=1I i?????? ? 02nX k=1I k ????((x1;:::;xn);(y1;:::;yn))2(I1:::In)2 (x1;:::;xn)(y1;:::;yn) = (x1y1;:::;xnyn)2nX k=1I k a(x1;:::;xn) = (ax1;:::;axn)2nX k=1I k n[ i=1I i n[ i=1I i8(x1;:::;xn)2I1:::In;nX
i=1x i2InX k=1I k ???? ? ':AKer(')!Im(') '(x)Ker(')??? ?? ????? ??A
xRy,(xy)2Ker('),'(x) ='(y) ???? (a;b)2 A2? ?? ??? ??? ? bja, 9c2 A=a=bc,a2bA ,aA bA ???? (a;b)2(A n f0g)2?? ??? ??? !??I=f0g?????I= 0K[X] deg(P0) =minfdeg(P)=P2In f0gg9(Q;R)2K[X]2=A=QP0+R;deg(R)< deg(Q)
R=AQP02I)R= 0
A=QP02P0K[X]
=PGCD(a1;:::;an) =m^ i=1,A=nX i=1a i=1a iA ?? ? ?8d2 A;8i2[j1;nj];djai,dj m=PPCM(a1;:::;an) =n_ i=1a i,mA=n\ i=1a i=1a i8i2[j1;nj]djai, 8i2[j1;nj]aiA dA
n[ i=1a iA dA ,dj8i2[j1;nj]aijb, 8i2[j1;nj]bA aiA
,bA n\ i=1a iA ,mjb ????(a1;:::;an)2 An? nV i=1a i= 1 ????(a1;:::;an)2 An;n^ i=1= 1, A=nX i=1a iA ,12nX i=1a iA , 9(x1;:::;xn)2 An;nX i=1a ixi= 1????Z??K[X]? ?? ??????? ??? ??????? ????a^b= 1??? ???????(x1;x2)????? ???ax1+bx2= 1quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48[PDF] algèbre linéaire espace vectoriel exercice corrigé
[PDF] algèbre linéaire exo7
[PDF] algèbre linéaire pour les nuls
[PDF] algèbre linéaire: matrice
[PDF] algebre pdf
[PDF] algebre s2 economie exercices corrigés pdf
[PDF] algebre s2 economie pdf
[PDF] algebre s2 exercices corrigés pdf
[PDF] algérie 1
[PDF] algérie ancienne colonie française
[PDF] algerie ancienne photos
[PDF] algerie news
[PDF] algerie part
[PDF] algérie patriotique