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Exercices avec corrige succinct du chapitre 2

(Remarque: les references ne sont pas gerees dans ce document, par contre les quelques??qui apparaissent dans ce texte sont bien denis dans la version ecran complete du chapitre 2)

Exercice II.1

On denit la matriceA, anlignes etncolonnes par

A=0 B

BBBB@21 0

1 21 1 21 01 21 C CCCCA

On veut resoudreAx= 0.

1. Montrer en resolvant lesn1 premieres equations quexi=ix1; i= 1;:::;n.

2. Resoudre la derniere equation et en deduire quex= 0.

3. En deduire queAest inversible.

Solution :

1. On demontre ce resultat par recurrence, c'est trivialement verie pouri= 1. Supposons que

x i=ix1pourik, on ecrit alors la kieme equation, on obtient: (k1)x1+ 2kx1xk+1= 0,xk+1= (k+ 1)x1:

Ce qui demontre le resultat.

2. En ecrivant la derniere equation, on obtient

(n1)x1+ 2nx1= 0,x1= 0 En utilisant la question precedente on a doncx= 0.

3. On a vu dans le chapitre 1 qu'une condition necessaire et susante pour queAsoit inversible

est que son noyau soit reduit a 0, c'est ce que l'on vient de montrer.Exercice II.2 SoitAune matrice triangulaire inferieure.Ecrire l'algorithme permettant de resoudre le systeme lineaireAx=b(b vecteur donne) en n'oubliant pas de verier au depart que ce systeme a une solution.

Solution :

1:pouri= 1 jusqu'anfaire

2:sijaiij< "alors

3:Arr^eter l'algorithme et donner un message d'erreur

4:n si

5:n pour

6:x1 b1a11

1

7:pouri= 2 jusqu'anfaire

8:xi biPi1

k=1aikxkaii

9:n pourExercice II.3

SoitAune matrice triangulaire superieure, montrer que le calcul du vecteur inconnu est donne par: (xn=bnann x i=1aii b iPn j=i+1aijxj ;pouri=n1; n2; :::;1:

Ecrire alors l'algorithme correspondant.

Solution :Le systeme lineaire s'ecrit

8>>>><

>>>:a

11x1+a12x2+:::+a1;n1xn1+a1nxn=b1

a

22x2+:::+a2;n1xn1+a2nxn=b2

a n1;n1xn1+an1;nxn=bn1 a nnxn=bn On commence donc par calculer l'inconnuexn, puis l'inconnuexn1= (bn1an1;nxn)=an1;n1et on remonte ainsi jusqu'ax1. Ainsi, lorsque l'on arrive a la ieme equation, on a deja calculexkpour k=i+ 1;:::;n. Or cette equation s'ecrit a iixi+ai;i+1xi+1+:::+ai;n1xn1+ainxn=bi ce qui permet de tirerxipar la formule donnee dans l'enonce. L'algorithme ne diere de celui de l'exercice precedent que par les indices.A vous de l'ecrire:::Exercice II.4 Soit le systemeAx=b. On considere la premiere etape de l'elimination de Gauss. Montrer que la ieme equation (pouri2 ) est modiee de la maniere suivante: 8< :a (1) ij=aij!a(2) ij=aijai1a11a1jpourj= 1;2; :::; n b (1) i=bi!b(2) i=biai1a11b1: Solution :On elimine le premier element de la ieme ligneLien eectuant une combinaisonLiL1, ce qui donne a i1a11= 0 soit =ai1a11:

On a alors

L(2) i=LiL1 soit a(2) ij=aija1j;pourj= 1;:::;n; i= 2;::;n: 2 La m^eme combinaison est eectuee sur les composantes du second membre, soit b (2) i=bib1; i= 2;::;n:Exercice II.5 Soit le systemeAx=b. On considere la deuxieme etape de l'elimination de Gauss. Montrer que la ieme equation ( pouri3 ) est modiee de la maniere suivante: 8>>< >:a (2) ij!a(3) ij=a(2) ija(2) i2a(2)

22a(2)

2jpourj= 2;3; :::; n

b (2) i!b(3) i=b(2) ia(2) i2a(2)

22b(2)

2: Solution :On elimine le deuxieme element de la ieme ligneL(2) ien eectuant une combinaison L (2) iL(2)

2, ce qui donne

a (2) i2a(2) 22= 0
soit =a(2) i2a(2) 22:

On a alors

L(3) i=L(2) iL(2) 2 soit a(3) ij=a(2) ija(2)

2j;pourj= 2;:::;n; i= 3;:::;n:

La m^eme combinaison est eectuee sur les composantes du second membre, soit b (3) i=b(2) ib(2)

2; i= 3;:::;n:Exercice II.6

Soit le systemeAx=b. On considere la kieme etape de l'elimination de Gauss. Montrer que la ieme equation ( pourik+ 1 ) est modiee de la maniere suivante: 8>>< >:a (k) ij!a(k+1) ij=a(k) ija(k) ika(k) kka(k) kjpourj=k; k+ 1; :::; n b (k) i!b(k+1) i=b(k) ia(k) ika(k) kkb(k) k: Solution :On elimine le kieme element de la keme ligneL(k) ken eectuant une combinaison L (k) iL(k) k, ce qui donne a (k) ika(k) kk= 0 soit =a(k) ika(k) kk: 3

On a alors

L(k+1)

i=L(k) iL(k) k soit a(k+1) ij=a(k) ija(k) kj;pourj=k;:::;n; i=k+ 1;:::;n: La m^eme combinaison est eectuee sur les composantes du second membre, soit b (k+1) i=b(k) ib(k) k; i=k+ 1;:::;n:

Pourj=kle coecienta ete determine pour quea(k+1)

ik= 0, donc dans la pratique on aecte directement 0 a ce coecient sans eectuer le calcul. Les calculs sont donc faits pourietjvariant de k+ 1 an.Exercice II.7

Soit la matriceA=0

@1 2 1 2 2 1

1 1 11

A et le vecteurb=0 @4 5 31
A , appliquez l'algorithme de Gauss "a la main" pour calculer la solution deAx=b. Solution :L'algorithme procede de la maniere suivante: 0 @1 2 1 2 2 1

1 1 11

A0 @x 1 x 2 x 31
A =0 @4 5 31
A ,0 @1 2 1 021
01 01 A0 @x 1 x 2 x 31
A =0 @4 3 11 A 0 @1 2 1 021

0 0 1=21

A0 @x 1 x 2 x 31
A =0 @4 3 1=21 A

La resolution de ce systeme triangulaire donne:

x

3= 1; x2= 1; x1= 1:Exercice II.8

Calculer le nombre d'operations eectuees pour realiser l'elimination de Gauss en fonction denen

separant multiplications/divisions et additions/ soustractions. Pour cela on pourra utiliser les deux

formules n X k=1k=n(n+ 1)2; n X k=1k

2=n(n+ 1)(2n+ 1)6:

Solution :La demarche est de compter le nombre d'operations a partir de la boucle la plus interieure.

Nous allons evaluer le nombre de multiplications/divisions, vous laissant le soin devaluer le nombre d'additions algebriques. On a ainsi: { pourj=k+ 1!n,aij aijcakj: on eectuenkmultiplications, { calcul debiETc: on eectue 1 multiplication et 1 division 4 { On eectue les operations precedentes pouri=k+ 1!n: on ectue donc (nk)(nk+ 2) multiplications/divisions { On eectue ce qui precede pourk= 1!n1: on eectue doncPn1 k=1(nk)(nk+ 2) multiplications/divisions soit n1X k=1(nk)(nk+ 2) =n1X p=1p(p+ 2) =n1X p=1p

2+ 2n1X

p=1p=(n1)n(2n1)6+ 2(n1)n2'13n3: Dans le resultat, on n'a garde que les termes de plus haut degre.Exercice II.9 SoientLune matrice triangulaire inferieure etUune matrice triangulaire superieure et on poseA=

LU. Montrer que, pour la colonnejdeA, on a

a ij=iX k=1l ikukj;pourij; et a ij=jX k=1l ikukj;pouri > j: Solution :L'element du produit des matricesLetUest donne par: a ij=nX k=1l ikukj: Orlik= 0 pouri < ketukj= 0 pourj < k. Le produit des elements sera donc nul lorsqueksera superieur au plus petit des deux entiersietj, d'ou le resultat.Exercice II.10 SoitAune matrice inversible qui admet une factorisationA=LUouLest triangulaire inferieure,U est triangulaire superieure et la diagonale deUne comporte que des 1, alors cette factorisation est unique. Solution :On suppose qu'il y a deux decompositons possibles:

A=LU=bLbU:

PuisqueAest inversible,L,U,bL,bUsont inversibles. On a alors bL)1L=bUU1:

Le produit de deux matrices triangulaires inferieures (resp. superieures) est une matrice triangulaire

inferieure (resp. superieure). Il en resulte que l'egalite precedente donne un matrice diagonale (car

triangulaire inferieure et superieure). D'autre part, la diagonale debUU1ne comportant que des 1, la matrice produit est necessairement la matrice identite. Ainsi bL)1L=bUU1=I; soit

L=bL; U=bU:

5

Exercice II.11

Resoudre le systemeAx=bdont la factorisationLUdeAest donnee: A=0 @1 0 0 2 1 0

1 2 11

A0 @2 12 0 3 1 0 011 A b=0 @1 6 61
A

Solution :La resolution deLy=bdonne

y=0 @1 4 11 A puis celle deUx=ydonne x=0 @1 1 11

AExercice II.12

SoitA=0

@2 12 4 53

2 5 31

A , en vous inspirant de ce qui a ete fait pour l'algorithme de Doolittle dans le paragraphe "??", eectuez la factorisation de Crout de la matriceA, c'est a dire determinezLet Utelles queA=LUavec les termes diagonaux deUegaux a 1 (ceux deLsont quelconques).

Solution :On chercheL=0

@0 0 0 1 A ; U=0 @1 0 1

0 0 11

A telles queA=LU. { On identie la premiere colonne deAet la premiere colonne deLU, cela permet d'obtenir la premiere colonne deL: LU=0 @2 0 0 40
2 1 A0 @1 0 1

0 0 11

A =0 @2 12 4 53

2 5 31

A { On identie la premiere ligne deAavec la premiere ligne deLU, cela permet d'obtenir la premiere ligne deU: LU=0 @2 0 0 40
2 1 A0 @1 1=21 0 1

0 0 11

A =0 @2 12 4 53

2 5 31

A { On identie la deuxieme colonne deAavec la deuxieme colonne deLU, cela permet d'obtenir la deuxieme colonne deL: LU=0 @2 0 0 4 3 0 2 61 A0 @1 1=21 0 1

0 0 11

A =0 @2 12 4 53

2 5 31

A 6 { On identie la deuxieme ligne deAavec la deuxieme ligne deLU, cela permet d'obtenir la deuxieme ligne deU: LU=0 @2 0 0 4 3 0 2 61 A0 @1 1=21

0 1 1=3

0 0 11

A =0 @2 12 4 53quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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