[PDF] CHAPITRE 2 NORMES ET TOPOLOGIE SUR Rn

View - Download CHAPITRE 2 NORMES ET TOPOLOGIE SUR Rn

Previous PDF

Next PDF

CHAPITRE 2

NORMES ET TOPOLOGIE SURRn

Dans le chapitre precedent, on a enonce et demontre les resultats essentiels sur les fonctions continuesRn!Rpet les compacts deRn, sans prononcer le mot"norme». Pour aller plus loin, il est commode d'introduire ce langage.

3. Distances et normes

Denition 3.1(Distances). |Soi tEun ensemble. UnedistancesurEest une application d:EE!R+veriant les trois proprietes suivantes : (1) ( Separation)d(x;y) = 0()x=y. (2) ( Symetrie)d(x;y) =d(y;x). (3) ( Inegalite triangulaire)d(x;z)d(x;y) +d(y;z) pour toutx;y;z2E. x yz Dans ce cas, on dit queE, muni de la distanced, est unespace metrique. Denition 3.2(Normes). |Soi tEunR-espace vectoriel (en abregeR-ev). UnenormesurE une applicationN:E!R+telle que(Q) (1) ( Separation)N(u) = 0,u= 0. (2) ( Homogeneite)N(u) =jjN(u) pour toutu2Eet2R(oujjest la valeur absolue de). (3) ( Inegalite triangulaire)N(u+v)N(u) +N(v) pour toutu;v2E. On dit alors queE, muni deN, est unR-espace vectorielnorme(en abregeevn). Remarque 3.3. |Soi t( E;N) un evn. Alors l'applicationd:EE!R+, (x;y)7!N(yx) est une distance. En eet, la separation est claire, la symetrie decoule de l'egaliteN(u) =N(u) et pourx;y;z2E, l'inegalite d(x;z) =N(zx)d(x;y) +d(y;z) =N(yx) +N(zy)

10CHAPITRE 2. NORMES ET TOPOLOGIE SURRn

decoule de 3.2(3) applique au=yxetv=zy. C'est d'ailleurs pour cette raison que 3.2(3) est appelee"inegalite triangulaire».(1) Exemple 3.4(fondamental). |La v aleurab solueR!R+,x7! jxjest une norme surR. Par consequent, l'applicationd:RR!R+;(x;y)7! jyxjest une distance surR. Anticipant un peu sur la suite du cours, donnons aussi l'exemple suivant : Exemple 3.5. |S urR2, la"norme euclidienne», denie parkxk2=px

21+x22, est bien une norme.

(Exercice : le verier!) Denition 3.6(Boules ouvertes ou fermees). |Soi ent( E;d) un espace metrique,x2Eet r >0. On denit laboule ouvertede centrexet rayonrpar

B(x;r) =fy2Ejd(x;y)< rg

et laboule fermeede centrexet rayonrparB(x;r) =fy2Ejd(x;y)rg: En particulier, siEest unR-espace vectoriel muni d'une normek k, alors(Q)

B(x;r) =fy2Ej kyxk< rg;B(x;r) =fy2Ej kyxk rg:

Exemples 3.7. |( 1)D ansR, la boule ouverte (resp. fermee) de centrexet rayonrest l'intervalle ouvert ]xr;x+r[ (resp. l'intervalle ferme [xr;x+r]). (2) DansR2muni de la norme euclidienne, la boule ouverte (resp. fermee) de centrexet rayon rest le disque ouvert (resp. ferme) de centrexet de rayonr. Dans le chapitre 1, on a muni (sans le dire)Rnde la norme suivante : Denition 3.8(NormeN1surRn). |P ourx= (x1;:::;xn) dansRn, on pose(Q) kxk= maxi=1;:::;njxij: C'est une norme surRn: separation et symetrie sont evidentes, et l'inegalite triangulaire decoule de ce que, pour touti, on a jui+vij juij+jvij kuk+kvk d'ouku+vk kuk+kvk. S'il faut la distinguer d'autres normes qu'on introduira plus tard surRn, cette norme sera notee k k

1. (L'explication de l'indice1sera donnee plus loin.) La distance associee est donnee par :

d(x;y) = maxi=1;:::;njyixij: Remarque 3.9. |P ourc etted istance,l ab oule(ou verteou f ermee)de R2de centrex= (x1;x2) et de rayonrest le carre (ouvert ou ferme) de c^ote 2rcentre enx, i.e.B(x;r) = [x1r;x1+r][x2r;x2+r] =f(y1;y2)2R2jx1ry1x1+r; x2ry2x2+rg et de m^eme pour la boule ouverte. De m^eme, pournarbitraire la boule (ouverte ou fermee) deRn de centrex= (x1;:::;xn) et de rayonrest l'hypercube (ouvert ou ferme) de c^ote 2rcentre enx, i.e. le produit des intervalles [xir;xi+r] pouri= 1;:::;n.(1)

Certains auteurs appellent 3.2(3) l'inegalite de Minkowski et reservent le nom d'inegalite triangulaire a 3.1(3).

3. DISTANCES ET NORMES11

Une justication pour introduire la notion d'espace metrique est donnee par la : Remarque 3.10. |Soi t( E;d) un espace metrique (par exempleRn). Tout sous-ensembleAde E, muni de la restrictiondAdedaAA(i.e.dA(x;y) =d(x;y) pour toutx;y2A) est un espace metrique. Partant deRnmuni de la normeN1, on a donc une structure d'espace metrique sur tout sous- ensembleAdeRn: pour touta2Aetr >0, la boule ouverte deAde centreaet rayonr est : B

A(a;r) =fy2Aj kyak< rg=B(a;r)\A:

Si l'on a deux espaces metriques (E;d) et (E0;d0) on peut parler d'applications continuesE!E0. Denition 3.11(Applications continues). |Soi ent( E;d), (E0;d0) deux espaces metriques etfune applicationE!E0. (i) On d itq uefest continue en un pointx02Esi pour tout" >0 il existe >0 tel que f(B(x0;))B(f(x0);"), i.e. tel quef1(B(f(x0);"))B(x0;). (ii) S iAest un sous-ensemble deE, on dit quefest continue surAsi elle est continue en tout point deA. Exemple 3.12(fondamental). |Soi tfune fonctionRn!RpetA=Df. Dans ce cas, la denition precedente co ncide avec celle donnee en 1.3 :fest continue en un pointx02Asi et seulement si pour tout" >0 il existe >0 tel quef(A\B(x0;))B(f(x0);"), i.e. tel que pour toutx2Aon ait : kxx0k< =) kf(x)f(x0)k< ": On peut denir les applications lipschitziennes dans ce cadre : Denition 3.13(Applications lipschitziennes). |Soi ent( E;d), (E0;d0) deux espaces me- triques etfune applicationE!E0. (i) On d itq uefestL-lipschitzienne, ouLest un reel>0, si pour toutx;y2Eon a : ()d0(f(x);f(y))L d(x;y): (ii) I lest cl airqu 'unet elleap plicatione stc ontinue: p ourt out" >0, on ad(x;y)< "=L=) d

0(f(x);f(y))< ".

(iii)SiLest le plus petit reel>0 veriant (), on dit queLest la constante de Lipschitz def.

Le lemme suivant sera utile.

Lemme 3.14. |Soit(E;N)unR-evn. L'applicationN:E!Rest1-lipschitzienne, donc continue. Demonstration. |Soi entx;y2E. D'apres l'inegalite triangulaire, on aN(y)N(x)N(yx) et de m^emeN(x)N(y)N(xy) =N(yx), d'ou jN(y)N(x)j N(yx):

Ceci montre queN:E!Rest 1-lipschizienne.

12CHAPITRE 2. NORMES ET TOPOLOGIE SURRn

Denition 3.15(Normes equivalentes). |Soi tEunR-ev. On dit que deux normesN;N0 surEsontequivalentess'il existe deux reels; >0 tels que

N(x)N0(x) N(x);pour toutx2E:

Dans ce cas, on a1N0(x)N(x)1N0(x) donc cette relation estsymetrique.(2)On verie facilement qu'elle est aussitransitive(i.e. siN0est equivalente aNetN00, alorsNetN00sont equivalentes), donc c'est une relation d'equivalence. Theoreme 3.16. |Toutes les normes surRnsont equivalentes entre elles.(Q) Demonstration. |Il su tde mon trerq uet outen ormeNest equivalente a la normek k=N1. Soit (e1;:::;en) la base canonique deRn. Pour toutx= (x1;:::;xn) on a :

N(x) =N(X

ix iei)X iN(xiei) =X ijxijN(ei)Lkxk ouL=P iN(ei). Ceci montre que l'applicationN:Rn!RestL-lipschitzienne, donc continue. D'autre part, d'apres le lemme 3.14, l'applicationk k:Rn!Rest continue et donc la sphere unite (image reciproque du fermef1g) : S

1(0;1) =fx= (x1;:::;xn)j kxk= 1g

est fermee, d'apres la proposition 1.19. Comme elle est aussi bornee, elle est compacte (Th. 2.5) et donc, d'apres le theoreme 2.6, l'application continueNy est bornee et atteint ses bornes. Il existe donca;b2S1(0;1) tels que, posant=N(a)>0 et=N(b)>0, on aitN(x)pour toutx2S1(0;1). Or, pour toutx2Rn f0gle vecteurx0=1kxkxappartient aS1(0;1) et, commeN(x0) =N(x)=kxk, les inegalites precedentes entra^nent kxk N(x)kxk;

inegalite qui est encore veriee pourx= 0. Ceci prouve queNest equivalente ak k.Exemples 3.17(de normes surRn). |1) L' applicationN1, qui ax= (x1;:::;xn) associe

kxk1=P

1injxijest une norme surRn: demonstration immediate, laissee au lecteur.

2) L'applicationN2qui ax= (x1;:::;xn) associe

kxk2=ÊX 1inx 2i est une norme surRn, appelee la norme euclidienne. Ceci necessite une demonstration, donnee plus bas. Cette norme provient du produit scalaire euclidien donne parxy=P

1inxiyi: on a

kxk2=pxx.

3) Plus generalement, pour tout reelp1 on peut montrer (voir en TD) que la fonctionNpqui

ax= (x1;:::;xn) associe kxkp=" X 1inx p iŽ 1=p est une norme surRn.(2) On voit donc qu'un vecteurxest"petit»pour la normeNsi et seulement si il l'est pourN0.

3. DISTANCES ET NORMES13

Exercice 3.18. |La not ationN1est justiee par le fait que, pour toutx2Rn, on a lim p!+1Np(x) = max1injxij=N1(x): Demontrer cette egalite. Indication : montrer queN1(x)Np(x)n1=pN1(x) et utiliser que lim p!+1log(n)=p= 0.

Exercice 3.19. |M ontrerq uep ourt outx2Rnon a :

kxk1 kxk2 kxk1nkxk1etkxk2pnkxk1: Remarque 3.20. |On ren contreau ssid esn ormessu rd esR-espaces vectoriels de dimension innie. Par exemple, soienta < bdansRetE=C([a;b];R) leR-espace vectoriel des fonctions continuesf: [a;b]!R. Comme toute fonction continuefsur [a;b] est bornee et integrable sur [a;b], on peut munirEdes normes suivantes : (1)kfk1= maxx2[a;b]jf(x)j. La verication que c'est une norme est facile et laissee au lecteur. (2)kfk1=Rb ajf(x)jdx. L'inegalite triangulaire resulte de ce quef7!Rb afest croissante etjf+gj jfj+jgj. La separation est un exercice classique. (3)kfk2=€Rb af(x)2dxŠ

1=2. La separation est le m^eme exercice. L'inegalite triangulaire decoule de ce

quekk2provient du produit scalaire (fjg) =Rb af(x)g(x)dxet de l'inegalite de Cauchy-Scharz (voir plus

bas).Le reste de cette section n'est qu'une reecriture des resultats de la section 1 dans le langage des espaces

metriques et peut donc ^etre omis. Noter toutefois que la proposition 3.22 generalise 1.15(2) au cas ou seul

l'espace de depart est suppose de dimension nie. Lemme 3.21. |SoientE;E0deuxR-evn etf:E!E0une application lineaire. Les conditions suivantes sont equivalentes : (i)fest continue. (ii)fest continue en0. (iii)Il existe un reelC >0tel quekf(x)k Ckxkpour toutx2E. (iv)fest lipschitzienne. Demonstration. |I le stc lairq ue( iv))(i))(ii). Supposonsfcontinue en 0. Alors il existe >0 tel que f

1(B(0;1))B(0;2)B(0;):

Pour toutx6= 0,x0=kxkxappartient aB(0;) et donckf(x0)k 1, d'ou kf(x)k 1 kxk et cette inegalite est encore vraie pourx= 0. Ceci prouve l'implication (ii))(iii). Enn, supposons (iii) verie. Alors, pour toutx;y2Eon a kf(y)f(x)k=kf(yx)k Ckyxk

et doncfestC-lipschitzienne.Proposition 3.22. |SoitEunR-evn. Toute application lineairef:Rn!Eest lipschitzienne, donc

continue.

14CHAPITRE 2. NORMES ET TOPOLOGIE SURRn

Demonstration. |No tons( e1;:::;en) la base canonique deRn. Pour toutx= (x1;:::;xn) on af(x) =Pn i=1xif(ei) donc : kf(x)k nX i=1jxijf(ei)Ckxk; ouC=Pn

i=1kf(ei)k. DoncfestC-lipschitzienne, d'apres l'implication (iii))(iv) du lemme precedent.Proposition 3.23. |Considerons trois espaces metriques(E;d),(E0;d0),(E00;d00)et des applications

f:E!E0etg:E0!E00. (i)Soitx02E. Sifest continue enx0etgcontinue enf(x0), alorsgfest continue enx0. (ii)Par consequent, sifetgsont continues,gfl'est aussi. Demonstration. |(i )P osonsy0=f(x0) etz0=g(y0) = (gf)(x0). Soit" >0. Commegest continue en y

0, il existe0>0 tel queg(B(y0;0))B(z0;"), et commefest continue enx0, il existe >0 tel que

f(B(x0;))B(y0;0). Alors, on a gf(B(x0;))g(B(y0;0))B(z0;"):

Ceci prouve (i), et evidemment (ii) en decoule.Dans un espace metrique (E;d), on peut aussi parler de suites convergentes :

Denition 3.24(Limite d'une suite). |S oit( E;d) un espace metrique et (xk)k2Nune suite d'ele- ments deE. On dit que (xk)k2Nconverge vers une limitea2E, et on notexk!a, si pour tout" >0 il existen02Ntel que pour toutkn0, on aitd(a;xk)< ". Proposition 3.25. |La limite, si elle existe, est unique. Demonstration. |S oienta;b2Edeux limites de la suite (xk)k2Net soit" >0. Il existena;nb2Ntels qued(a;xk)< "etd(b;x`)< "pour toutk > naet` > nb. Posonsn0= max(na;nb). Alors, pour tout k > n

0on a, d'apres l'inegalite triangulaire :

d(a;b)d(a;xk) +d(xk;b)<2";

ce qui montre quea=b, puisque"est arbitraire.On peut caracteriser la continuite en termes de suites :

Proposition 3.26. |Soient(E;d),(E0;d0)deux espaces metriques,fune applicationE!E0eta2E.

Les proprietes suivantes sont equivalentes :

(i)fest continue ena. (ii)Pour toute suite(xk)k2NdeEconvergeant versa, la suitef(xk)deE0converge versf(a). Demonstration. |(i ))(ii). Supposonsfcontinue enaet soit (xk)k2Nune suite deEconvergeant vers a. Soit" >0. Commefest continue ena, il existe >0 tel quef(B(a;))B(f(a);"). Comme (xk)k2N converge versa, il existen02Ntel quexk2B(a;) pour toutk > n0et donc on af(xk)2B(f(a);") pour toutk > n0. Ceci prouve que la suitef(xk) converge versf(a). (ii))(i). Supposons quefn'est pas continue ena. Il existe alors"0>0 tel que pour toutk2N, il existe x k2B(a;1=k) tel qued0(f(a);f(xk))"0. On obtient ainsi une suite (xk)k2Ntelle qued(a;xk)<1=k, donc qui converge versa, maisd0(f(a);f(xk))"0pour toutk2N, doncf(xk) ne converge pas vers f(a).

4. TOPOLOGIE : OUVERTS ET FERM

ES, PARTIES CONNEXES OU CONVEXES15

4. Topologie : ouverts et fermes, parties connexes ou convexes

DansR, les"bons»sous-ensembles sur lesquelsetudier les fonctions derivables sont les intervalles ouverts. Les boules ouvertes deRnen sont des generalisations, mais ne susent pas : la bonne notion est celle d'ouvert connexe, que l'on va introduire. On munitRnd'une normeNquelconque, par exemple la norme euclidiennek k2. SiN0est une autre norme, il existe d'apres le theoreme 3.16 des reels; >0 tels queNN0Net donc, en notantBetB0les boules ouvertes pourNetN0respectivement, on a pour toutx2Rn etr >0 : (?)B0(x;r)B(x;r)B0(x;r): i.e. toute boule ouverte pourNcentree enxcontient une boule ouverte pourN0de m^eme centre, et vice-versa. Ceci montre que les denitions ci-dessous ne dependent pas de la norme choisie sur R n.

Denitions 4.1(Ouverts et fermes). |1) O nd itq u'unep artieUdeRnest un (sous-(Q)ensemble)ouvertsi pour touta2Uil exister >0 tel queB(a;r)U. Noter que, par denition,

?est ouvert, ainsi queRn.

2) On dit qu'une partieFdeRnest un (sous-ensemble)fermesi son complementairecF=

R nFest ouvert. Proposition 4.2. |( 1)Toute boule ouverte est un ouvert.(Q) (2)Toute boule fermee est un ferme. (3)Ces notions de ferme et d'ouvert concident avec celles introduites en1.17, i.e.Fest ferme ()pour toute suite(xk)k2Nd'elements deFqui converge vers une limite`2Rn, on a`2F (4)Ces notions de ferme et d'ouvert ne dependent pas de la norme choisie surRn. Demonstration. |( 1)S oientB(x;R) une boule ouverte eta2B. Alorsr=Rd(x;a) est>0 et, d'apres l'inegalite triangulaire on a, pour toutz2B(a;r) : d(x;z)d(x;a) +d(a;z)< d(x;a) +r=R:

On a doncB(a;r)B(x;R), ce qui prouve (1).

Prouvons (2). SoientB(x;R) une boule fermee etUson complementaire. Soita2U, alorsquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

[PDF] epreuve d'effort rectangulaire

[PDF] liste des mots scrabble 2015 pdf

[PDF] transformer un nom en verbe

[PDF] ods scrabble 2016 pdf

[PDF] dictionnaire officiel du scrabble 2016

[PDF] liste de tous les mots scrabble pdf

[PDF] symbole du argent

[PDF] symbole du or

[PDF] amérindiens guyane française

[PDF] nom de famille metisse

[PDF] qu'est ce qu'une forme d'énergie

[PDF] liste de nom de famille amérindien

[PDF] consulter le registre des indiens

[PDF] nom de famille autochtone du quebec

[PDF] recherche ancêtre autochtone