[PDF] Algèbre linéaire Faculté des Sciences Exactes et

View - Download Algèbre linéaire

Previous PDF

Next PDF

MINISTERE DE LNSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE

LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE ABDELHAMID IBN BADIS - MOSTAGANEM

POLYCOPIE :

Algèbre linéaire

Cours et exercices corrigés

Réalisé par:

HAMMOU Amouria

Pour

Première année Math-Informatique

Année Universitaire 2020-2021

Table des matières

Introduction 3

1 Espaces vectoriels 4

1.1 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Dépendance et indépendance linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Familles liées, familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Sous espace engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Familles génératrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Théorie de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Exercices proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Applications linéaires 26

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Noyau et image d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Exercices proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Matrices et Déterminants 38

3.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.2 L"espace vectorielMn;p(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.4 Matrices carrées inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Matrice associée à une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Transposée d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1

3.5 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.1 Déterminant d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.2 Déterminant d"une famille denvecteurs dans une base d"un espace

vectoriel de dimensionn(n2IN?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5.4 Calcul d"un déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5.5 Calcul de l"inverse d"une matrice carrée inversible . . . . . . . . . . 52

3.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.7 Exercices proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Systèmes d"équations linéaires 64

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Méthodes de résolution d"un système d"équations linéaires . . . . . . . . . 66

4.2.1 Résolution par la méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2 Résolution par la méthode de la matrice inverse : . . . . . . . . . . 67

4.2.3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4 Exercices proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2

Introduction

Ce document est consacré aux cours d"Algèbre linéaire avec exercices corrigés et exer- cices proposés. Il est à caractère purement pédagogique couvre le programme d"Algèbre linéaire de la première année LMD, Licence Mathématique, Informatique. Il composé de quatre chapitres, le premier chapitre est consacré a l"étude les espace vec- toriels. Le deuxième chapitre aborde l"étude les applications linéaires. Le chapitre suivant traite l"étude des Matrices et Déterminats. Le dernier chapitre est consacré a l"étude des systèmes d"équations linéaires. Nous espérons que ce polycopié répondre aux attentes des étudiants et qu"il les aidera

à réussir.

3

Chapitre 1

Espaces vectoriels

1.1 Espaces vectoriels de dimension finie

SoitKun corps commutatif et soitEun ensemble non vide muni d"une opération interne notée(+) : (+) :EE!E (u;u0)7!u+u0 et d"une opération externe notée() : () :KE!E (;u)7!u Définition 1.1Un espace vectoriel sur le corpsKou unK-espace vectoriel est un triplet (E;+;)tel que :

1)(E;+)est un groupe commutatif.

2)82K;8u;u02E:(u+u0)= (u) + (u0):

3)8;2K;8u2E: (+)u=(u) + (u):

4)8;2K;8u2E:(u)= ()u:

5)8u2E;1Ku=u;où1Kest l"élément neutre de la multiplication dans le corpsK:

Les éléments de l"espace vectoriel sont appelés des vecteurs et ceux deKdes scalaires. 4 Proposition 1.2SiEestK-espace vectoriel, alors on a les propriétés suivantes :

1)82K;8u2E;0E= 0Eet0Ku= 0E:

2)82K;8u2E;(u= 0E),(= 0Kou u= 0E):

3)82K;8u2E;()u=uu:

4)82K;8u;u02E;(uu0) =uu0:

Preuve :Soient2Ketu;u02E:

1)0E=(0E+ 0E) =0E+0E:

Donc0E= 0E:

0

Ku= (0K+0K)u= 0Ku+ 0Ku:

Donc0Ku= 0E:

2) Si= 0Kouu= 0E, alors d"aprés(1),u= 0E:

Supposons queu= 0Eet6= 0K;alors en notant1l"inverse derelative- ment à la multiplication dansK; on aura u= 1ku= (1)u=1(u) =10E= 0E:

3) On a

u= (+ (+))u= (() +)u= ()u+u:

Alors()u=uu:

5

4)u=(u+ (u0+u0)) =((uu0) +u0) =(uu0) +u0:

Doncuu0=(uu0):

Exemple 1.3(R;+;)est unIR-espace vectoriel,(C;+;)est unC-espace vectoriel.

Exemple 1.4Soientn2IN?etE=IRn:

Eest un espace vectoriel surIR:

On définit les deux lois suivantes :

+ :EE!E (u;u0)7!u+u0= (u1+u01;:::;un+u0n) u= (u1;u2;:::;un)etu0= (u01;u02;:::;u0n) :IRE!E (;u)7!u= (u1;u2;:::;un)

Emuni de ces deux lois est unIR-espace vectoriel.

Exemple 1.5SoientXun ensemble non vide etE=F(X;IR)l"ensemble des applica- tions deXdansIR: Eest unIR-espace vectoriel pour les lois interne et externe définies par :

8(h;h0)2E2;8u2X: (hh0)(u) =h(u) +h0(u):

8h2E;82IR;8u2X: (h)(u) =h(u):

1.2 Sous-espaces vectoriels

Définition 1.6Soient(E;+;)unK-espace vectoriel etFune partie deE: On dit queFest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si : i)F6=;: ii)8u;u02F:u+u02F: iii)82K;8u2F:u2F: 6 Proposition 1.7Soient(E;+;)unK-espace vectoriel etFune partie deE: AlorsFest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si : a)F6=;: b)8u;u02F;8;2K:u+u02F:

Exemple 1.8Montrons que

F=f(u;u0;u00)2IR3:u+u0= 0g;

est un sous-espace vectoriel deIR3:

1)F6=;caroIR3= (0;0;0)2F:

2) Soient;2IRet(u1;u01;u001);(u2;u02;u002)2F:

Alorsu1+u01= 0etu2+u02= 0:

On a :

(u1;u01;u001) +(u2;u02;u002) = (u1+u2;u01+u02;u001+u002); et (u1+u2) + (u01+u02) =(u1+u01) +(u2+u02) =0 +0 = 0: Donc (u1;u01;u001) +(u2;u02;u002)2F:

AinsiFest un sous espace vectoriel deIR3:

Remarque 10El"élément neutre dansErelativement à la lois+:

SiFest un sous-espace vectoriel deE;alors0E2F:

Exemple 1.9SoitEunK-espace vectoriel.

f0EgetEsont des sous-espaces vectoriels deE. Exemple 1.10Soient(E;+;)unK-espace vectoriel etFune partie deE: Si0E=2F;alorsFn"est pas un sous-espace vectoriel deE: 7 Proposition 1.11SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d"unK-espace vectoriel de

E:AlorsF\Gest un sous espace vectoriel deE:

Preuve :

i)F\G6=;car0E2F\G: ii) Soientu;u02F\G; u;u

02F\G)u;u02Fetu;u02G;

)u+u02F et u+u02G; )u+u02F\G: iii) Soientu2F\Get2K; u2F\G)u2Fetu2G; )u2Fetu2G; )u2F\G:

DoncF\Gest un sous-espace vectoriel deE:

Remarque 2SiFetGsont deux sous-espaces vectoriels d"unK-espace vectoriel deE; alorsF[Gn"est pas en général un sous-espace vectoriel deE:

Exemple 1.12Considérons l"espace vectorielIR2;

L"ensembleF=f(1;0) :2IRg=f(;0) :2IRg;

l"ensembleG=f(0;1) :2IRg=f(0;) :2IRg:

F;Gsont des sous-espaces vectoriels deIR2:

On a(1;0)2Fdonc(1;0)2F[Get(0;1)2Gdonc(0;1)2F[G;

maisw= (1;0) + (0;1) = (1;1)=2F[G: 8 Proposition 1.13Soit(E;+;)unK-espace vectoriel,FetGdeux sous-espaces vecto- riels deE:

On noteF1+F2=fu2E:9(u1;u2)2F1F2:u=u1+u2g;

u

1+u2: (u1;u2)2F1F2:

F

1+F2est appelé somme deF1etF2:

F

1+F2est un sous-espace vectoriel deE:

Preuve :

i)F1+F26=;car0E= 0E+ 0E2F1+F2: ii) Soientu;u02F1+F2: On a u+u0= (u1+u2) + (u01+u02) = (u1+u01) + (u2+u02)2F1+F2: iii) Soientu2F1+F2et2K:

Donc9(u1;u2)2F1F2:u=u1+u2:

On au=(u1+u2) = (u1) + (u2)2F1+F2:

AinsiF1+F2est un sous-espace vectoriel deE:

Proposition 1.14Soient(E;+;)unK-espace vectoriel ,FetGdeux sous-espaces vec- toriels deE:

On a alors

1)F+G=G+F:

9

2)FF+G:

3)F+f0Eg=F:

4)F[E=E:

5)F\ f0Eg=f0Eg:

6)F\E=F:

Définition 1.15Soient(E;+;)unK-espace vectoriel etFetGdeux sous-espaces vec- toriels deE: On dit queFetGsont en somme directe si et seulement siF\G=f0Eg: LorsqueFetGsont en somme directe, on noteFGau lieu deF+G: Proposition 1.16Soient(E;+;)unK-espace vectoriel ,FetGdeux sous-espaces vec- toriels deE:AlorsFetGsont en somme directe si et seulement si tout élément deF+G se décompose d"une façon unique en somme d"un élément deFet d"un d"élément deG:

Preuve :

1) Supposons queFetGsoient en somme directe.

Soitu2F+Gsupposons queu=u1+u2=u01+u02avec(u1;u2);(u01;u02)2FG

On au1u01=u02u2

On au1u012Fetu02u22GetF\G=f0Eg.

Doncu1u01=u02u22F\G=f0Eg:

Ainsi u1u01= 0E u

02u2= 0Eet par suiteu1=u01u

2=u02 D"oùuse décompose d"une façon unique surFetG: 10

2) Supposons que tout élément deF+Gse décompose d"une façon unique surFetG:

On af0Eg F\G:

Soitu2F\GOn a0E= 0E+ 0E=u+ (u):

D"aprés l"hypothèseu= 0E:

AinsiF\G f0Eg:

D"oùF\G=f0Eget par suiteFetGsont en somme directe. Définition 1.17Soient(E;+;)unK-espace vectoriel etFetGdeux sous-espaces vec- toriels deE: On dit queFetGsont supplémentaires dansEsi et seulement siF+G=E

F\G=f0Eg

Où0Eest l"élément neutre dansErelativement à la loi+: Ceci revient à dire queFetGsont en somme directe etFG=E: Exemple 1.18Considérons l"espace vectorielIR2sur le corpsIR:

F=IR f0getG=f0g IR

FetGsont deux sous-espaces vectoriel deIR2supplémentaires dansIR2: Exemple 1.19Dans l"espace vectorielIR3sur le corpsIR, on considère les deux en- sembles suivants : F=f(u;u0;u00)2IR3:u00= 0getG=f(u;u0;u00)2IR3:u=u0= 0g

FetGsont des sous-espaces vectoriels deIR3car :

11

1)(0;0;0)2F:

D"oùu001= 0etu002= 0:

On a (u1;u01;u001) +(u2;u02;u002) = [(u1+u2);(u01+u02);(u001+u002)] et (u001+u002) = 0:

D"où(u1;u01;u001) +(u2;u02;u002)2F:

DoncFest un sous-espace vectoriel deIR3:

2) De même pourG:

3) Montrons queIR3=FG:

Soitu;u0;u002IR;

on a(u;u0;u00) = (u;u0;0) + (0;0;u00):

D"oùIR3=F+G:

(u;u0;u00)2F\G)(u;u0;u00)2F et(u;u0;u00)2G )u00= 0et u=u0= 0 )(u;u0;u00) = (0;0;0): AlorsF\G f(0;0;0)get comme(0;0;0)2F\G;alorsF\G=f(0;0;0)g:

D"oùIR3=FG:

12

1.3 Dépendance et indépendance linéaires

1.3.1 Familles liées, familles libres

Définition 1.20SoientEunK-espace vectoriel;n2IN?;u1;:::;un2E: On appelle combinaison linéaire deu1;:::;untout élément deEtel qu"il existe1;:::;n2K tels que : u=1u1+2u2+:::+nun=nX i=1 iui Définition 1.21Si(ui)i2Eest une famille d"éléments d"unK-espace vectoriel, on appelle combinaison linéaire de(ui)i2E, tout élémentudeEtel qu"il existe une partie finieJde

Eest une famille(i)i2JdeKtelles que :u=P

i2Jiui Définition 1.22SoientEunK-espace vectoriel;n2IN?;u1;:::;un2E:

1) On appelle la famillefu1;:::;ungest liée si et seulement si :

9(1;:::;n)2Kn f(0;0;::;0)g:Pn

i=1iui= 0: On dit également que les vecteursfu1;:::;ungsont linéairement dépendants.

2) On appelle la famillefu1;:::;ungest libre si et seulement si :

8(1;:::;n)2Kn: [(Pn

i=1iui= 0))(8i2 f1;:::;ng) :i= 0]: On dit aussi que les vecteursfu1;:::;ungsont linéairement indépendants. Remarque 3SoientEunK-espace vectoriel;n2IN?; u1;:::;un2E: On appelle la famillefu1;:::;ungest libre si et seulement s"elle n"est pas liée. Exemple 1.23La famillefu= (1;0;1);u0= (2;1;1)g IR3est libre car :

8;2IR:

u+u0= 0IR3)(;0;) + (2;;) = (0;0;0) )(+ 2;;) = (0;0;0) 8 :+ 2= 0 = 0 = 0 13 )== 0: Exemple 1.24E=IR2;n= 3;u= (1;1);u0= (2;1);u00= (1;0):

La familleu;u0;u00est liée puis queuu0u00= 0.

1.4 Sous espace engendré par une partie

SoientEunK-espace vectoriel etAune partie non vide deE:quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] algèbre linéaire espace vectoriel exercice corrigé

[PDF] algèbre linéaire exo7

[PDF] algèbre linéaire pour les nuls

[PDF] algèbre linéaire: matrice

[PDF] algebre pdf

[PDF] algebre s2 economie exercices corrigés pdf

[PDF] algebre s2 economie pdf

[PDF] algebre s2 exercices corrigés pdf

[PDF] algérie 1

[PDF] algérie ancienne colonie française

[PDF] algerie ancienne photos

[PDF] algerie news

[PDF] algerie part

[PDF] algérie patriotique

[PDF] algo mas terminale corrigé