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4

Développement décimal d"un réel

On rappelle que le corpsRdes nombres réels est archimédien, ce qui permet d"y définir la fonction partie entière.

En utilisant cette partie entière on verra dans ce chapitre que tout réel peut être approché

par des nombres rationnels particuliers que sont les nombres décimaux.

4.1 Nombres décimaux

Définition 4.1

On appelle nombre décimal tout nombre rationnel de la formea 10 moùaest un entier relatif etmun entier naturel.

On noteDl"ensemble des nombres décimaux.

Il est facile de vérifier queDest un sous-anneau deQ:Cet anneau est donc commutatif et intègre (i. e. sans diviseurs de0).

Exercice 4.1

Montrer qu"un nombre rationnel non nulr=p

entre eux est décimal si, et seulement si, les seuls diviseurs deqsont2et5:

Solution 4.1

Siq= 2n5m;on a alorsr=2m5np

10 n+m2D:

Réciproquement sir=p

q

2D;on a alorsp

q =a 10 entre eux entraîneqdivise10m= 2m5m(théorème de Gauss) et les seuls facteurs premiers de qsont2et5(unicité de la décomposition en facteurs premiers).

Exercice 4.2

Montrer que pour toutn2Nn f0;1gle rationnelr=n2+ 1 n(n2¡1)n"est jamais décimal.

Solution 4.2

Il suffit de remarquer que3divisen(n2¡1)(sin´0 mod3c"est clair et si n´1oun´2 mod3alorsn2¡1´0 mod3 et3ne divise pasn2+ 1(sin´0 mod3alors n

2+1´1 mod3et sin´1oun´2 mod3alorsn2+1´2 mod3), doncrs"écrit sous forme

irréductibler=p q avec3qui diviseqetr =2D:

Exercice 4.3

Montrer que l"ensemble des nombres décimaux inversibles est : D 79

80Développement décimal d"un réel

Solution 4.3

Un rationnelr=a

10 mest inversible dansDsi, et seulement si, il existe un entier relatifbet un entier naturelntels quea 10 mb 10 n= 1;ce qui revient à dire queab= 10n+mou encore que2et5sont les seuls diviseurs premiers possibles deaetb:

Exercice 4.4

Montrer que l"anneauDdes nombres décimaux est principal.

Solution 4.4

Il s"agit de montrer que dans l"anneau intègreD;tout idéalIest principal, c"est-

à-dire de la forme®Davec®2D:

Le résultat est trivial siI=f0g:

sous-groupe additif deD;il contient un décimald >0(sid2In f0g;alors¡d2In f0g) et en écrivantd=a 10 10 Du fait queIest un idéal deDon déduit que®D½I:

D"autre part, toutd2Is"écritd=a

10 paveca2Zetp2Net en effectuant la division euclidienne dea= 10pdpar®;on a10pd=®q+ravecq2Zet0·r·®¡1dansN;ce qui donner= 10pd¡®q2I\N(10pdet®qsont dansDpuisquedet®y sont etIest un idéal) et nécessairementr= 0par définition de®:On ad=®q 10 p2®DetI½®D;soit en définitive

I½®D:

De manière un plus générale, on peut montrer que tout sous-anneauAdeQest principal.

En effet, soitIun idéal deAnon réduit àf0g(le résultat est trivial siI=f0g). L"intersection

I\Zest un idéal deZ;donc principal et il existe un entieratel queI\Z=aZ:Tout élémentr deIs"écritr=p q avecpetqpremiers entre eux etqr=p2I\Z(rest dansIetqdansZ½A puisqueAest unitaire), il existe donc un entierktel queqr=ka;ce qui donner=ka q =k q a: Par ailleurs le théorème de Bézout nous dit qu"il existe deux entiersuetvtels queup+vq= 1; donc1 q =ur+v2A(Z½Aetr2I½A) etk a

2A:On a donc montré que tout élément de

Is"écritr=saavecs2Aeta2I;ce qui signifie queIest principal. On retrouve ainsi le fait que l"anneauDdes nombres décimaux est principal.

4.2 Approximations décimales des réels

Pour tout réelx;la partie entièrea0= [x]2Znous fournit une première approximation de xdansZ:On rappelle quea0est l"entier relatif défini par : a

0·x < a0+ 1:

En subdivisant l"intervalle[a0;a0+ 1]en10intervalles de même longueur, ce qui revient à

écrire que :

[a0;a0+ 1] =9[ k=0· a 0+k 10 ;a0+k+ 1 10 il existe un unique indicea1compris entre0et9tel que : r

1=a0+a1

10

·x < a0+a1+ 1

10 =r1+1 10

Approximations décimales des réels81

etr1est une approximation décimale dexplus fine quer0=a0:

En remarquant que10r1est entier et vérifie :

10r1·10x <10r1+ 1;

on déduit quer1=[10x] 10 En subdivisant de manière analogue l"intervalle r

1;r1+1

10 en10intervalles de même longueur, ce qui revient à écrire que : r

1;r1+1

10 =9[ k=0· r 1+k 100
;r1+k+ 1 100
il existe un unique indicea2compris entre0et9tel que : r

2=r1+a2

100

·x < r1+a2+ 1

100
=r2+1 100
etr2est une approximation décimale dexplus fine quer1: En remarquant que100r22Zet100r2·100x <100r2+ 1;on déduit quer2=[100x] 100
En continuant ainsi de suite, on définit les nombres décimauxrnpar :

8n2N; rn=[10nx]

10 n et ces nombres vont nous fournir des approximations décimales dex: En effet, par définition de la partie entière10nrn= [10nx];on a : 10 nrn·10nx <10nrn+ 1;(4.1) ce qui peut aussi s"écrirern·x < rn+1 10 n;ou encore :

0·x¡rn<1

10 n;(4.2) ce qui entraîne quelimn2N(rn) =x: L"encadrement(4:1)va nous fournir d"autres informations sur la convergence de cette suite. De10n+1rn+1>10n+1x¡1et¡10nrn¸ ¡10nx;on déduit que : 10 n+1(rn+1¡rn)>¡1 dansZ;ce qui équivaut à10n+1(rn+1¡rn)¸0:On arn+1¡rn¸0pour toutn¸0;ce qui signifie que la suite(rn)n2Nest donc croissante. De manière analogue les inégalités10n+1rn+1·10n+1xet¡10nrn<¡10nx+1nous donne : 10 n+1(rn+1¡rn)<10 dansZ;ce qui équivaut à10n+1(rn+1¡rn)·9:

En définitive, pour tout entiern:

a

82Développement décimal d"un réel

est un entier compris entre0et9et : r n+1=rn+an+1 10 n+1(4.3) ce qui n"est pas étonnant. En tenant compte der0=a0= [x];on déduit facilement par récurrence que :

8n2N; rn=nX

k=0a k 10 k;(4.4) où lesaksont des entiers compris entre0et9:

Théorème 4.1

Les suites(rn)n2Net(sn)n2N=µ

r n+1 10 n2Nsont des suites adjacentes de nombres décimaux qui convergent versxavecrn·x < snpour toutn2N: Démonstration.On vient de vérifier que la suite(rn)n2Nest croissante et convergente vers x:

Avec :

s n+1¡sn=rn+1¡rn¡9 10 n+1=an+1¡9 10 n+1·0; on déduit que la suite(sn)n2Nest donc décroissante.

Desn¡rn=1

10 n;on déduit quelimn2N(sn¡rn) = 0:Ces deux suites sont donc adjacentes et la suite(sn)n2Nconvergent aussi versx:

L"encadrement(4:2) 0·x¡rn<1

10 ns"écrit aussi : r n·x < rn+1 10 n=sn:quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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