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Développement décimal des nombres réels

On trouvera beaucoup d"information sur ce thème dans D. Perrin,Mathématiques d"école : Nombres, mesures et géométrie.Cassini.

Les nombres et les opérations sur les nombres sont des objets que l"on rencontre bien sûr très tôt en

mathématiques. On rencontre d"abord les nombres entiers positifs, puis, comme ils sont insuffisants pour

la soustraction et la division, on est amené à introduire les entiers relatifs puis les nombres rationnels.

Le corpsQdes nombres rationnels est insuffisant : il manque des points qui auraient dû y être :Q

n"est pas complet... On est ainsi amené à introduire le corpsRdes nombres réels. On n"aura pas tout

à fait fini puisque des idées d"algèbre et géométrie nous conduiront ensuite à construire le corpsCdes

nombres complexes. Un nombre réel peut être donné comme solution d"une équation plus ou moins simple : -p2est solution de l"équationx2= 2; -de l"équationsinx= 0... Par contre tout nombre réel est limite d"une suite de nombres rationnels. Ainsi, on peut construireRcomme l"ensemble des limites de nombres rationnels (Qest dense dansR). Cette idée se réalise de la façon suivante.

on sait quand une suite de nom bresrationnels devrait a voirune limite : cela a lieu s iet seulemen t

si c"est une suite de Cauchy. on sait quand deux suites de nom bresrationnels devraien ta voirla même limite : cela a lieu si et seulement si leur différence tend vers0. La construction mathématique est alors la suivante. On noteCl"ensemble des suites de Cauchy de nombres rationnels (c"est un sous-espace vectoriel de l"espace vectorielQNdes suites de nombres ra- tionnels); surCon définit une relationRen écrivant (un)R(vn)()limn!1(unvn) = 0:

On démontre queRest une relation d"équivalence et on définitRcomme le quotient d"équivalenceC=R.

On plonge alorsQdansR: l"image des nombres rationnels sont les classes des suites constantes; on

définit les opérations (addition, multiplication) surR: on les définit sur les suites et on vérifie qu"elles

passent au quotient. On écritx6ys"il existe des suites(un)et(vn)de classes respectivesxety telles que l"on aitun6vnpour toutn2N; on vérifie que6est une relation d"ordre total surR; en particulier, on définitR+comme l"ensemble des classes des suites positives.

Une autre façon de concevoirRest dechoisirpour chaque nombre réel une suite de nombres rationnels

convergeant vers ce nombre. Par exemple, comme notre façon de compter est basée sur le nombre10,

un nombre réel est limite de la suite de ses développements décimaux. On aurait pu évidemment choisir

un développement en basebpour un entierb>2quelconque... Mais comme nos mains nous offrent dix doigts, c"est le nombre dix qui a été choisi!

1 Développement décimal

Écriture décimale des nombres entiers positifs.Pour décrire les nombres entiers, on pourrait

imaginer :

utiliser un sym boledifféren tp ourc haquenom bre- cela est évidemmen timp ossible: il faudrait

une infinité de symboles différents... 1

-mettre une barre p ourc haqueen tier- cette mé thodeest utilisée lors de dép ouillementsde scrutins

et certaines rencontres sportives; on regroupe alors par paquets de cinq ou de dix; cependant,

pour des nombres moyennement grands, cette méthode est fastidieuse tant à l"écriture qu"à la

lecture.

L"écriture décimale permet avec dix symboles de pouvoir exprimer de façon relativement compacte

n"importe quel nombre entier.

Nous ne rappelons pas ici le principe de cette écriture, ni les algorithmes des opérations dans cette

écriture. Rappelons par contre les tests de division que cette écriture permet. Division par10n.Un nombre entier est divisible par10nsi et seulement si lesnderniers chiffres de

son écriture décimale sont nuls. Le reste d"un nombre entier dans la division par10nest le nombre

obtenu en conservant lesnderniers chiffres de son écriture décimale. On en déduit qu"un nombre est

divisible par2n(ou5n) si et seulement si le nombre obtenu en conservant lesnderniers chiffres de son

écriture décimale l"est.

Division par3, par9.Tout nombre entier est congru modulo9, donc modulo3, à la somme de ses

chiffres (dans l"écriture décimale) : c"est la base de lapreuve par9.En effet10est congru à1modulo

9, donc10kest congru à1modulo9pour toutk2N, doncnX

k=0a k10kest congru modulo9ànX k=0a k. Division par11.Remarquons que10est congru à1modulo11, donc10kest congru à(1)kmodulo

11pour toutk2N. On en déduit quenX

k=0a k10kest congru modulo11ànX k=0(1)kak. On trouve ainsi facilement le reste modulo11d"un nombre entier.

Nombres décimaux - approximation décimale des nombres réelsDéfinition.Un nombrex2Rest ditdécimals"il existem2Zetn2Ntel quex=m10n. En

particulier, un nombre décimal est rationnel. Approximation décimale.Soientx2Retn2N. Posonspn=E(10nx)(oùEdésigne la partie entière),an= 10npnetbn= 10n(pn+ 1), de sorte quepn2Zetan6x < bn. Les nombresanet b

nsont décimaux; le nombreanest appelé l"approximation décimale par défautdexà l"ordren. Si

x6=an, on dit quebnest l"approximation décimale par excèsdexà l"ordren. Comme10pn610n+1x <10(pn+ 1), il vient10pn6pn+1<10(pn+ 1); en particulier, la suite(an) est croissante; et puisquepn+1<10(pn+ 1), il vientpn+1+ 1610(pn+ 1), donc la suite(bn)est décroissante. Enfinbnan= 10n, donc les suites(an)et(bn)sont adjacentes; puisque pour toutn on aan6x6bn, la limite commune de ces deux suites estx. Discutons quelques aspects de cette approximation décimale.

Densité deQ.L"approximation décimale nous permet d"écrire tout nombre réel comme limite d"une

suite de nombres décimaux. En d"autres termes, les nombres décimaux forment un sous-ensemble dense

deR; on en déduita fortioriqueQest dense dansR. 2 Développement décimal propre.a)P ourtout n2N, le nombre entiercn=pn10pn1est

compris entre0et9. C"est lan-ième décimale dexaprès la virgule.On a (par récurrence surn)

a n=a0+nX k=1c k10ket, puisquexest la limite desak, il vient x=a0++1X k=1c k10k: Cette expression s"appelle ledéveloppement décimal propredex. On obtient alors l"écriture décimale (infinie) dexsous la forme x=a0;c1c2c3::: b) In versement,donnons-nous une suite (cn)n2Nde nombres entiers relatifs tels que pourn>1on ait06cn69. La série (à termes positifs) de terme général(ck10k)k>1est convergente car majorée par la série géométrique

X910k. Posonsx=+1X

k=0c k10k.

Pourn2N, le nombreqn=nX

k=0c k10nkest entier et l"on a +1X k=n+1c k10nk69+1X k=110 k= 1: Cette inégalité est stricte à moins queck= 9pour toutk > n.

Distinguons deux cas :

Si l"ensem bledes ktels queck6= 9est infini, le développement décimal propre dexest x=+1X k=0c k10k: Supp osonsqu"à partir d"un certain rang, tous les cksont égaux à9. Notonsm2Nle plus petit entier tel queck= 9pour toutk > m; posonsc0k=ckpourk < metc0m= 1 +cm. Le développement décimal propre dexest x=mX k=0c

0k10k:

Dans ce dernier cas, l"expressionx=+1X

k=0c k10k=mX k=0c k10k++1X k=m+19:10ks"appelle le développement décimal impropredex. Une bijection.NotonsA=Zf0;:::;9gNl"ensemble des suites(cn)n2Nde nombres entiers relatifs tels que pourn>1on ait06cn69. Notons aussiA0Al"ensemble des suites(cn)comportant une infinité de termes distincts de9. On a construit une applicationf:R!Aqui àx2Rassocie son développement décimal propre, et une applicationg:A!Rdonnée parg (cn)n2N =+1X n=0c k10k.

On a vu ci-dessus quegf= IdR(1.a) et quefg

(cn)n2N = (cn)n2Nsi et seulement si(cn)n2N2A0

(1.b). On en déduit quefetginduisent par restriction des bijections réciproques l"une de l"autre entre

RetA0.

3

Théorème de Cantor.Le corpsRn"est pas dénombrable.Démonstration.Il suffit de démontrer que[0;1[n"est pas dénombrable.

Soitf:N![0;1[une application. Définissons alors le réela= 0;a1a2:::an:::de la manière suivante.

On c hoisitla première décimale a1deadans l"ensemblef0;:::;8get distincte de la première décimale def(1); on a donca6=f(1). On c hoisiten suitea2dans l"ensemblef0;:::;8get distinct de la deuxième décimale def(2); donca6=f(2).

Plus généralemen t,on c hoisitla n-ième décimaleandeadans l"ensemblef0;:::;8get distincte

de lan-ième décimale def(n); donca6=f(n). Les décimales de ane peuvent valoir9, donc le développementa= 0;a1a2:::est le développe-

ment décimal propre dea. Commea6=f(n)pour toutnl"applicationfn"est pas surjective.Remarque : développement décimal des nombres strictement négatifs.Pour les nombres réels

négatifs l"usage est d"écrire plutôtx=jxjoù l"on développejxjdans son écriture décimale. Ainsi, le

nombres"écrit3;14159:::plutôt que(4);85840:::

2 Cas des nombres rationnels

Soitaun nombre rationnel positif. Notonsa=pq

sonécriture irréductible,i.e.avecpetqdes nombres

entiers premiers entre eux. Nous allons étudier le développement décimal dea: nous démontrerons

qu"il est périodique et étudierons sa période en fonction du dénominateurq. a) Si les seuls diviseurs premiers de qsont2et5, on écritq= 2k5`. Alors10ma2Noù m= max(k;`), de sorte queaest un nombre décimal (avecmchiffres après la virgule). In versement,si aest décimal avecmchiffres après la virgule, on a10ma2N, de sorte que qj10m(puisquepq est l"écriture irréductible de10ma10 m), puis queqest de la forme2k5`avec k6met`6m. Enfin, siapossède exactementmchiffres après la virgule,10m1a62N, doncm= max(k;`). b) Supp osonsque le dénominateur qest premier avec10etq6= 1. Notonsp=dq+rla division euclidienne depparqavec16r6q1. Notons quer6= 0puisquepetqsont premiers entre eux etq >1. Commeqet10sont premiers entre eux, la classe de10est un élément du groupe(Z=qZ) des éléments inversibles deZ=qZ. Notonskl"ordre de10dans ce groupe. Il en résulte que 10 k1 [q], doncqdivise10k1. Ecrivons alors10k1 =bqet enfin a=d+br10 k1=d+br+1X n=110 nk:

Remarquons quebr < bq= 10k1. Notonsbr=kX

j=1c j10kjson développement décimal (autrement dit l"écriture décimale de l"entierbrestbr=c1c2:::ck). On a alorsa=d+ +1X n=0k X j=1c j10(nk+j). Le développement décimal deaest donca=d++1X j=1c j10joù l"on a prolongé lescjpar périodicité, posantcj+nk=cj(pourn2Net16j6k). En d"autres termes, le développement décimal deaesta=d;c1:::ckc1:::ck:::; il est périodique après la virgule, etkest un multiple de sa période. 4

-In versement,si le dév eloppementdécimal d"un nom breréel aest périodique de période`

après la virgule, on a :a=d;c1:::c`c1:::c`:::, c"est-à-dire : a=d++1X j=1c j10j=d++1X n=0` X j=1c j10(n`+j)=d+ `X j=1c j10`j+1X n=110 n`

Enfina=d+u10

`1oùu=`X j=1c j10`j, donc l"écriture irréductible deaestpq oùqest un diviseur de10`1. En particulier10etqsont premiers entre eux et l"ordre de10dans le groupe(Z=qZ)divise`. c) Dans le cas gé néral,on écrit q= 2k5`q0avecq0>1et premier avec10. Posonsm= max(k;`). Alors l"écriture irréductible de10maest de la formep0q

0de sorte que l"écriture décimale deaest

périodique à partir de lam+ 1-ème décimale après la virgule de périodekoùkest l"ordre de

10dans le groupe(Z=q0Z).

On a donc démontré l"énoncé qui suit.Théorème.-L edévelopp ementdé cimald"un nombr er éelest fini ou p ériodique(à p artird"un

certain rang) si et seulement s"il est rationnel.

S oita=p2

k5`qun nombre rationnel aveck;`2Netqpremier avec10p. Posonsm= max(k;`). a) L edévelopp ementdé cimalde aest fini si et seulement siq= 1. b)

Si q6= 1, le développement décimal deaest périodique à partir dum+ 1-ème chiffre après

la virgule et sa période est l"ordre de10dans le groupe(Z=qZ).

Remarque.On peut remplacer le développement décimal par le développement en baseboùbest un

nombre entier>2quelconque. On pourra ainsi écrire : tout nom breen tierp ositifA(de manière unique) sous la formeA=NX k=0a kbkavecN2Net, pour touti2 f0;:::;Ng,ai2 f0;:::;b1g; cette suite(ai)s"appelle le développement en base bde l"entierA. tout nom breréel p ositifAest somme d"une sérieA=+1X k=0a kbkaveca02Net, pouri>1, a i2 f0;:::;b1g, avec unicité si l"on impose que l"ensemble desi2Ntels queai6=b1est infini. La suite(ai)s"appelle alors le développement en basebpropre du nombre réelA.

Le dév eloppementen base bd"un nombre réel est fini ou périodique (à partir d"un certain rang)

si et seulement s"il est rationnel.

Soit Aun nombre rationnel et écrivonsA=pmq

oùp;m;q2Nsont deux à deux premiers entre eux,qest premier avecbetmdivise une puissancebkdeb. a) L edév eloppementen base bdeaest fini (i.e.ai= 0à partir d"un certain rang) si et seulement siq= 1. b) Si q6= 1, le développement en basebdeaest périodique à partir du rangk+1et sa période est l"ordre debdans le groupe(Z=qZ). 5

3 Nombres algébriques, nombres transcendants

Définition.Soitx2R. On dit quexestalgébriques"il existe un polynômeP2Q[X]tel que P(x) = 0. On dit quexesttranscendants"il n"est pas algébrique.

L"ensembleQ[X]des polynômes à coefficients rationnels est dénombrable. Chaque polynôme a un

nombre fini de racines dansC. On en déduit que l"ensembleAdes éléments algébriques, réunion sur

P2Q[X](non nul) de l"ensemble des racines dePest une partie dénombrable deC. L"ensembleA\R

des nombres réels algébriques est aussi dénombrable. Son complémentaire, l"ensemble des nombres

transcendants n"est donc pas dénombrable. Remarque.On a vu queQest dense dansR. Soitun nombre irrationnel. On en déduit queRQ, qui contientQ+, est dense dansR. Nous exhiberons en exercice des nombres transcendants (les nombres deLiouville).

4 Exercices

Exercice 1.1.Soit pun nombre premier. Démontrer que le développement décimal de1=pest périodique de période5si et seulement sipj11111. 2.

Soit pun diviseur premier de11111.

a)

Quel est l"ordre de la classe 10dans(Z=pZ)?

b)

En déduire que p1 [10].

3. Quel est le plus p etitnom breen tierptel que le développement décimal de1=psoit périodique de période 5? Exercice 2.Considérons le nombren= 142857. On a2n= 285714,3n= 428571,4n= 571428,

5n= 714285,6n= 857142. En d"autres termes, multipliernparkpour16k66fait tourner

les décimales den. On dira qu"on a desmultiplications magiques.Enfin7n= 999999. Le but de cet exercice est de comprendre et généraliser ce fait. Soitpun nombre premier. On suppose que10est un générateur du groupe(Z=pZ)- ce groupe est cyclique. Écrivons

10p11p

=p1X j=1a j10p1jle développement décimal de l"entierN=10p11p 1. Quel est le dév eloppementdécimal du nom breen tierpN? Quel est le développement décimal du nombre rationnel1p 2.

Soit kun nombre entier avec16k6p1.

a) Dém ontrerqu"il existe un unique nom breen tier`avec06`6p2tel que10`k[p]. b) Écriv ons10`N= 10p1A+Rla division euclidienne de10`Npar10p1. Quels sont les développements décimaux deAetR? c) Démo ntrerque kN=R+A. Quel est son développement décimal? 3. Le calcul des 16premières décimales du nombre1=17donnent0;0588235294117647. a)

Quel est l"ordre de 10dans(Z=17Z)?

6 b)Calculer de tête 20588235294117647puis30588235294117647,etc.jusqu"à

160588235294117647.

Exercice 3.Pourx2R, on note(x) = inffjxnj;n2Zgsa distance àZ. Soitn2N. 1. Soien ts0;:::;sn+12[0;1]. Montrer qu"il existe des nombres entiersietjsatisfaisant06i < j6n+ 1etjsisjj61n+ 1 2. Soien tt0;:::;tn2R. Montrer qu"il existe des entiersietjsatisfaisant06i < j6net (titj)61n+ 1 3. Mon trerque p ourtou tt2R, il existek2Nsatisfaisant16k6net(kt)61n+ 1 4. En déduire qu"il existe une suite de n ombresrationnels pn=qnqui converge verstet telle que jtpn=qnj< q2n.

Exercice 4.Un nombre de Liouville

1. Démon trerque la série de terme général 10k!est convergente.

PosonsS=+1X

k=110 k!et pourn2N,an=nX k=110 k!. 2. Démon trerque 0< S <1et, pourn2N,0< San<2:10(n+1)!. 3. Soit Pun polynôme non nul à coefficients entiers. Notonspson degré. a)

Démo ntrerque p ourtout non a10p:n!P(an)2Z.

b) Démon trerqu"il existe M2R+tel que, pour toutnon aitjP(S)P(an)j6M:10(n+1)!. c) Démo ntrerque P(S)6= 0(on remarquera que, pournassez grand,ann"est pas racine deP). 4.

Démon trerque Sest transcendant.

Exercice 5.SoitP2Z[X]de degrédque l"on peut supposer irréductible. Soitx2RnQune racine deP. Soitpnq nune suite de rationnels qui tend versx. Démontrer que la suiteqdn xpnq n est bornée inférieurement (on s"inspirera de l"exercice 4). Exhiber d"autres nombres transcendants. Exercice 6.On définit une suite(un)en posantu0=a2Cetun+1=u10n. 1.

Décrire la suite un.

2. On supp osejaj 6= 1. Discuter selon la valeur deale comportement de cette suite. 3. On supp oseici que jaj= 1. On écrita=e2ioù2[0;1[. On noten=argun2(l"argument

étant pris dans[0;2[).

a) Exprimer nen fonction du développement décimal de. b) P ourquelles v aleursde la suite(un)est-elle constante? c) P ourquelles v aleursde la suite(un)prend-elle un nombre fini de valeurs? d) P ourquelles v aleursde la suite(un)converge-t-elle? e) (*) Construire tel quefun;n2Ngsoit dense dans le cercle unité deC. 7 Exercice 7.(Variante) Étudier l"applicationf: [0;1[![0;1[donnée parf(x) = 10xE(10x)et les suites récurrentes(un)données par un pointu02[0;1[etun+1=f(un). 1. Décrire l"application fen termes de développement décimal. 2.

Quels son tles p ointsfixes de f?

3. P ourquelles v aleursde u0cette suite stationne-t-elle? 4. P ourquelles v aleursde u0cette suite converge-t-elle? 5.

P ourquelles v aleursde u0cette suite est-elle périodique? Pour lesquelles devient-elle périodique

à partir d"un certain rang?

6. Construire un u0pour lequelfun;n2Ngsoit dense dans[0;1]. 8

Solutions des exercices

Exercice 1.

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