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Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 1 Cours : Le produit vectoriel PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF Avec Exercices avec solutions 1) 0; ; ;i j k

orthonormé et;;i j k

la base qui lui est associée. [) et il regarde vers laxe [) ; On aura deux [) : 1er cas : [) est à la droite de lobservateur On dit que la base ;;i j k

est indirecte de même pour le Repère 0; ; ;i j k

2eme cas : [) est à la gauche de On dit que la base ;;i j k

est directe de même pour le Repère 0; ; ;i j k Propriété : 2) Remarques 1)Soit B;;i j k une base directe. Les bases : ;;i k j ; (;;k j i ; ;;j i k obtenues par la permutation de deux vecteurs sont des bases indirectes. 2)Les bases ;;i j k ; ;;i j k ; ;;i j k sont des base indirectes 3)les bases : ;;j k i ;;;k i j obtenues par une rotation circulaire, sont des bases directes. 4)Soit B;;i j k une base directe, ;;u v w une autre base de 3 ; la base B est directe si et seulement si det ; ; 0u v w

II) DEFINITION DU PRODUIT VECTORIEL. Soient u

et v deux vecteurs dans 3. 1)On suppose que u et v sont non colinéaires. Soit un point dans lespace ; ils existent deux et tels que : u AB et v AC

,les points , et étant non alignés, ils définissent un plan () dans lespace (). Le produit vectoriel des deux vecteurs u

et v est le vecteur w AD tel que : () () La base ;;AB AC AD est directe. = × × où la mesure de BAC Le vecteur w est indépendant du choix des représentants des vecteurs u et v Si u et v sont colinéaires ; on pose que leur produit vectoriel est 0

On note w u v

Exemple : u

et v deux vecteurs tels que : 1u et 3v et ;3uv

Calculer : uv

III) PROPRIETES DU PRODUIT VECTORIEL 1) Propriétés : 1)0uu

2)Le produit vectoriel est antisymétrique : v u u v

3)Le produit vectoriel est bilinéaire : u v w u w v w

u v w u w v w

2) Interprétation géométrique triangle. Soient u

et v deux vecteurs dans 3 , quon suppose non colinéaires tels que : u AB et v AC et w AD u v Définition du produit vectoriel : = × × où la mesure

Le PRODUIT VECTORIEL

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 2 est : 1

2ABCS AC BH et on a : sinBH

AB donc : sinBH AB et par suite : 1sin2ABCS AC AB u u et donc 2ABC ABCDAD S S Propriété 1:Soient , et trois points non alignés on a AB AC

: est la surface du parallélogramme ABAC Propriété 2 : Soient , et trois point non alignés, la surface du triangle est : 1

2ABCS AB AC

PRODUIT VECTORIEL Soit B;;i j k

une base orthonormée directe de 3, Considérons deux vecteurs ;;u x y z et ;;u x y z

3V on a donc : u xi yj zk

et u x i y j z k

On a : 0ii

et 0jj et 0kk eti j k et j k i et k i j

0yx k yy yz i

0zx j zyi zz

Propriété :Soient B;;i j k

une base orthonormée directe de 3, et deux vecteurs ;;u x y z et ;;u x y z on a : Exemple1 : 1;1;1u et 2;1;2v deux vecteurs: Calculer : uv

1 1 1 2 1 201 2 1 2 1 1u v i j k i j k i k

Exemple2 :2u i j k

et32v i j k

Calculer : uv

V) APPLICATIONS. 1) Alignement de 3 points. Propriété :Soient , et trois point dans , et sont alignés si et seulement siAB

etAC sont colinéaires ce qui est équivalent à 0AB AC Soient , et trois point dans lespace, le vecteurAB AC est normal sur () donc : (, , ) () 0AM AB AC cartésienne du plan () Exemple : orthonormée directe 0; ; ;i j k

on considère les points0;1;2A et1;1;0Bet 1;0;1C 1)Déterminer les coordonnées du vecteurAB AC

et vérifier que les points A et B et C sont non alignés 2)Calculer la surface du triangle ABC 3)Déterminer une équation cartésienne du plan ABC Solution :1) ;;B A B A B AAB x x y y z z

1;0; 2AB

et 1; 1; 1AC

0AB AC

Donc les points A et B et C sont non alignés

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 3 2) 1

2ABCS AB AC

2222 1 1 6AB AC

Donc : 6

2ABCS 3) 2 1 1AB AC i j k

un vecteur normal du plan ABC Donc une équation cartésienne du plan ABCest de la forme : 0ax by cz d 2; 1; 1AB AC

donc 2a et 1b et 1c Donc : 2 1 1 0x y z d ABC Et on a : 0;1;2AP donc : 0 1 2 0d donc 3d DoncABC : 2 1 1 3 0x y z DoncABC : 2 3 0x y z 3) Intersection de deux plans Soient () et () deux plan sécants dans n

un vecteur normal sur () et m un vecteur normal sur () Si u est un vecteur .0nu et .0mu et on sait que : . . 0m n m n n m on en déduit que u et nm sont colinéaires et par suite nm

Propriété :Soient () et () deux plan dans n

est un vecteur normal sur () et m est un vecteur normal sur (), si n et m sont non colinéaires alors () et () se coupent nm

Exemple : orthonormé Quelle est l'intersection des plans d'équations respectives P2 1 0x y z et P2 2 0x y z Solution :1; 1;2n

et 2;1; 1n deux vecteurs normaux respectivement de P et P On a : 1 1 1 2 1 2 les plans Pet P sont sécants suivant une droite D et 1;5;3u

est un vecteur directeur deD et la droite D passe par 1;5;3A (il suffit de donner par exemple 0z et résoudre le système et calculer xet y) Donc : une représentation paramétrique de Dest :D

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