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Le Produit vectoriel - Exercices corrigés 4 PDF - ALLO ACADEMY
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Chapitre 2.3 - Le produit vectoriel
La définition du produit vectoriel
Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat
est un vecteur. On utilise l'opérateur "× » pour désigner le produit vectoriel.
En géométrie euclidienne
1, le produit vectoriel entre une vecteur Av et Bv correspond au
produit des modules des composantes perpendiculaires entre les vecteursAv etBv dont
l'orientation du vecteur résultant se doit d'être perpendiculaire àAv et Bv simultanément.
On utilise la fonction sinus et l'angle
θ entre les vecteurs Av et Bv pour obtenir les
composantes perpendiculaires d'un vecteur par rapport à l'autre : )sin(θBABAvvvv=× où BAvv× : Module du produit vectoriel entre le vecteur Av et Bv.Av : Module du vecteur Av (222
zxAAAAy++=v)Bv : Module du vecteur Bv (222
zxBBBBy++=v)θ : Angle entre le vecteurs Av et Bv.
Pour identifier l'orientation du l'orientation du vecteurBAvv×, il
suffit d'identifier un plan formé à l'aide du vecteurAv et Bv et de
trouver un vecteur perpendiculaire à ce plan. Puisqu'il y a deux choix possibles, la règle de la main droite choisie l'orientation pointant dans la direction tel qu'illustré sur le schéma ci-contre.On utilise le vecteur unitaire
nˆ pour désigner l'orientation du produit vectoriel :BABAnvv
vv Ar BrBArr×
Orientation du produit vectoriel
BAvv× à l'aide de la main droite.
Exemple :
Ar BrBArr×
nˆ Ar Br BArr nˆ Ar BrBArr×
nˆ1 L'espace euclidien permet d'évaluer les distances par le théorème de Pythagore (22yxd+=) .
Av BvθsinBv
AvNote de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2 En algèbre vectorielle euclidienne dans un plan cartésien xyz en trois dimensions, on
définit le produit vectoriel de la façon suivante : ( )( )( )kBABAjBABAiBABAnBABAxyyxxzzxyzzy vvv vvvv -+---==׈sin oùBAvv× : Produit vectoriel entre Av et Bv.
Av : Module du vecteur Av
Bv: Module du vecteur Bv
θ : Angle entre le vecteurs Av et Bv.
nˆ : Vecteur unitaire orientation
et kAjAiAAzyx vvvv++= kBjBiBBzyx vvvv++= Av Bv x y xA xB yA θ yBBAvv×
zPropriétés du produit vectoriel
Voici quelques propriétés du produit scalaire : Distributif ()()CABACBAvvvvvvv×+×=+×)( Anticommutatif ABBAvvvv×-=× Produit unitaire : kjivvv=×, ikjvvv=×, jikvvv=× (sens horaire) kijvvv-=×, ijkvvv-=×, jkivvv-=× (sens anti-horaire) Produit nul : 0=×iivv, 0=×jjvv, 0=×kkvv, 0ˆˆ=×nn Situation A : Le vecteur perpendiculaire. À partir de la définition du produit vectoriel, trouvez un vecteur perpendiculaire au vecteur kjiAvvvv263-+= et au vecteur kjiBvvvv52++-= simultanément.Évaluons le produit vectoriel entre le vecteur
Av et Bv afin d'obtenir un vecteur
perpendiculaire àAv et Bv simultanément :
()()()kBABAjBABAiBABABAxyyxxzzxyzzy vvvvv-+---=× ? ()()()()[]()()()()[]()()()()[]kjiBAvvvvv162312532256--+------=× ? ()()()kjiBAvvvvv66215430--+----=× ? kjiBAvvvvv121334+-=× iv jv kv Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3Exercice
Exercice 1 : Le calcul du produit vectoriel. À partir du vecteur kjiAvvvv235-+=et du vecteur kjiBvvvv++-=42 , on désire évaluer (a) le produit BAvv× et (b) l'angle θ entre le vecteurAv et Bv.
Solution
Exercice 1 : Le calcul du produit vectoriel.
a)Évaluons le produit vectoriel BAvv× :
()()()kBABAjBABAiBABABAxyyxxzzxyzzy vvvvv-+---=× ? ()()()()[]()()()()[]()()()()[]kjiBAvvvvv234522154213--+------=× ? ()()()kjiBAvvvvv6204583--+----=× ? kjiBAvvvvv2611+-=× b) Évaluons l'angle θ entre le vecteur Av et Bv : ( ) ( )222)2(35-++=Av ? 38=Av ( ) ( )22214)2(++-=Bv ? 21=Bv ( ) ( )22226)1(11+-+=×BAvv ? 798=×BAvv ()()2138=BAvv ? 798=BAvv À partir de la définition du module du produit vectoriel : ()θsinBABAvvvv=× ? ( )BABAvv vv×=θsin ? ( )()( )798798sin=θ ? ()1sin=θ ? °=90θquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] forme trigonométrique d'un nombre complexe applications capes
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