Chapitre 9 - Polynômes symétriques et résolution des équations
9.1.1 Groupe symétrique et polynômes symétriques Théorème 9.2.4 (Sn est le groupe de Galois de l'équation générale de degré n).
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Équation trigonométrique symétrique. Une « équation symétrique » (Université de Liège 2010). Résoudre l'équation sin4 x + cos4 x = sinx.cosx .
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Résoudre les équations suivantes : a) 4x4 -5x² + 1 = 0 Exercice 2 : Equation symétrique. Dans cet exercice on se propose de résoudre l'équation (E) :.
Cours 10
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Première S Autres exercices second degré 2010-2011 (Utilisation d"un changement de variable)
1Exercice 1
Résoudre les équations suivantes :
a)4x4 -5x² + 1 = 0
b)4x² - 35 - 9
x² = 0Exercice 2
: Equation symétrique Dans cet exercice, on se propose de résoudre l"équation (E) : 2x4 - 9x3 + 8x² - 9x + 2 = 0
1) a) 0 est-il solution de (E) ? b) Démontrer que (E) équivaut à :2x² - 9x + 8 -
9 x + 2 x² = 0 (E")2) Pour tout réel x non nul, on pose X = x +
1 x a) Calculer X² en fonction de x. b) Démontrer que (E") équivaut à :X = x +
1 x et 2X² - 9X + 4 = 03) En déduire les solutions de (E).
Première S Autres exercices second degré 2010-2011 (Utilisation d"un changement de variable)
CORRECTION
2Exercice 1
Résoudre les équations suivantes :
a)4x4 -5x² + 1 = 0
b)4x² - 35 - 9
x² = 0 a) On pose X = x² L"équation devient alors : 4X² - 5X² + 1 = 0Le discriminant est :
D = (-5)² - 4´4´1 = 25 - 16 = 9 = 3²
Les solutions en X sont donc :
X1 = 5 - 3
8 et X2 = 5 + 3
8Soit X
1 = 14 et X2 = 1
On résout alors les deux équations en x : x² = 1 4 et x² = 1.Il y a alors quatre solutions en x : -
1 2 ; 12 ; -1 et 1.
Donc S =
-1 ;- 1 2 ;1 2 ;1Vérification graphique
b)Pour x non nul, on pose X = x²
L"équation devient : 4X - 35 -
9 X = 0 En multipliant par X (avec X non nul), on obtient :4X² - 35X - 9 = 0
Le discriminant est :
D = (-35)² - 4´4´(-9) = 1369 = 37²
Première S Autres exercices second degré 2010-2011 (Utilisation d"un changement de variable)
CORRECTION
3Les solutions en X sont donc : X1 = 35 - 37
8 = -1
4 et X2 = 35 + 37
8 = 9 On résout alors les deux équations : x² = - 1 4 et x² = 9 La première n"a pas de solution car un carré est toujours positif ou nul dans Y.La deuxième a pour solutions -3 et 3.
Donc S = {-3 ;3}
Vérification graphique
Exercice 3 : Equation symétrique
Dans cet exercice, on se propose de résoudre l"équation (E) : 2x4 - 9x3 + 8x² - 9x + 2 = 0
1) a) 0 est-il solution de (E) ? b) Démontrer que (E) équivaut à :2x² - 9x + 8 -
9 x + 2 x² = 0 (E")2) Pour tout réel x non nul, on pose X = x +
1 x a) Calculer X² en fonction de x. b) Démontrer que (E") équivaut à :Première S Autres exercices second degré 2010-2011 (Utilisation d"un changement de variable)
CORRECTION
4X = x +
1 x et 2X² - 9X + 4 = 03) En déduire les solutions de (E).
1) a) 0 n"est pas solution de (E). c) Pour x différent de 0, on obtient directement l"équation (E") équivalente à (E) en divisant par x² le membre de gauche de l"équation (E). 2) a) X² = x² + 1 x² + 2 b) (E") ? 2 1 +1 x² - 9 x + 1 x + 8 = 0 ? 2(X² - 2) - 9 X + 8 = 0 ? 2X² - 9 X + 4 = 0 On a donc bien l"équivalence : (E") ? 2X² - 9 X + 4 = 0 et X = x + 1 x 3) On résout l"équation du second degré en X : 2X² - 9X + 4 = 0Le discriminant est :
D = (-9)² - 2´4´4 = 81 - 32 = 49 = 7²
Les solutions sont X
1 = 9 - 7
4 = 12 et X2 = 9 + 7
4 = 4.
On résout ensuite les deux équations du second degré en x : 1 2 = x + 1 x et 4 = x + 1 x La première est équivalente à : 2x² - x + 2 = 0Le discriminant est :
D = (-1)² - 2´2 = -3 < 0
Cette première équation n"a pas de solution réelle. La deuxième équation est équivalente à : x² - 4x + 1 = 0Le discriminant est :
D = (-4)² - 4 = 12 > 0
Les solutions sont x
1 =4 -12
2 = 2 -3 et x2 = 2 +3.
L"ensemble des solutions de l"équation initiale (E) est donc :S = {2 -
3 ; 2 +3}
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CORRECTION
5Vérification graphique :
2 -3 » 0,27 et 2 + 3 » 3,73
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