[PDF] 1 Formes quadratiques

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Cours d"Arithm´etique M1 Paris 7J-F. Mestre.

1 Formes quadratiques

D´efinitions.-a) Une forme quadratique enti`ere binaire est une forme quadratique de la formef(x,y) =ax2+

bxy+cy2, aveca,b,c?Z. Son discriminantDfest l"entierb2-4ac. C"est un nombre≡0ou1 mod4. La formefest diteind´efiniesiDfest>0, etd´efiniesinon. b) SoitDun entier≡0ou1 mod4. Laforme unit´ede discriminantDestX2-D

4Y2siD≡0 mod4et

X

2+XY+1-D

4Y2siD≡1 mod4.

c) Soitnun entier. On dit quefrepr´esentens"il existex,y?Ztels quef(x,y) =n. Notations.-Dans ce qui suit, on note (a,b,c) la forme quadratiqueaX2+bXY+cY2, et on pose

S=?0-1

1 0? , T=?1 10 1? SiDest un entier, on noteQ(D) l"ensemble des formes quadratiquesf= (a,b,c),a,b,cpremiers entre eux, aveca >0 siD <0, de discriminantD. D"apr`es ce qui pr´ec`ede,Q(D)?=∅ ?D≡0 ou 1 mod4. Proposition.-Le groupeGL2(Z)agit `a droite surQ(D)par(fM)(x,y) =f(M?x y?

Remarques.-1) Comme{±I}agit trivialement surQ(D), l"action ci-dessus se factorise `a traversPGL2(Z).

2) SiM=?α β

, et sif= (a,b,c), on afM= (A,B,C), o`uA=f(α,γ) etC=f(β,δ).

3) Sifrepr´esente un entiern, toute formegdans la mˆeme orbite quefsous l"action deGL2(Z) repr´esente

´egalementn. Plus pr´ecis´ement, sif(x,y) =n, on afM(M-1(x y)) =n.

4) On a (a,b,c)T= (a,b+ 2a,a+b+c), (a,b,c)S= (c,-b,a).

5) Attention: (a,b,c) et (a,-b,c) sont conjugu´ees moduloGL2(Z) (via la matrice?1 00-1?

) mais en g´en´eral ne le sont pas moduloSL2(Z).

N´eanmoins, (a,a,c) et (a,-a,c) sont conjugu´ees moduloSL2(Z) (viaT-1), ainsi que (a,b,a) et (a,-b,a)

(viaS).

6) siD <0, et sif= (a,b,c) aveca >0, pour toutM?GL2(Z),fM= (a?,b?,c?), aveca?>0. Ceci n"est

plus vrai siD >0.

7)Dfest l"oppos´e du d´eterminant de la matriceAf=?2a b

b2c? associ´ee `a la forme bilin´eaire sym´etrique ftelle queφf(v,v) = 2f(v).

Proposition.-Soitnun entier sans facteur carr´e repr´esent´e parfforme binaire enti`ere. Il existeM?

SL

2(Z)telle quefM= (n,?,?).

Sin=f(x,y), commenest sans facteur carr´e,xetysont premiers entre eux, d"o`u d"apr`es Bezout une matriceM=?x? y?? dansSL2(Z); D"apr`es ce qui pr´ec´ede,g=fM= (n,?,?). 1 Proposition.-SoitD≡0ou1 mod4, etpun nombre premier impair premier `aD. Alors(D p) = 1si et seulement s"il existef?Q(D)repr´esentantp. S"il existef?Q(D) repr´esentantp, il existeg?Q(D) telle queg= (p,b,c); doncD=b2-4pc, etDest

un carr´e non nul modp. R´eciproquement, siD=u2-kp, quitte `a changeruenu+p, on peut supposer que

kest pair, donc≡0 mod4. La forme (p,u,k/4) est dansQ(D) et repr´esentep. Proposition.-SoitfetgdansQ(D)repr´esentant un nombre premierpimpair premier `aD. Alorsfetg sont conjugu´ees moduloGL2(Z). Sig= (a,b,c),gou(a,-b,c)est conjugu´ee `afmoduloSL2(Z). On peut supposerg= (p,b,c) etf= (p,b?,c?). Par suite,b2-4pc=b?2-4pc?, soit 4p(c?-c) = (b?-b)(b?+b).

Doncbetb?ont mˆeme parit´e, et par exempleb≡b?modp; doncb?=b+2kp; les formesgTketfont les mˆemes

deux premiers coefficients, donc elles sont ´egales, etfetgsont congrues moduloSL2(Z). Si on ab≡ -b?modp,

on en d´eduit de mˆeme quefet (p,-b,c) sont congrues moduloSL2(Z). Notation.-On noteH(D) l"ensemble des orbites des ´el´ements deQ(D) sous l"action deSL2(Z). Proposition.-Soitf(x,y) =ax2+bxy+cy2une forme quadratique d´efinie r´eduite. Alors:

1)a= inff(x,y),

2)ac= inff(x,y)f(z,t), avecxt-yz?= 0,

3) Si|b|< a < c, pour tous(x,y)tels quexy?= 0, on af(x,y)> c. De plus, on afM=fsi et seulement

siM=±I.

On af(x,0) =x2a,f(0,y) =y2c, et, pourxy?= 0,

f(x,y)≥ax2- |b||x||y|+cy2≥ax2- |b||x||y|+cy2-a(|x| - |y|)2≥(2a- |b|)|x||y|+ (c-a)y2≥a- |b|+c.

Th´eor`eme.-SoitD <0etD≡0ou1 mod4.

1)H(D)est fini non vide. Son nombre d"´el´ementsh(D)est appel´e le nombre de classes deD.

2) Tout ´el´ement deH(D)contient une forme quadratique r´eduite. Plus pr´ecis´ement, pour toute forme

quadratiqueQde discriminantD, il existe un ´el´ementgdans le groupe engendr´e parSetTtel queQgsoit

r´eduite.

3) Soientf= (a,b,c)etgdeux formes quadratiques deQ(D)distinctes et r´eduites. Elles sont ´equivalentes

On montre d"abord 2), par utilisations successives deSetT: si|a|>|c|, on utiliseT, si|b|>|a|, on ram`ene

stationnaire. Pour d´emontrer 1), il suffit donc de montrer que le nombre de formes r´eduites est fini.

Soitf= (a,b,c) r´eduite.

|D|

3. Il y a donc un nombre fini de valeurs deb

possibles; comme 4ac=b2-D, on a donc pour chaque valeur debun nombre fini de valeurs possibles pour (a,c), etH(D) est fini. Le point 3) se d´eduit imm´ediatement de la proposition pr´ec´edente. Th´eor`eme.-Le groupeSL2(Z)est engendr´e parSetT. NotonsHle sous-groupe deSL2(Z) engendr´e parSetT. SoitQ(x,y) =x2+4y2,g?SL2(Z), etQ?=Qg.

Il existeh?Htel queQ?hest r´eduite, donc, d"apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent,Q?h=Q, soitQgh=Q. On a donc

gh=±I. Or-I=S2, d"o`u le r´esultat. 2

1.1 CorollairesProposition.-SoitDtel queh(D) = 1, etpun nombre premier impair premier `aD; les trois assertions

suivantes sont ´equivalentes: i)pest repr´esentable par toute forme de discriminantD, ii)pest repr´esentable par la forme unit´e deQ(D), iii)Dest un carr´emodp.

Lemme.-SoitD≡1 mod4 n´egatif; on a (D

p) = (-1)ε(p)(|D|p) = (p|D|). Exemple 1.-SoitD=-4; les formes quadratiques r´eduites deQ(-4) v´erifient 4/3 b≡0 mod2

4ac= 4 +b2,

d"o`ub= 0,a=c= 1. DoncH(-4) ={x2+y2}. On retrouve le fait quep≡1 mod4 ssipest somme de deux carr´es.

Exemple 2.-On v´erifie de mˆeme queh(-3) = 1. Donc un nombre premier impairp?= 3 s"´ecritx2+xy+y2

si et seulement sip≡1 mod3.

Exemple 3.-De mˆeme,h(-7) = 1; doncpimpair diff´erent de 7 s"´ecritx2+xy+ 2y2ssip≡1,2,4 mod7.

Exemple 4.-On v´erifie encore queh(-8) = 1. Or

-8 p) = (-1p)(2p) = (-1)ε(p)(-1)ω(p).

Donc (

D

p) = 1 si et seulement si (-1)ε(p)= (-1)ω(p), soit ssip≡1 ou 3 mod8. Par suite, un nombre premier

impairpest de la formex2+ 2y2si et seulement si il est congru `a 1 ou 3 mod8.

Probl´ematique g´en´erale.-Soitfune forme quadratique enti`ere. Peut-on d´eterminer quels nombres

premierspelle repr´esente par des congruences surp? Par exemple, sif=x2+y2,frepr´esentepimpair ssi

p≡1 mod4. Lemme:d <0,d≡1 mod4; on a (D/p) = 1 ssi (p/|D|) = 1. Proposition.-Soitfquadratique binaire enti`ere de discriminantd <0. Sih(d) = 1, les nombres premiers

repr´esentantpsont donn´es en terme de congruencemodd(par exemple, sidest impair, ssi(p/|d|) = 1; sid

est pair, la loi de r´eciprocit´e quadratique permet ´egalement de d´eterminer les dites congruences.)

En particulier, via Dirichlet,sifest de discriminantdet sih(d) = 1, il existe une infinit´e de nombres premiers repr´esent´es parf.

Mˆeme sih(d)?= 1, il peut encore arriver que l"on puisse classifierpen termes de congruence: par exemple,

soitd=-15; soitf1=x2+xy+4y2etf2= 2x2+xy+2y2les deux formes quadratiques r´eduites de discriminant

-15. On v´erifie facilement que les nombres premiersp(premiers `a 30) repr´esent´es parf1sont ceux≡1 ou

4 mod15 et ceux repr´esent´es parf2sont ceux≡2 ou 8 mod15.

Ici encore, via Dirichlet, on en d´eduit qu"il existe une infinit´e deprepr´esent´es parf1(resp. parf2).

N´eanmoins, en g´en´eral, lesprepr´esent´es par une forme quadratiquefne peuvent pas ˆetre d´ecrits en termes

de congruence modulo le discriminant def. Par exemple, sid=-23, on peut montrer que pour toutxcarr´e

mod23, il existe desp≡xmod23 repr´esent´es par n"importe laquelle des trois formes r´eduites de discriminant

-23.

(Il reste vrai qu"une telle forme quadratique repr´esente une infinit´e de nombres premiers, mais c"est plus

difficile (cons´equence par exemple du th´eor`eme de Cebotarev).) Th´eor`eme (admis pour l"implication directe) Baker, Heegner-Stark:on ah(d) = 1ssi 3 d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-47,-67,-163et aussid=-12,-27,-16,-28.

Lemme.-Sipest repr´esent´e par la forme quadratique unit´e de discriminantd, et si(p,d) = 1, on a

p≥(|d|+ 1)/4sidest impair etp≥(1 +|d|/4)sid≡0 mod4. Corollaire.-Sih(D) = 1, et si(D/p) = 1, alorsp≥(|D|+ 1)/4. ssih(1-4a) = 1. 4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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