LES SUITES
A) Expression du terme général en fonction de n : ▷ si le premier terme est Le programme ci-contre permet de trouver N. On obtient alors : N = 21 et u ...
Corrigé du TD no 11
f(x)f(−1)] =]0
SUITES NUMERIQUES
Exprimer vn en fonction de n . En déduire une expression de un en fonction de n. 3. Soit N un entier. Exprimer en fonction de N la somme SN = u0
PGCD Comment déterminer le PGCD de deux nombres donnés Le
Puis on fait le tri ! Exemple 1. Déterminer en fonction de n le PGCD de n + 4 et de 3n + 7. Par combinaison linéaire on élimine les n : Soit d = PGCD(n+4
Suites numériques
14 de jul. de 2020 Exprimer un en fonction de n. 4. Calculer la somme Sn = u0 +u2 +···+un. EXERCICE 21. 10 minutes. Soit ...
SUITES GEOMETRIQUES
On considère la suite géométrique (un) de raison q = 2 et de premier terme u1 = 5. 1) Exprimer un en fonction de n. 2) A l'aide de la calculatrice calculer la
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme u n
I Suites arithmétiques II Suites géométriques III Suites arithmético
Pour trouver l'expression de un en fonction de n on introduit une suite intermédiaire. On pose : ∀n ∈ N
[PDF] suites arithmetiques et suites geometriques
19 de jun. de 2011 1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme.
SUITES GEOMETRIQUES
On considère la suite géométrique (un) de raison q = 2 et de premier terme u1 = 5. 1) Exprimer un en fonction de n. 2) A l'aide de la calculatrice calculer la
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme u n = u.
I Suites arithmétiques II Suites géométriques III Suites arithmético
Pour trouver l'expression de un en fonction de n on introduit une suite intermédiaire. On pose : ?n ? N
SUITES NUMERIQUES
Exercice n°01. On considère la suite (un)n 3 définie par un = 1 n2 – 4 . Calculer u3 ; u4 ; u5 ; u100 . Exprimer un+1 – un en fonction de n et montrer
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un). 2) Exprimer un en fonction de n. 1) Les termes de la suite sont de la forme u n = u.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Méthode : Déterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser le Remarque : Dans le calcul de inverser et n'a pas d'importance.
Exercice Exercice Exercice Exercice Exercice
c) Exprimer Pn en fonction de n. d) Quel sera le prix au bout de 10 ans ? Pour déterminer le nombre de termes N on a uN = u0×3N. ? 39366 = 18×3N.
PGCD Comment déterminer le PGCD de deux nombres donnés Le
Déterminer en fonction de n le PGCD de n + 4 et de 3n + 7. Par combinaison linéaire on élimine les n : Soit d = PGCD(n+4 ;3n+7) alors d divise 5 donc d
Suites
Une suite numérique est une fonction de ? vers ?. Si une suite est représentée par la lettre u on note un l'image de n
Suites numériques
1. Calculer p1 et p2. Exprimer pn+1 en fonction de pn. 2. Quelle est la nature de la suite (pn)?. 3. En déduire l'expression de pn en fonction de n.
Comment exprimer Un en fonction de n: étude de suites
2) Quelle est la nature de la suite (u n) ? On donnera son premier terme et sa raison 3) Exprimer u n+1 en fonction de u n 4) Donner la variation de la suite (u n) 5) Exprimer u n en fonction de n 1) Chaque année le capital est multiplié par 104 u 0 = 500 u 1=104×500=520 u 2=104×520=54080 u 3=104×54080=562432 2) (u
Exo7 - Cours de mathématiques
Il existe une unique application de Mn(K) dans K appelée déterminant telle que (i)le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne les autres étant ?xés; (ii)si une matrice A a deux colonnes identiques alors son déterminant est nul; (iii)le déterminant de la matrice identité In vaut 1
Exo7 - Cours de mathématiques
Soit A ?anXn¯¢¢¢¯a0 un polynôme de degré n (an 6?0) Soit B?bmXm ¯¢¢¢¯b0 avec bm 6?0 Si n?m on pose Q ?0 et R ? A Si n?m on écrit A ?B¢ an bm Xn¡m¯A 1 avec degA1 Én¡1 On applique l’hypothèse de récurrence à A1: il existe Q1R1 2K[X] tels que A1 ?BQ1 ¯R1 et degR1 ?degB Il vient : A ?B µ an bm Xn¡m ¯Q 1
Suites : exercices - Xm1 Math
n en fonction de n b) En déduire le sens de variation de la suite (U n) Exercice 3 : Soit (U n) la suite arithmétique de premier terme U 0 =4 et de raison r = 1 2 a) Exprimer U n en fonction de n b) Calculer U 10 Exercice 4 : Soit (U n) la suite arithmétique telle que U 4 =5 et U 11 =19 Calculer la raison r et U 0 Exercice 5 : Soit (U
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1 Décrire graphiquement l'évolution de ?xn? 2 ? en fonction de n pour les 4 méthodes abordées 2 Déterminer graphiquement l'ordre de convergence 3 Reprendre avec une autre fonction Activité 5 : La methode de Newton : un exemple en dimension 2 Gregory Vial
Comment exprimer un en fonction de n ?
Exprimer un en fonction de n On utilise la formule: et on remplace simplement et r par leur valeur respective: Soit (Un) la suite arithmétique de raison r=2 et de premier terme . Donner le terme général de la suite (Un) On utilise la formule: et on remplace simplement et r par leur valeur respective:
Comment calculer une fonction ?
Au lieu de décrire une fonction S par tous les cas de figure possibles, il suffira de dire que S doit être égale à 1 pour certaines valeurs de N. Par exemple au lieu de demander de réaliser une fonction S qui donne 1 ssi 2 variables sur 3 sont à 1, il suffira de dire : on veut que S = 1 ssi N = 3 ou 5 ou 6.
Comment déterminer une fonction linéaire ?
Déterminer une fonction linéaire, c’est trouver la valeur de son coefficient a. Pour cela, il suffit d’un nombre et de son image. Exemple : Trouver la fonction linéaire f qui au nombre 2 associe le nombre 6. On sait qu’une fonction affine est de la forme f : x ax + b.
Comment déterminer la définition d'une fonction ?
Comme pour les autres valeurs, la définition d'une fonction est introduite par un mot clé let suivi du nom de la fonction et de la liste de ses arguments, ce qui nous donne typiquement let f x = ... pour une fonction à un argument et let f x1 x2 ... xn = ... pour une fonction à n arguments.
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frVARIATIONS D'UNE FONCTION
Tout le cours sur les variations en vidéo : https://youtu.be/i8aYSIidNlk Tout le cours sur les fonctions affines en vidéo : https://youtu.be/n5_pRx4ozIg Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes1. Définitions
On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par =5- Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite :Sur l'intervalle [0;2,5], on
monte, on dit que la fonction est croissante.Sur l'intervalle [2,5;5], on
descend, on dit que la fonction est décroissante. est décroissante sur 2,5;5Si augmente (3<4),
alors () diminue ((3)>(4)). est croissante sur 0;2,5Si augmente (1<2),
alors ()augmente ((1)<(2)).2 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction est croissante, - une fonction est décroissante, si < alors . si < alorsRemarques :
• Pour une fonction constante : on a toujours • Dire que est monotone signifie que est soit croissante, soit décroissante. • On dit qu'une fonction croissante conserve l'ordre et qu'une fonction décroissante renverse l'ordre. Exercice : Déterminer les variations d'une fonctionVidéo https://youtu.be/zHYaPOWi4Iw
Vidéo https://youtu.be/__KaMRG51Ts
2. Maximum et minimum
Exemple : On reprend la fonction définie dans l'exemple de la partie 1.Sur l'intervalle [0;5], on a :
2,5 =6,25. On dit que 6,25 est le maximum de la fonction . Ce maximum est atteint en 2,5.3 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDéfinitions : Sur un intervalle ,
- une fonction admet un maximum en , si pour tout , - une fonction admet un minimum en , si pour tout ,Remarque : Un minimum ou un maximum
s'appelle un extremum.TP avec Python :
Approcher un extremum par la méthode du balayage3. Tableau de variations
Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Méthode : Déterminer graphiquement les variations d'une fonction et dresser le tableau de variationsVidéo https://youtu.be/yGqqoBMq8Fw
On considère la représentation graphique la fonction :4 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr a) Sur quel intervalle la fonction est-elle définie ? b) Donner les variations de la fonction. c) Donner les extremums de la fonction en précisant où ils sont atteints. d) Résumer les résultats précédents dans un tableau de variations.Correction
a) La fonction est définie sur [-5;7]. b) La fonction est croissante sur les intervalles [-4;0] et [5;7]. Elle est décroissante sur les intervalles [-5;-4] et [0;5]. c) Le maximum de est 3,5. Il est atteint en =0. Le minimum de est -4. Il est atteint en =-4 . d)Partie 2 : Cas des fonctions affines
1. Définitions
Définitions : Une fonction affine est définie sur ℝ par =+, où et sont deux nombres réels. Lorsque =0, la fonction définie par = est une fonction linéaire.Exemples :
• Fonction affine : =-+6 • Fonction linéaire :2. Variations
Propriété : Soit une fonction affine définie sur ℝparSi >0, alors est croissante.
Si <0, alors est décroissante.
Si =0, alors est constante.
Démonstration :
Soient et deux nombres réels tels que <.On sait que < donc ->0.
Le signe de
est le même que celui de .5 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr - Si >0, alors > 0 soitDonc est croissante.
- Si =0, alors = 0 soitDonc est constante.
- Si <0, alors < 0 soitDonc est décroissante.
Méthode : Déterminer les variations d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/9x1mMKopdI0
Déterminer les variations des fonctions affines suivante : a) =3+2 b) =7-6 c) ℎCorrection
1)
=3+2 >0 donc est croissante.2)
=7-6=-6+7 <0 donc est décroissante.3) ℎ
=-=-1 <0 donc ℎ est décroissante.3. Représentation graphique
Propriétés :
- Une fonction affine est représentée par une droite. - Une fonction linéaire est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Soit la fonction affine définie par ()=+. s'appelle le coefficient directeur s'appelle l'ordonnée à l'origine. Méthode : Déterminer graphiquement une fonction affineVidéo https://youtu.be/OnnrfqztpTY
Vidéo https://youtu.be/fq2sXpbdJQg
Vidéo https://youtu.be/q68CLk2CNik
Déterminer graphiquement l'expression des fonctions et représentées respectivement
par les droites (d) et (d').6 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
Ce nombre s'appelle le coefficient directeur.
Si on avance de 1 : on monte de .
Ce nombre s'appelle l'ordonnée à l'origine.
- se lit sur l'axe des ordonnées.Pour (d) : Le coefficient directeur est 2
L'ordonnée à l'origine est -2
L'expression de la fonction est :
=2-2Pour (d') : Le coefficient directeur est -0,5
L'ordonnée à l'origine est -1
L'expression de la fonction est :
=-0,5-1 Propriété des accroissements : Soit la fonction affine définie sur ℝ par =+ et deux nombres réels distincts et .Alors : =
Démonstration :
Comme ≠, et on a : =
Remarque : Dans le calcul de ,inverser et n'a pas d'importance.En effet :
Méthode : Déterminer l'expression d'une fonction affineVidéo https://youtu.be/ssA9Sa3yksM
Vidéo https://youtu.be/0jX7iPWCWI4
Déterminer par calcul une expression de la fonction telle que : (-2)=4 et (3)=1.7 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frCorrection
est une fonction affine, donc elle s'écrit sous la forme : • Calcul de : On a (-2)=4 et (3)=1, donc d'après la propriété des accroissements :Donc :
• Calcul de b :On a par exemple : (3)=1, donc :
×3+=1
+=1 =1+ 9 5 5 5 9 5 • D'où :Partie 3 : Cas des fonctions de référence
1. Variations de la fonction carré
Vidéo https://youtu.be/B3mM6LYdsF8
Propriété :
La fonction carré est décroissante sur l'intervalle -∞;0 et croissante sur l'intervalle0;+∞
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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.frDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/gu2QnY8_9xk
On pose :
- Soit et deux nombres réels quelconques positifs tels que <. Or ->0, ≥0 et ≥0 donc ≥0 ce qui prouve que est croissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue en choisissant et deux nombres réels quelconques négatifs tels que <.2. Variations de la fonction inverse
Vidéo https://youtu.be/Vl2rlbFF22Y
Propriété :
La fonction inverse est décroissante sur
l'intervalle -∞;0 et décroissante sur l'intervalle0;+∞
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/cZYWnLA30q0
On pose :
- Soit et deux nombres réels strictement positifs avec <. 0 0'/ 0/ Or >0, >0 et -<0. Donc f est ainsi décroissante sur l'intervalle0;+∞
- La décroissance sur l'intervalle -∞;0 est prouvée de manière analogue. Propriété : Si et sont deux nombres réels de même signe, on a alors : 1 1 En effet, la fonction inverse étant décroissante, l'ordre est renversé.9 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Résoudre une inéquation avec la fonction inverseVidéo https://youtu.be/7K0171Zj5Rw
Résoudre l'inéquation suivante pour tout strictement positif : 4 +2<5Correction
4 +2<5 4 <5-2 4 <3 1 3 4 1 4 3 4 3 4 3 ;+∞W3. Variations de la fonction racine carrée
Vidéo https://youtu.be/qJ-Iiz8TvZ4
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle0;+∞
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/1EUTIClDac4
On pose :
Soit et deux nombres réels positifs tels que <. 1 0 31/4 0 3 /4 0 0 /4 0 /'0 /4 0 Or >0 et ->0. Donc >0
Donc
Ce qui prouve que f est croissante sur l'intervalle0;+∞
← On divise de part et d'autre par 4. ← On applique la propriété donnée plus haut.10 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Si et sont deux nombres réels positifs, on a alors : En effet, la fonction racine carrée étant croissante, l'ordre est conservé.4. Variations de la fonction cube
Vidéo https://youtu.be/PRSDu_PgCZA
Propriété : La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.Propriété : <éà
En effet, la fonction cube étant croissante, l'ordre est conservé. Méthode : Ordonner des nombres avec la fonction cubeVidéo https://youtu.be/8h8uAq0wH1A
Sans calculatrice, ranger les nombres suivants dans l'ordre croissant : 1 8 4 -5 Z 2 3 1 8Correction
On a :
1 8 1 2 1 2 =Z 1 2 -5 =(-5) 1 8 =Z- 1 2La fonction cube conserve l'ordre.
Donc, pour ranger dans l'ordre croissant les nombres : Z 1 2 4 (-5) Z 2 3 Z- 1 2 il suffit de ranger dans l'ordre croissant ces nombres sans l'exposant 3.Soit, à ranger :
1 2 4-5 2 3 1 2 Or :11 sur 11
Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr -5<- 1 2 1 2 2 3 <4Donc :
-5[PDF] variable aléatoire probabilité
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