Probabilités et variables aléatoires
Espérance et variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théorème de central
VARIABLES ALÉATOIRES
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Chapitre 2 - Variables Aléatoires
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Probabilités et variables aléatoires Préparation `a lagrégation interne
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MODULE 6 VARIABLE ALÉATOIRE ALÉATOIRE
On peut donc calculer une probabilité quelconque en se basant sur la loi de probabilité (fonction de masse). En fait on applique le principe des événements
VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE A DEUX DIMENSIONS Si Ã
Ce tableau représente la loi de probabilité de la variable aléatoire. (XY). Page 2. Reproduction ( photocopie…) non autorisée. 2. Les
7 Lois de probabilité
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CPES 2 – Probabilités approfondies 2015-2016 Variables aléatoires
Variable aléatoire constante avec probabilité 1. On suppose que {a}?E pour tout a ? E. Quel sens donner `a l'affirmation ? la variable aléatoire X est
Variables aléatoires
Méthode 1 : Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète. • On donne l'ensemble des valeurs X(?) des valeurs prises par X.
Chapitre 8 - Variables aléatoires à densité
une densité de probabilité. Théorème 1 : Si X est une variable aléatoire à densité de fonction de répartition FX et de densité f
VARIABLES ALÉATOIRES - maths et tiques
Partie 1 : Variable aléatoire et loi de probabilité 1) Variable aléatoire Exemple : Soit l'expérience aléatoire : « On lance un dé à six faces et on regarde le résultat » L'ensemble de toutes les issues possibles E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} s'appelle l'univers des possibles On considère le jeu suivant :
Préambule - Education
1 1 Espace probabilisable et loi de variable aléa-toire 1 1 1 Unexemplefondamental Considérons le jeu du lancé d’un dé Notons l’ensemble de tous les résultatspossibles(appelésaussiépreuvesourésultatsélémentaires)decette expériencealéatoire = f1;2;3;4;5;6g: Onnote!= 3 poursigni?erque3estlerésultatdel’épreuve
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Chapitre 10 : Variables aléatoires – Cours complet - 4 - L’application définie au théorème 1 2 est appelée loi (ou de loi de probabilité) de la variable aléatoire X et on la note PX Théorème 1 3 : système complet induit par une variable aléatoire discrète
Notions fondamentales de la Théorie des Probabilités
On dit que c’est une variable aléatoire réelle; en abrégé v a r On conviendra par la suite que R1 = R Si d > 1 on dira aussi vecteur aléatoire Si X = (X 1 X d) est un vecteur aléatoire alors les X k sont des v a r ; ré-ciproquement si X 1 X d sont des v a r à valeurs dans R alors (X 1 X d) est un vecteur
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Catégorie de ressource eduscol.education.fr/ - Ministère de l’Éducation nationale et de la Jeunesse – Novembre 2019 La loi de probabilité de la variable aléatoire G qui, à une partie, associe le gain (algébrique) réel du joueur est donc : x -1 0 19 Total
Comment calculer la probabilité d’une variable aléatoire de densité ?
EXERCICE 7 p. 242 Méthode 2 Calculer une probabilité dans le cas d’une variable aléatoire de densité f ? f ( x ) = ? x si x [ [?1 ; 0] ? Soit X une variable aléatoire de densité f définie par ? f ( x ) = x si x [ ]0 ;1] ?? f ( x ) = 0 sinon 1 Tracer la représentation graphique de la fonction f. 2 Calculer les probabilités suivantes. a.
Qu'est-ce que la variable aléatoire continue en probabilités ?
Le terme « variable aléatoire continue » en probabilités n’est pas synonyme de « fonction continue » en analyse, même si l’idée de départ est similaire. Il s'agit réellement d'un autre concept. On considère une variable aléatoire prenant une valeur aléatoire entre 0 et 1,
Quels sont les variables aléatoires ?
Introduction Il existe des variables ale?atoires qui prennent toutes les valeurs d’un intervalle de R. Par exemple : • la longueur d’un lancer au javelot • la dure?e de vie d’une ampoule e?lectrique • l’attente a? une caisse de supermarche? (...)
VARIABLES ALÉATOIRES
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/krbtyBDeRqQ En 1654, Blaise Pascal (1623 ; 1662) entretient avec Pierre de Fermat (1601 ;1665) des correspondances sur le thème des jeux de hasard et d'espérance de gain
qui les mènent à exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. Ils s'intéressent à la résolution de problèmes de dénombrement comme celui du Chevalier de Méré : " Comment distribuer équitablement la mise à un jeu de hasard interrompu avant la fin ? » Partie 1 : Variable aléatoire et loi de probabilité1) Variable aléatoire
Exemple :
Soit l'expérience aléatoire : " On lance un dé à six faces et on regarde le résultat. »
L'ensemble de toutes les issues possibles E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} s'appelle l'univers des possibles.On considère le jeu suivant :
• Si le résultat est 5 ou 6, on gagne 2 €. • Sinon, on perd 1 €.On peut définir ainsi une variable aléatoire í µ sur E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} qui donne le gain et
qui peut prendre les valeurs 2 ou -1.Pour les issues 5 et 6, on a : í µ = 2
Pour les issues 1, 2, 3 et 4, on a : í µ = -1.
Définition : Une variable aléatoire í µ associe un nombre réel à chaque issue de l'univers des
possibles. Méthode : Calculer une probabilité à l'aide d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/IBqkrg8pxQ4
Vidéo https://youtu.be/OnD_Ym95Px4
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. - Si cette carte est un coeur, on gagne 5 €. - Si cette carte est un carreau, on gagne 2 €. - Dans les autres cas, on perd 1 €. Soit í µ la variable aléatoire qui associe le gain du jeu. 2Correction
í µ(í µ=5) est la probabilité de gagner 5 €. On gagne 5 € lorsqu'on tire un coeur. Soit :
í µ=5 8 321 4
í µ(í µ=-1) est la probabilité de perdre 1 €. On perd 1 € lorsqu'on ne tire ni un coeur, ni un
carreau. Soit : í µ=-1 16 321 2 í µ=2 í µ=-1 1 4 1 2 3 4
2) Loi de probabilité
Définition : Soit une variable aléatoire í µ prenant les valeurs í µ La loi de probabilité de í µ est donnée par toutes les probabilités í µ(í µ=í µRemarque : Les " í µ
» sont toutes les valeurs prises par í µ.
Méthode : Déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/awtn6gsRwfs
Vidéo https://youtu.be/2Ge_4hclPnI
On lance simultanément deux dés à 6 faces et on note les valeurs obtenues. Soit í µ la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs.Établir la loi de probabilité de í µ.
Correction
La variable aléatoire í µ peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Par exemple, si on obtient la combinaison (2 ; 5), la plus grande valeur est 5 et on a : í µ=5. La plus grande des deux valeurs est 1, si on obtient la combinaison : (1 ; 1). í µ=1 1 36La plus grande des deux valeurs est 2, si on obtient les combinaisons : (1 ; 2), (2 ; 1) ou (2 ; 2).
í µ=2 3 361 12 La plus grande des deux valeurs est 3, si on obtient les combinaisons : (1 ; 3), (3 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2) ou (3 ; 3). í µ=3 5 36
La plus grande des deux valeurs est 4, si on obtient les combinaisons : (1 ; 4), (4 ; 1) (2 ; 4), 3 (4 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3) ou (4 ; 4). í µ=4 7 36
La plus grande des deux valeurs est 5, si on obtient les combinaisons : (1 ; 5), (5 ; 1) (2 ; 5), (5 ; 2), (3 ; 5), (5 ; 3), (4 ; 5), (5 ; 4) ou (5 ; 5). í µ=5 9 36
1 4 La plus grande des deux valeurs est 6, si on obtient les combinaisons : (1 ; 6), (6 ; 1) (2 ; 6), (6 ; 2), (3 ; 6), (6 ; 3), (4 ; 6), (6 ; 4), (5 ; 6), (6 ; 5) ou (6 ; 6). í µ=6 11 36
On peut résumer les résultats dans le tableau de la loi de probabilité de í µ :
Remarque :
On vérifie que la somme des probabilités est égale à 1 : 1 361 12 5 36
7 36
1 4 11 36
=1
Partie 2 : Espérance, variance, écart-type
Définitions : Soit une variable aléatoire í µ prenant les valeurs í µ La loi de probabilité de í µ associe à toute valeur í µ la probabilité í µ - L'espérance de í µ est : - La variance de í µ est : - L'écrt-type de í µ est : Méthode : Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/AcWVxHgtWp4
Vidéo https://youtu.be/CbCMJXGhC4k
Vidéo https://youtu.be/elpgMDSU5t8
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
- Si on tire un coeur, on gagne 2 €. - Si on tire un roi on gagne 5 €. - Si on tire une autre carte, on perd 1 €. í µ est la variable aléatoire donnant le gain du jeu.1 2 3 4 5 6
1 361 12 5 36
7 36
1 4 11 36
4
1) Calculer l'espérance de í µ.
2) Donner une interprétation du résultat.
3) Calculer la variance et l'écart-type de í µ.
Correction
1) On commence par établir la loi de probabilité de í µ :
í µ peut prendre les valeurs -1 €, 2 €, 5 € mais aussi 7 €. En effet, si on tire le roi de coeur, on gagne 2 € (comme un coeur) + 5 € (comme un roi). Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), í µ=2. í µ(í µ=2)= Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), í µ=5. í µ(í µ=5)= Si la carte tirée est le roi de coeur, í µ=7. í µ(í µ=7)= Si la carte tirée n'est ni un coeur, ni un roi, í µ=-1. í µ(í µ=-1)=La loi de probabilité de í µ est :
-1×2+
×5+
1 32×7=
15 32≈0,47
2) Si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, on peut espérer gagner, en
moyenne, environ 0,47 € par tirage. Si l'organisateur du jeu veut espérer faire un bénéfice, il pourra demander par exemple aux joueurs une participation de 0,50 € par tirage. Il gagnera en moyenne environ 0,03 € par tirage.3) Variance :
×A-1-
15 32B
×A2-
15 32B
×A5-
15 32B 1 32
×A7-
15 32B ≈5,1865
Écart-type :
Propriétés de linéarité (non exigible) : Soit une variable aléatoire í µ. Soit í µ et í µ deux nombres réels. On a : -1 2 5 7 2132
7 32
3 32
1 32
5
Méthode : Simplifier les calculs d'espérance et de variance à l'aide d'une variable aléatoire
de transition (non exigible)Vidéo https://youtu.be/ljITvCBExVY
Une entreprise qui fabrique des roulements à bille fait une étude sur une gamme de billesproduites. Le diamètre théorique doit être égal à 1,3 cm mais cette mesure peut être
légèrement erronée.L'expérience consiste à tirer au hasard une bille d'un lot de la production et à mesurer son
diamètre.On considère la variable aléatoire í µ qui, à une bille choisie au hasard, associe son diamètre.
La loi de probabilité de í µ est résumée dans le tableau suivant : Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de í µ.Correction
Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire í µ=1000í µ-1300.La loi de probabilité de í µ est alors :
Calculons l'espérance et la variance de la loi de probabilité de í µ : =0,2× 2-0,1 +0,1× -1-0,1 +0,2× 0-0,1 +0,4× 1-0,1 +0,1× 2-0,1 =1,69 On en déduit l'espérance et la variance de la loi de probabilité de í µ :1000í µ-1300
=1000í µ -1300Donc : í µ
=1,3001Donc : í µ
0(+) $,12Et donc : í µ
$,12 =0,0013 Conclusion : í µ(í µ)=1,3001í µí µí µí µ í µ =0,0013 í µí µ.1,298 1,299 1,3 1,301 1,302
0,2 0,1 0,2 0,4 0,1
-2 -1 0 1 20,2 0,1 0,2 0,4 0,1
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