[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp » : 2

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FONCTION EXPONENTIELLE

Jean Chanzy

Université de Paris-Sud

1 Définition de la fonction "exp» :

Définition 1Une équation différentielle est une équation définie par une relation fonctionnelle entre

une fonctiony(x)et un nombre fini de ses dérivées successives, du typeF(y,y?,y??,...,y(n)) = 0, oùF

est une fonction de plusieurs variables (icin+1). L"inconnue est ici une fonctionydérivablenfois. On

dit qu"on lui adjoint une condition initiale si on précise pour les fonctions-solutionsfde cette équation

une ou plusieurs valeurs en un point defou de ses dérivées.

Définition 2Il existe une unique fonction définie et dérivable surR, notée "exp», qui soit solu-

tion de l"équation différentielley?=y, avec la condition initialeexp(0) = 1. On l"appelle la fonction

exponentielle.

Définition 3On appelle " exponentielle » ou " nombree» le nombre réele= exp(1), dont une valeur

approchée est2,71828.... On peut alors noter la fonction exponentielleexp(x) =ex. On peut définir la fonctionexpd"une autre manière :

Conséquence de la définition 2 et définition 4Il existe une unique fonctionfdéfinie et dérivable

surRtelle que?a?R,?b?R,f(a+b) =f(a)f(b), etf?(0) = 1. Cette fonction est la fonction exponentielle.

Démonstration

:?x?R,?b?R, on af(x+b) =f(x)f(b). Commefest dérivable,f?(x+b) = f

?(x)f(b), et pourx= 0,f?(b) =f?(0)f(b) =f(b),?b?R.fest donc solution de l"équation différentielle

y ?=y. D"autre part, six=b= 0,f(x+b) =f(x)f(b)devientf(0) =f(0)2, ce qui donnef(0) = 0ou

f(0) = 1. Sif(0) = 0, alorsf= 0, ce qui est le cas trivial à exclure. Sif(0) = 1,f= exp, d"après la

définition 2. Réciproquement, la fonctionexpvérifie les conditions de l"énoncé.? Propriétés de la fonctionexp; Relations fonctionnelles :?a?R,?b?R,?n?Z, e

0= 1ea+b=ea×eb1

eb=e-b, e a eb=ea-b(ex)n=enx.

2 Étude de la fonction exponentielle :

On considère la fonction :exp :R→]0,+∞[ x?→exp(x) =ex

1.Ensemble de définition :

La fonctionexpest définie surRtout entier, et?x?R,ex>0.

2.Limites et asymptotes :

Pour la fonctionexpon a les limites suivantes,?n?Z: lim x→-∞ex= 0 limx→+∞ex= +∞ lim x→-∞xnex= 0 limx→+∞e x xn= +∞ ?Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 1

On retiendra la règle suivante : à l"infini, la fonction exponentielle l"emporte toujours sur n"importe

quelle fonction puissance et impose sa limite.

On a aussilimx→0

x?=0e x-1 x=e0= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en0de la fonctionexp. On constate également que l"axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de la fonctionexpen-∞.

3.Sens de variation :

On aexp?(x) = exp(x) =ex,?x?R, donc?x?R,exp?(x)>0, etexpest une fonction strictement croissante surR. x exp ?(x) exp(x)-∞+∞ 0

4.La bijectionexp:

Comme la fonctionexpest continue surR, puisque dérivable surR, et qu"elle est strictement croissante surR, c"est une bijection deRsur]0,+∞[, et on a alors : e x= 1?x= 0?a?R,?b?R, ea=eb?a=b(bijection), e x>1?x >0?a?R,?b?R, ea> eb?a > b(croissance), e x<1?x <0?a?R,?b?R, ea< eb?a < b(croissance).

5.Tangente particulière :

Enx= 0, le nombre dérivé deexpest1, donc l"équation de la tangente

à la courbe enx= 0esty=x+ 1.

6.Courbe représentative :

O? i? j xy y=ex

3 Fonction composéeexp◦u:

Proposition 1Soituune fonction définie et dérivable sur un intervalleIdeR. Alors la fonction exp◦u=euest dérivable surI, et sa dérivée est(eu)?=u?eu.

Remarque 1

: Commeeu>0, le sens de variation deeuest le même que celui deu.♣ Exemple 1La dérivée de la fonctionf(x) =e-kxpourk >0estf?(x) =-ke-kx, etfest toujours décroissante surR. 2 Exemple 2La dérivée de la fonctiong(x) =e-kx2pourk >0estg?(x) =-2kxe-kx2, etfest croissante sur]- ∞,0[, et décroissante sur]0,+∞[. Sa courbe s"appelle unegaussienne

4 Équation différentielley?-ky= 0:

Théorème 1L"équation différentielley?-ky= 0a une infinité de solutionsfde la formef(x) =Cekx,

oùCdécritR. À chaque valeur deCcorrespond une solutionfde cette équation.

Théorème 2Soientx0ety0deux réels donnés. L"équation différentielley?-ky= 0a une unique

solutionftelle quey0=f(x0). Cette solution s"écritf(x) =y0ek(x-x0).

Démonstration

1.Existence :

Elle sera démontrée ultérieurement, après le cours sur les primitives et la fonctionln.

2.Unicité :

Supposons qu"il existe deux telles fonctionsfetg. Comme?fg? =f?g-fg?g2, et f ?=kf,g?=kg, on a?f g? =(kf)g-f(kg)g2= 0, doncfg=A, oùAest une constante réelle. Alorsf=Ag, etf(x0) =y0=Ag(x0) =Ay0, ce qui entraîne queA= 1, etf=g.

5 Équation différentielley?=ay+b:

Théorème 3L"équation différentielley?=ay+ba une infinité de solutionsfde la formef(x) =

b a+Ceax, oùCdécritR. À chaque valeur deCcorrespond une solutionfde cette équation.

Théorème 4Soientx0ety0deux réels donnés. L"équation différentielley?=ay+ba une unique

solutionftelle quey0=f(x0). Cette solution s"écritf(x) =-b a+? y 0+ab? e a(x-x0).

6 Équation différentielley?-ky=h(x):

Théorème 5La solution générale de l"équation différentielley?-ky=h(x), oùhest une fonction

continue surR, est la somme d"une solution particulière de cette équation,et de la solution générale de

l"équation sans second membrey?-ky= 0. La solution particulière de l"équationy?-ky=h(x)peut

être trouvée en prenant la solution générale de l"équationy?-ky= 0, soitf(x) =Cekx, et en appliquant

la méthode de la variation de la constanteC, considérée alors comme une fonction dexau même titre

quef(x). 3quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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