[PDF] Sur la courbure des métriques riemanniennes invariantes des





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cléricaux l'ensemble documentaire de 19 liasses (BB 18 2301 1 à 2309 8

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L"É.N.S.LIONELBÉRARD-BERGERY groupesdeLieetdesespaceshomogènes

Annales scientifiques de l"É.N.S. 4

esérie, tome 11, no4 (1978), p. 543-576

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1978, tous droits réservés.

L"accès aux archives de la revue " Annales scientifiques de l"É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systé- matique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-

chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme

Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

Ann. scient. Éc. Norm, Sup.

4 e série t. 11 1978
p 54
3 576
SUR LA

COURBURE

DES

MÉTRIQUES

RIEMANNIENNE

S

INVARIANTES

DES

GROUPES

D E LIE ET DES

ESPACES

HOMOGÈNE

S PAR LIONE L

BÉRARD

BERGERY

1

Introductio

nCet article rassemble plusieurs résultats sur la courbure (sectionnelle, de Ricci ou sca- laire de s métriques riemanniennes invariantes sur le s groupes d e Li e e t le s espace s homo- gènes Le s deux résultats principaux répondent de s questions posée s par J

Milnordans l'article [M] de la bibliographie :

THÉORÈME

1 Les trois propositions suivantes sont

équivalentes

pour un groupe de Lie connexe G (1 G admet une métrique riemannienne invariante gauche courbure sectionnellepositive ou nulle; (2 G admet une métrique riemannienne invariante gauche courbure de Ricci positive ou nulle; (3 le revêtement universel de G est produit semi-direct d'un sous-groupe distingué admet- tant une métrique riemannienne invariante gauche courbure sectionnelle nulle, et

d'unsous-groupe semi-simple qui opère sur le précédent par isométries pour l'une des métriques

riemanniennes invariantes plates.

THÉORÈME

2 Soit M G/H un espace homogène sous un groupe de Lie connexe G admettant des métriques riemannîennes

G-invariantes.

Alors les deux propositions suivantessont équivalentes : (1 le revêtement universel de M est difféomorphe un espace euclidien; (2 toute métrique riemannienne

G-invariante

sur M est ou bien plate ou bien courbure scalaire strictement négative.

L'articl

e es t divis e n trois parties. L a premièr e 2 4 donne l a démonstration

duthéorème 1. La deuxième (§ 5 et 6) donne la démonstration du théorème 2 pour les groupes

d e Li e (c e qui

étai

t l a question d e

Milnor

dans [M]) La troisième donne l a

démonstrationdu théorème 2 dans le cas général et précise (dans les théorèmes 8, 9 et 10) quels sont les

ANNALE

S

SCIENTIFIQUE

S DE

L'ÉCOL

E

NORMAL

E

SUPÉRIEUR

E

544 L. BÉRARD BERGERY

signe s possibles pour l a courbure scalair e de toutes le s métriques riemanniennes

G-invariantes

sur G/H. D'une façon plus détaillée au paragraphe 2 après avoir fixé le s notations, o n construit de s métriques rieman- niennes invariantes courbure sectionnell e (ou d e Ricci positive ou nulle sur le s groupes d e Li e vérifiant l'énoncé (3 du théorème 1 au paragraphe 3 o n démontre que ce s constructions fournissent tous le s groupes de Li e e t toutes le s métriques riemanniennes invariantes gauche courbure sectionnell e (ou d e Ricci positive ou nulle; au paragraphe 4 o n

étudie

l e cas particulier d e l a courbure d e Ricc i nulle, e t l'on indique une nouvelle démonstration (communiquée l'auteur par E

Heintze)

du théorème récent d e D. V.

Alekseevski

e t B N.

Kimel'fel'd

([A-K] un espace homogène riemannien courbure de Ricci nulle est plat, au paragraphe 5 o n détaille l e calcul d e l a courbure d'une métrique riemannienne invariante gauche pour un groupe d e Li e admettant un sous-groupe distingué propre non trivial, e n fonction de squotesdbs_dbs25.pdfusesText_31
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