Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques
h) Montrer que D? et L(B1) ont le même noyau. 2 Formes bilinéaires. Rappelons qu'une application K–bilinéaire est appelée une forme bilinéaire si elle est `
Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
est une forme bilinéaire symétrique (vérifier la symétrie). Définition 2.13 Une application q : E ? K est appelée forme quadratique.
ALG`EBRE BILINÉAIRE (MAT241) Notes de cours. Texte non
L'ensemble Q(E) des formes quadratiques sur E est un sous- espace vectoriel de l'espace vectoriel F(EK) des applications de E dans K. Exercice 22. Montrer que
Feuille dexercices no1 Formes bilinéaires et quadratiques
Montrer qu'il s'agit d'une application bilinéaire anti-symétrique. Est-elle dégénérée ? Exercice 3 : On se place sur R2[X] et on consid`ere l'application.
V-formes-quadratiques.pdf
Définition 3 – Une forme quadratique q sur E est une application q : E ? R L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilinéaire.
Algèbre linéaire et bilinéaire
D'une part on dit qu'une application f : G ? H entre deux groupes est un morphisme On peut montrer que
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DEFINITION 1 : APPLICATION BILINEAIRE On dit que la matrice ( ) ... Toute forme bilinéaire alternée sur E est antisymétrique. La réciproque est vraie si ...
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Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique (t) dt = 0 implique que ?t ? [0.1]
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On définit l'application f : M×M?? R comme suit : (A B) ?? det(A + B) ? det(A ? B) Montrer que f est une forme bilinéaire et calculer sa matrice dans
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On appelle ?b l'application linéaire de E dans son dual associée `a la forme bilinéaire symétrique b Si E est de dimension finie et E est une base de E alors
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On dit qu'une application B : E × F ? K est une forme bilinéaire si : ? x x ? E ? y y ? F ? t t ? K B(tx + t x y) = tB(x y) + t B(x y) B(x ty
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Montrer que l'application q : E ?? k u ?? ? ? ? n=0 u2 n est une forme quadratique sur E associée `a la forme bi- linéaire symétrique
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Savoir vérifier qu'une application est une forme bilinéaire (positive définie positive) 4 Formes bilinéaires symétriques en dimension finie : matrice d'une
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Montrer que la dimension de l'espace vectoriel B(E × E K) est n2 Exercice Soit b une forme bilinéaire sur E Soient B1 et B2 deux bases de E On note P
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Une forme bilinéaire sur E est une application b : E × E?K linéaire en chaque argument c'est-à-dire Montrer que b ? B(E) et calculer [b]e en fonction
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Comment montrer qu'une application est bilinéaire ?
Une application : f : E × F ?? G est dite K–bilinéaire (ou plus simplement bilinéaire), si ?x ? E, ?y ? F les applications partielles : y ?? f(x, y) et x ?? f(x, y) sont K–linéaires. Dans le cas o`u G est identique `a K, on dit que f est une forme bilinéaire.Comment montrer une forme bilinéaire ?
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.Comment calculer la matrice d'une forme bilinéaire ?
Il s'agit de déterminer la matrice associée à dans la base canonique, soit. L'élément de la première ligne première colonne de est le coefficient de x 1 y 1 dans l'expression explicite de f ( x , y ) ; il est donc égal à 1.- En particulier, le noyau à gauche d'une forme bilinéaire sur E×F est le sous-espace F? de E constitué des vecteurs x tels que : On définit de même un noyau à droite E?, qui est un sous-espace de F. et l'on définit de même la non-dégénérescence à droite.
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Chapitre 2
Formes bilin´eaires sym´etriques,
formes quadratiques2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques
Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.2.1.1 D´efinition
D´efinition 2.1
Une application
b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).On dit quebestsym´etriquequand
?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.Exemples:
1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 56CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
2.E=R2. Le produit scalaire usuel
µµx1
x 2 ,µy1 y2
?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.E=C([-1,1],R). L"application
C0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R
(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.E=Mn(K). L"application
M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique
On suppose
Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.D´efinition 2.2
La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.Exemple:µ3 1
1-2
est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etriqueµµx1
x 2 ,µy1 y2
?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.2.1. FORMES BILIN
´EAIRES SYM´ETRIQUES7
Rappel : Changement de base.
D´efinition 2.3
La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.Proposition 2.4
Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)La matrice de
la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est ME?(b) =tP ME(b)P .
2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e
Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E, l"application b(·,x) :E-→K y?-→b(y,x) est une forme lin´eaire surK, c"est `a dire un ´el´ement du dualE?.Proposition 2.6
L"application
b:E-→E? x?-→b(·,x) est lin´eaire. On appelle?bl"application lin´eaire deEdans son dual associ´ee `a la forme bilin´eaire sym´etriqueb. SiEest de dimension finie etEest une base deE, alors la matrice debdansEest ´egale `a la matrice de?b:E→E?o`uEest muni de la baseEetE?de la base dualeE?.D´efinition 2.7
Lenoyaude la forme bilin´eaire sym´etriqueb, not´eker(b) est le noyau de?b, c.-`a-d. : ker(b) ={x?E| ?y?E b(y,x) = 0}. La forme bilin´eaire sym´etriquebest ditenon d´eg´en´er´eequand son noyau est r´eduit `a{0}. SiEest de dimension finie, lerangdebest le rang de l"application?b, c.-`a-d. aussi le rang de la matrice debdans une base deE.8CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES
On peut v´erifier que toutes les formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont non d´eg´en´er´ees. En dimension finie, une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Eest donc non d´eg´en´er´ee si et seulement si sa matrice dans une base deEest inversible.Proposition 2.8
Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee sur E×E, o`uEest de dimension finie. Alors, pour toute forme lin´eaire??E?, il existe un uniquex?Etel que ?y?E ?(y) =b(y,x).2.1.4 Orthogonalit´e
Dans ce paragraphe,best une forme bilinaire sym´etrique surE×E.D´efinition 2.9
SoitFun sous-espace vectoriel deE. L"orthogonal deF pourbest le sous-espace deEd´efini par F ?={x?E| ?y?F b(y,x) = 0} Par exemple, pour le produit scalaire dansR3, l"orthogonal d"une droite vectorielleDest bien le plan vectoriel orthogonal (au sens usuel) `aD. Le lien avec l"orthogonal pour la dualit´e se fait grˆace `a l"application lin´eaire?b:E→E?associ´ee `ab.Proposition 2.10
F ?= (?b(F))◦.Th´eor`eme 2.11
On supposeEde dimension finien.
Sibest non d´eg´en´er´ee, alorsdim(F?) =n-dim(F). En g´en´eraldim(F?) =n-dim(F) + dim(F∩ker(b)).Proposition 2.12
On a toujoursF?(F?)?. SiEest de dimension finie
etbnon d´eg´en´er´ee, on aF= (F?)?.2.2 Formes quadratiques
A partir de maintenant et pour tout le reste du chapitre, le corpsKest suppos´e de caract´eristique diff´erente de 2, ce qui veut dire que 2?= 0 dansK (par exemple,Z/2Zest exclu). On d´esigne toujours parEun espace vectoriel surK.2.2. FORMES QUADRATIQUES9
2.2.1 D´efinitions
D´efinition 2.13
Une applicationq:E→Kest appel´ee forme quadratique surEs"il existe une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Etelle que ?x?E q(x) =b(x,x). La forme quadratiqueqest diteassoci´ee `a la forme bilin´eaire sym´etrique b. Les formes quadratiques associ´ees aux formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont respectivement 1. x?→x2(surK), 2. x1 x 2 ?→x21+x22(surR2), 3. f?→R1 -1f(t)2dt(surC0([-1,1],R)), 4.A?→trace(A2) (surMn(K)).
Proposition 2.14
Siqest une forme quadratique surE, alors il existe une unique forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Etelle queqsoit associ´ee `ab. On l"appelle laforme polaire deq, et elle est d´efinie par b(x,y) =1 2 (q(x+y)-q(x)-q(y)). SiEest de dimension finie etEune base deE, lamatriceMde la forme quadratiqueqdans la baseEest la matrice de sa forme polaire. La forme quadratique s"exprime alors matriciellement commeq(x) =tX M X, o`uXest le vecteur colonne des coordonn´ees dexdansE. Une forme quadratiqueqs"exprime comme un polynˆome homog`ene du second degr´e en fonction des coordonn´ees (x1,...,xn) : c"est une somme de monˆomes enx2iouxixj. Par exemple, la forme quadratique q(x1,x2,x3) =x21+ 7x22+ 6x1x2-2x1x3+ 8x2x3quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] forme bilinéaire exemple
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