Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques
h) Montrer que D? et L(B1) ont le même noyau. 2 Formes bilinéaires. Rappelons qu'une application K–bilinéaire est appelée une forme bilinéaire si elle est `
Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
est une forme bilinéaire symétrique (vérifier la symétrie). Définition 2.13 Une application q : E ? K est appelée forme quadratique.
ALG`EBRE BILINÉAIRE (MAT241) Notes de cours. Texte non
L'ensemble Q(E) des formes quadratiques sur E est un sous- espace vectoriel de l'espace vectoriel F(EK) des applications de E dans K. Exercice 22. Montrer que
Feuille dexercices no1 Formes bilinéaires et quadratiques
Montrer qu'il s'agit d'une application bilinéaire anti-symétrique. Est-elle dégénérée ? Exercice 3 : On se place sur R2[X] et on consid`ere l'application.
V-formes-quadratiques.pdf
Définition 3 – Une forme quadratique q sur E est une application q : E ? R L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilinéaire.
Algèbre linéaire et bilinéaire
D'une part on dit qu'une application f : G ? H entre deux groupes est un morphisme On peut montrer que
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DEFINITION 1 : APPLICATION BILINEAIRE On dit que la matrice ( ) ... Toute forme bilinéaire alternée sur E est antisymétrique. La réciproque est vraie si ...
Sommaire 1. Produit Scalaire sur E
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique (t) dt = 0 implique que ?t ? [0.1]
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On peut démontrer que si l'application f est G-différentiable dans un voisinage Va de a ? O
1 Formes bilinéaires
23-Oct-2013 Si q est une forme quadratique sur Rn il existe n formes linéaires ?1
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On définit l'application f : M×M?? R comme suit : (A B) ?? det(A + B) ? det(A ? B) Montrer que f est une forme bilinéaire et calculer sa matrice dans
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On appelle ?b l'application linéaire de E dans son dual associée `a la forme bilinéaire symétrique b Si E est de dimension finie et E est une base de E alors
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On dit qu'une application B : E × F ? K est une forme bilinéaire si : ? x x ? E ? y y ? F ? t t ? K B(tx + t x y) = tB(x y) + t B(x y) B(x ty
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Montrer que l'application q : E ?? k u ?? ? ? ? n=0 u2 n est une forme quadratique sur E associée `a la forme bi- linéaire symétrique
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Savoir vérifier qu'une application est une forme bilinéaire (positive définie positive) 4 Formes bilinéaires symétriques en dimension finie : matrice d'une
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Montrer que la dimension de l'espace vectoriel B(E × E K) est n2 Exercice Soit b une forme bilinéaire sur E Soient B1 et B2 deux bases de E On note P
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est un isomorphisme de K-espaces vectoriels Preuve D'apr`es la proposition précédente l'application t est linéaire Montrons qu'elle est injective ; soit
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Une forme bilinéaire sur E est une application b : E × E?K linéaire en chaque argument c'est-à-dire Montrer que b ? B(E) et calculer [b]e en fonction
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1 sept 2021 · Ce cours d'algèbre linéaire suppose connu les notions d'espace vectoriel de base d'application linéaire et de matrice ainsi qu'une
Comment montrer qu'une application est bilinéaire ?
Une application : f : E × F ?? G est dite K–bilinéaire (ou plus simplement bilinéaire), si ?x ? E, ?y ? F les applications partielles : y ?? f(x, y) et x ?? f(x, y) sont K–linéaires. Dans le cas o`u G est identique `a K, on dit que f est une forme bilinéaire.Comment montrer une forme bilinéaire ?
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.Comment calculer la matrice d'une forme bilinéaire ?
Il s'agit de déterminer la matrice associée à dans la base canonique, soit. L'élément de la première ligne première colonne de est le coefficient de x 1 y 1 dans l'expression explicite de f ( x , y ) ; il est donc égal à 1.- En particulier, le noyau à gauche d'une forme bilinéaire sur E×F est le sous-espace F? de E constitué des vecteurs x tels que : On définit de même un noyau à droite E?, qui est un sous-espace de F. et l'on définit de même la non-dégénérescence à droite.
Tabledesmati`e res
1Du ald'unespace vectoriel1
1.1.Rappe lsetnotations..............................1
1.2.Espac edual...................................2
1.3.Hyp erplan....................................4
1.4.Based uale....................................5
1.5.Trans position..................................8
2Alg`ebrebilin´eaire10
2.1.Forme sbilin´eaires................................10
2.2.Form esquadratiques..............................13
2.3.Ort hogonalit´e..................................16
2.4.Form esnond´eg´en´er´ ees.............................18
2.5.Bases orthogonales...............................20
2.6.R´ed uctiondesformesquadratiques......................25
3EspaceEuclidien28
3.1.Pro duitscalaire.................................28
3.2.Orth ogonalit´edanslesespacespr´ehilbert iensr´eels..............32
3.3.Adjoin td'unendomorphism e.........................36
3.4.End omorphismesym´etrique..........................38
3.5.Endom orphismeorthogonal..........................40
3.6.Forme r´eduited'un endomorphismeorthogonal................43
4Ap plications48
4.1.Endom orphismessym´etriquesetformesquadratique s............48
4.2.Polyn ˆomesorthogonaux............................50
4.3.Coniq uesetquadriques.............................51
Index55
i 11Duald'unespacevectoriel
Danstoutec ettepartieKd´esignerauncorpscommutatif .1.1.Rapp elsetnotations
•SoientFetGdessous -espacesvectorielsd'unK-espacevectorielE.OnditqueG estunsuppl´ementairedeFdansEsiE=F!G. •Dansunesp acevec toriel(dedimension finie),toutsous-espacevect orieladmetau moinsunsuppl´ ementai re. •SoitEunes pacevectorieldedim ensionfinienetB=(e 1 ,...,e n )unebasedeE. Toutvecte urx"Esed´ ecomposedemani`ereuniquesurla baseB,enx= n i=1 i e i eton peutcon sid´ererlam atrice-colonnedescoordonn´eesdexdanslabas eB: onnot eMat B (x)= 1 n '"M n,1 (K). •Soitn"N fix´e.Nousd´esigneronspar(" 1 n ),la basecanonique deK nRappelonsquelafamille( "
j j=1···n estd´efi niepar: 1 =(1,0,...,0)," 2 =(0,1,0,...,0)," j =(0,...,0,1,0,...,0)le 1´eta nt` ala j
`eme place," n =(0,...,0,1).Onad onc (x
1 ,x 2 ,...,x n )=x 1 1 +x 2 2 +···+x n n n i=1 x i i Lele cteurremarqueraquecette notationpeutdeveniramb igu¨esion nepr´ ecise pasclai rementl'entiern,c'est`adirel'espacevectorieldanslequelontravaille:par exemple" 1 repr´esente(1,0)d ansK 2 etrep r´esente(1,0,0,0)dan sK 4 •Soientmetnfix´esdansN .Nousd´esigneronspar(E ij (i,j)"[1,m] N #[1,n] N ,labase canoniquedeM m,n (K),e spacevectorieldesm atrices`amlignesetncolonnes`a coe!cientsdansK.RappelonsqueE ij estlama tricede M m,n (K)donttousles coe!cientssontnuls ,saufceluisitu ´e`alaligneietla colonne jquivaut 1.Onad on cpourA"M
m,n (K),A=(a ij m i=1 n j=1 a ij E ij Cettenotation pr´esentelamˆemeambigu¨ı t´equelapr´ec´edente.Sion seplace dansM
n (K)=M nn (K),onalar`egledemultiplicationsuivante: E ij E k! jk E i! ,o`u# jk1sij=k,
0sinon
estlesymboledeKronecke r.2Duald'une spacevectori el
•Soitn"N .NousnotonsD n (K)lesous-espacevectorieldeM n (K)constitu´e desmatr icesdiagonalesetS n (K)lesous-espacevectorieldeM n (K)constitu´edes matricessym´etriques: D n (K)=Vect({E ii ;i"[1,n] N })etS n (K)={A"M n (k); t A=A}.Nousnoton sGL
n (K)legroupedesmatricesinversiblesdeM n (K): GL n (K)={A"M n (K);de t(A)#=0}. •SiEetFsontdesK-espacesvectoriels,alo rsL(E,F)estunespacevectorielde dimensionfinieetdim(L(E,F))=d im( E)$dim(F).SoientB=(e
1 ,...,e m ),un ebasedeEet(f 1 ,...,f n )unebasedeF.Atoute B,B !(T)"M n,m (K) relativementauxbasesBetB .Pard´efinition: A=Mat B,B !(T)%&j"[1,m] N T(e j n i=1 a ij f i1.2.Espa cedual
Onap pelleformelin´e airesurEtouteapplic ationlin´eairedeEdansK.Ona ppelleespacedualdeE,not´eE
Ona don cE
=L(E,K)et$"E signifieque$estunea pplication deEdansKtelle que:&(x,y)"E 2 $(x+y)=$(x)+$(y)et&x"E&!"K$(!x)=!$(x).1.2.2.Exemples.
a)L' applicationdeEdansK,qui`atoutvecteurx"Eassocielescalaire0"Kest unefo rmelin´eaire,app el´eeformenullesurE. b)SiE=C([a,b],R),l 'applicationf'() b a f(t)dtestunef ormelin´ea iresurE. c)Si Eestl'esp acevectorieldessuitesder ´eelsconvergentes,alorsu'()lim n%&+' u n estunef ormelin´ea iresurE. d)SiE=K[X],po urtouta"K,l'applicationP'()P(a)estuneformelin´eaire surE. e)Si E=M n (K),la traceTr, qui`aA=(a ij )"EassocieTr(A)= n i=1 a ii ,estune formelin´e airesurE.Espacedual3
f)So ientEunes pacevectorieldedim ensionfinieetB=(e i i=1···n unebas edeE.Tout vecteurx"Esed´ ecomposedemani`ereuniquesurla baseB,enx= n i=1 i e i .Pour toutj"[1,n] N ,l'applicatione j :x'()! j estunef ormelin´ea iresurE,appel´ee j `eme -formecoordon n´eerelative`alabaseB. g)Si E=R 3 ,l'applicationqui`a(x,y,z)"Eassocie2x+3y(5zestunef orme lin´eairesurE. Plusg´en´er alementonalapropositionsuivante :1.2.3.Proposition.Soitn"N
(i)Fixons(a 1 ,...,a n )"K n etcon sid´eronsl'application$deK n dansKqui`ato ut x=(x 1 ,...,x n )"K n ,associelescalaire$(x)=a 1 x 1 +a 2 x 2 +···+a n x n .Alors$ estunef ormelin´ea iresurK n n ,ilexisteununiquen-uplet (a 1 ,...,a n )"K n telquep ourtoutx=(x 1 ,...,x n )"K n ,onait%(x)= n i=1 a i x iPreuve.(i)PourtousxetydansK
n ,onax+y=(x 1 +y 1 ,...,x n +y n )etdonc $(x+y)= n i=1 a i (x i +y i n i=1 (a i x i +a i y i n i=1 a i x i n i=1 a i y i =$(x)+$(y). Ond´ emontredemˆemequepourtout!"K,ona$(!x)=!$(x). (ii)Soit(" 1 n )labasecanoniquedeK nUnicit´edun-uplet(a
1 ,...,a n )"K n :Supposonsquepourtoutx=(x 1 ,...,x n )"K n onait %(x)= n i=1 a i x i .Alorspourtoutj"[1,n] N ,ona%(" j )=a jExistence:Pourtoutj"[1,n]
N ,posonsa j j ).Pourtoutx=(x 1 ,...,x n )"K n onax= n i=1 x i i ,d'o`u%(x)= n i=1 x iquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13[PDF] forme bilinéaire exemple
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