[PDF] Numération et Logique MLJ2E220

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Num

´eration et Logique MLJ2E220

R. Lachi

`eze-Rey

Universit

´e Paris Descartes

Poly de G. Koepfler et R. Lachi

`eze-Rey

L1 2016-2017

R. Lachi`eze-Rey(Planning)L1 2015-2016 1

Planning

Les cours ont lieu les mercredi de

17h30 `a19h en

BINET Les travaux dirig

´es en fonction de votre groupe...

V ´erifiezr ´eguli`erementles inf ormationssur la page Moodle du cours et sur lesaffichagesdusecr ´etariatR. Lachi`eze-ReyIntroduction(Modalit´es de contrˆole)L1 2015-2016 2

Modalit

´es de contrˆoleTrois notes de contr

ˆole continu :CC1 : le13 marsCC2 : enavrilQuizz de 10 min : En TD, il est important d"

ˆetre dans votre groupe

de TD - on garde les 3 meilleures notesCoefficients

CC1 :Coef 1

Quizz : Coef 1 (+1 ou +2 note de participation)

CC2 : Coef 2

R. Lachi`eze-ReyIntroduction(Plan de la premi`ere partie)L1 2015-2016 3

Plan de la premi

`ere partie1Histoire 2Unit

´es de mesure3Repr

´esentation de nombres entiers et rationnels4Conversion entre bases 5Repr

´esentation de nombres entiers en machine6Repr

´esentation de nombres r´eels en machine7Calcul modulaire R. Lachi`eze-ReyIntroduction(Plan de la deuxi`eme partie)L1 2015-2016 4

Plan de la deuxi

`eme partie8Introduction au calcul des propositions

9Sous formules. Formes normales

10Alg `ebre de Boole11Table de Karnaugh

12Circuits logiques

13Notation polonaise

14Arbres de Beth. D

´eductionsR. Lachi`eze-ReyIntroduction(Objectifs du module)L1 2015-2016 5

Objectifs du module

Comprendre les principes de la num

´eration, les repr´esentations

des nombres en machine et les limites de ces repr ´esentationsComprendre la logique des propositions et ses applications aux d ´eductions et circuits logiquesR. Lachi`eze-ReyIntroduction()L1 2015-2016 6

Instruments de calcul

Boulier (1100- );

R `egle`a calcul (1650-1970);Machine `a additionner,`a multiplier, p. ex. la "Pascaline" de Blaise Pascal (1642);Machines

´electroniques,Z3 (1938),ENIAC (1946);

Calculatrice (scientifique) de poche

´electronique (1972);Ordinateur personnel (1978).

Dans ce cours on n"utilisepas de calculatrice.

On s"int

´eresse aux fondements th´eoriques!

Voirhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Instrument_de_calculR. Lachi`eze-ReyHistoire()L1 2015-2016 8 ENIAC, Univ. de Pennsylvanie (1946-55), 30 tonnes sur 167m2.

Nombres sign

´es de 10 chiffres : 5:000 additions simples/seconde,

357 multiplications/sec, 38 divisions/sec.(sourceWikipedia).R. Lachi`eze-ReyHistoire(Commenc¸ons par "compter")L1 2015-2016 9

Commenc¸ons par "compter"

La notion de nombre : un, deux, ...?beaucoup!

Sans aide "technologique", les animaux, homme compris, ne peuvent pas vraiment compter au-del `a de 6 ou 7... (cf exp´erience des oiseaux dans la tour)Dans une ancienne tribu br

´esilienne, on compte jusqu"`a 2!

Tous les nombres au dessus sont nomm

´es "booltha" (beaucoup).R. Lachi`eze-ReyHistoire(Appariement et grandeur relative de deux collections)L1 2015-2016 10

Appariement et grandeur relative de deux collections Sans savoir compter, l"homme sait si deux collections ont la m

ˆeme

taille, gr

ˆace`a la technique d"appariementd"objets :

Par exemple, il peut faire une entaille sur un b

ˆaton pour chaque

brebis dans un troupeau, ou pour chaque membre de sa tribu. Ca lui permettra de mesurer les variations d"un jour sur l"autre R. Lachi`eze-ReyHistoire(Rep`eres de d´enombrement)L1 2015-2016 11 Rep `eres de d´enombrement

On s"int

´eresse dor´enavant au moyens de comptage ou de d ´enombrement. Pour cela on peut :faire des entailles sur un os, sur une branche ou des noeuds sur des cordelettes, ...utiliser un rep `ere corporel´evident : la main ou si besoin, les deux mains, les pieds, la t ˆete, ...R. Lachi`eze-ReyHistoire(Le nombre et ses symbolisations)L1 2015-2016 12

Le nombre et ses symbolisations

Petit `a petit, des "noms" et symboles apparaissent pour les nombres.

Ce sont des concepts abstraits, s

´epar´es des objets qu"ils d´enombrent.Symbolisationsfiguratives : geste de la main, noeuds de

cordelette, entailles de l"os et autres objets concrets appari ´es;Symbolisationsverbales : noms intuitifs (main) ou mots d

´etach´es

de l"intuition (cinq);Symbolisations´ ecrites:

Notations f ond

´ees sur l"intuition visuelle

par exemple-Utilisation de l"initiale du nom du nombre : par exempleCetMchez les romains;

Chiffres : symboles d

´etach´es de toute intuition visuelle directe :

3, 5, 6, ...

R. Lachi`eze-ReyHistoire(Exemple de repr´esentation des quantit´es en M´esopotamie)L1 2015-2016 13

Exemple de repr

´esentation des quantit´es en

M

´esopotamieFin du IV

`eme mill´enaire avant notre`ere en M´esopotamie on trouve des marques faites en creux dans l"argile avec les significations :Sauriez-vous lire ce nombre?

3600+36000+10+10+10+10+60+600+1+1+1=40303R. Lachi`eze-ReyHistoire(Remarques)L1 2015-2016 14

Remarques

Les symboles de num

´eration correspondent`a des multiplications

entre eux par 6 et par 10

60=610;600=1060;3600=6600;

36000=360010=6060Un nombre entier est d

´ecompos´e en multiples de 36000,

le reste en multiples de 3600 puis le reste en multiples de 600, ...La position des symboles n"a aucune importance. R. Lachi`eze-ReyHistoire(Notion de base)L1 2015-2016 15

Notion de base

Selon les civilisations, le nombre cl

´e de la num´eration a vari´e :

60 pour le sSum

´eriens

5 en Am

´erique du Sud, en Afrique

10 chez les Chinois et les Indiens

12 en Eur opedans le syst

`eme anglais : 12 pouces dans un pied,

12 pence dans un shilling

20 chez les Ma yas,au J apon,en Europe ,. ..(quatre-vingt)Le 10 perdure dans le syst

`eme d´ecimal actuel; le 60 dans le nombre de minutes/secondes et la mesure d"angles en degr ´es 660=360;R. Lachi`eze-ReyHistoire(Principe d"additivit´e)L1 2015-2016 16

Principe d"additivit

´e

Le nombre de symboles est r´eduit

et on r

´ep`ete autant de fois que n´ecessaire ...

Il suffit de faire une sommeFastidieux pour les grands nombresExemple:

Ce principe a perdur

´e dans la notation en chiffres romains

o `u l"on a aussi une variante soustractive. Ainsi

MMMCCLVIII=3258;MMMCDXLIV=3444:R. Lachi`eze-ReyHistoire(Principe multiplicatif ou de position)L1 2015-2016 17

Principe multiplicatif ou de position

Principe d

´ecouvert`a plusieurs reprises dans des cultures diff´erentes :A Babylone (II `eme mill´enaire avant notre`ere)En Chine (Ier si `ecle avant notre`ere)

Par exemple 1987 s"

´ecritet 2026 s"

´ecritNotez le blanc/vide pour signifier l"absence,i.e. le "0".

En Inde (vers le V

`eme si`ecle apr`es JC)Chez les Mayas (IV

`eme au IX`eme si`ecle ap. JC)R. Lachi`eze-ReyHistoire(Exemple de num´eration de position)L1 2015-2016 18

Exemple de num

´eration de positionOn utilise la base 10

Il y a dix chiffres de 0

`a 9, on ajoute 1

`a gauche du z´ero pour repr´esenter dix objets.On obtient ainsi 10, ..., 99, ensuite 100, ..., 999, ...

Un nombre comme "7659" est d

´ecompos´e en

71000+6100+510+9

et

´ecrit au d´epart

7 1000 6 100 5 10 9Petit

`a petit, la notation explicite du rang des unit´es disparaˆıtra.R. Lachi`eze-ReyHistoire(La num´eration " moderne ")L1 2015-2016 19

La num

´eration " moderne "Si l"Inde est consid

´er´ee comme berceau de la num´eration

moderne, cette culture est arriv

´ee`a travers les arabo-musulmans

jusque dans l"occident chr ´etien vers le XI`eme si`ecle.C"est pourquoi nous parlons de "chiffresarabes " d"apr `es un usage´etabli vers le XV`eme si`ecle.La civilisation musulmane d

´eveloppera les math´ematiques et en

particulier le calculalg

´ebriquei.e. la technique der

´eduction des

calculs.

R. Lachi`eze-ReyHistoire()L1 2015-2016 20

Unit ´es de mesures en informatiqueUnBit(abr´eviation deBInarydigiT)

C"est la plus petite quantit

´e d"information qui ne peut prendre que

deux valeurs 0 ou 1, respectivement "faux" ou "vrai".

Pour repr

´esenter physiquement une information binaire on peut utiliser la polarisation magn ´etique, le courant´electrique, l"intensit´e lumineuse, ... On

´ecrit 1b.UnOctet(byte en anglais) est compos

´e de 8 bits :

01100010

On ´ecrit 1o. Les octets sont utiles pour exprimer des quantit´es de donn

´ees.

Note : un octet peut repr

´esenter 28=256 informations diff´erentes.R. Lachi`eze-ReyUnit´es de mesure(Unit´es de mesures en informatique (suite))L1 2015-2016 22

Unit

´es de mesures en informatique (suite)

En informatique, les pr

´efixeskilo,m´ega,giga,

2

10=1024;220=210210;230=210210210:

et non pas les puissance de 10 (10

3=1000, 106=103103,...)

utilis

´ees dans leSyst

`emeinternationald"unit

´es (SI).1 Kilooctet (Ko) vaut 2

10=1024 octets1 M

´egaoctet (Mo) vaut 1024 Ko, soit 220octets1 Gigaoctet (Go) vaut 1024 Mo, soit 2

30octetsAttention: ceci est en contr adictiona vecles recommandations de la

Commission´

electrotechniqueinternationale (IEC) qui pr

´econise

depuis 1999 l"utilisation despr´efixes binaires!R. Lachi`eze-ReyUnit´es de mesure(Pr´efixes binaires et pr´efixes d´ecimaux)L1 2015-2016 23

Pr

´efixes binaires et pr´efixes d´ecimaux

Pr ´efixes binaires (pr´efixes CEI)Nom Symb. Facteur kibi Ki 2

10=1 024m

´ebi Mi 220=210210gibi Gi 2

30t

´ebi Ti 240p

quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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