[PDF] STAGE OLYMPIQUE DE MONTPELLIER 2013

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STAGE OLYMPIQUE DE MONTPELLIER 2013

Du 19 au 29 août 2013

Avant-propos

Le stage de Montpellier a été organisé par l"association Animath. Son objet a été de rassembler des jeunes passionné-e-s par les mathématiques et de les faire travailler sur des exercices en vue de la formation des équipes qui représenteront la France à plusieurs compétitions internationales, à savoir l"Olympiade Internationale de Mathématiques en Afrique du Sud en juillet 2014, l"Olympiade Balkanique de Mathématiques en mai 2014, les Olympiades Européennes pour Filles en Turquie en avril 2014 ainsi que les Olympiades Balkaniques Junior de Mathématiques en Macédoine en juin 2014.

Une attention particulière a été apportée au recrutement de collégien-ne-s brillant-e-s en vue

de les préparer aux Olympiades Internationales pendant plusieurs années. Nous tenons à remercier l"Internat d"Excellence de Montpellier pour son excellent accueil.

Les Animatheux

Céline Abraham Samuel Bach Razvan Barbulescu Pierre Bertin Margaret Bilu Thomas Budzinski Guillaume Vincent Jugé Igor Kortchemski Joon Kwon

Conchon-KerjanMatthieu Lequesne François Lo Jacomo Jean-François Martin Roxane Morel Vincent Mouly

Louis Nebout Victor Quach

5

Les élèves

Julien Alamelle Etienne Apers Noélie Bacq Thibault Bajodek Henry Bambury Augustin Bariant Sébastien Baumert Moïse Blanchard Solange Boucheron Vincent Bouis Pierre Bras Félix Breton Pablo Bustillo Nicolas Champseix Louis Charnavel Elodie Cholieu Pierre Clarou Guillaume Clisson Baptiste Collet Edwige Cyffers 6 Colin Davalo Timothée Defourne Morine Delhelle Julie Devaux Clara Ding Matthieu Dolbeault Antoine Dupuis Thibault Romain Fouilland Marc Ganet Fay de LestracOlivier Garçonnet Charles Gassot Solène Gomez Ilyes Hamdi Yassine Hamdi Maxence Lagarde Marc Lamberet Paul Laubie Julie Lauquin Adrien Lemercier 7 Jérémy Lengelé Félix Lequen Clément Lezane Adrien Lopez Charles Madeline-DerouChristian Michon Marc Michoux Arthur Nebout Florent Noisette Cédric Ollivier Tobias Parker Eva Philippe Myriam Qrichi Aniba Raphaël Ruimy Pascal Sedlmeier Thomas Sepulchre Antoine Séré Adam Siegel Elie Studnia Alexandre Thiault

Arthus Vanet Lucie Wang

8

Table des matières

I Déroulement du stage

15

II Première période

17

1 Groupe A : stratégies de base

18

1 Cours de stratégies de base : principe des tiroirs, invariants

18

2 Cours/TD de stratégies de base

22

3 Cours de logique

26

4 TD de stratégies de base

40

2 Groupe B : stratégies de base

44

1 Cours de logique

44

2 Cours/TD de stratégies de base : coloriages, invariants

44

3 Cours de stratégies de base

48

4 TD de stratégies de base

58

3 Groupe C : géométrie

60

1 Cours de géométrie

60

2 Cours/TD de géométrie : similitudes

87

3 TD de géométrie : barycentres

101

4 Groupe D : arithmétique

113

1 Cours d"arithmétique : structure deZ=nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

2 TD d"arithmétique

119

3 Cours/TD d"arithmétique

121

III Deuxième période

127

1 Groupe A : algèbre

128

1 Cours d"algèbre : développements, factorisations, combinatoire

128

2 TD d"algèbre

134

2 Groupe B : algèbre

137

1 Cours d"algèbre : techniques de calcul, coefficients binomiaux, inégalités

137

2 TD d"algèbre

141

3 Groupe C : polynômes

151

1 Cours de polynômes

151

2 TD de polynômes

177

4 Groupe D : géométrie

181

1 Cours/TD de géométrie : inversions

181

2 Cours de géométrie

189

3 Géométrie projective

195
11

IV Test de mi-parcours209

1 Groupe A

210

1 Énoncés

210

2 Solutions

210

2 Groupe B

212

1 Énoncés

212

2 Solutions

212

3 Groupe C

214

1 Énoncés

214

2 Solutions

214

4 Groupe D

218

1 Énoncés

218

2 Solutions

218

V Troisième période

221

1 Groupe A : géométrie

222

1 Cours de géométrie : chasse aux angles, puissance d"un point

222

2 TD de géométrie

229

3 Cours/TD de géométrie : transformations

238

2 Groupe B : géométrie

247

1 Cours de géométrie

247

2 TD de géométrie

250

3 Cours/TD de géométrie

256

3 Groupe C

257

1 Cours d"arithmétique

257

2 TD d"arithmétique

260

3 Cours/TD d"arithmétique

263

4 Inégalités

266

4 Groupe D

272

1 Cours de combinatoire : graphes finis et infinis

272

2 TD de combinatoire

279

3 Cours/TD de combinatoire

285

4 Polynômes

296

VI Quatrième période

299

1 Groupe A : arithmétique

300

1 Cours/TD d"arithmétique

300

2 Cours d"arithmétique

302

3 TD d"arithmétique

304

2 Groupe B : arithmétique

307

1 Cours/TD d"arithmétique

307

2 Cours d"arithmétique

309

3 TD d"arithmétique

311

3 Groupe C : équations fonctionnelles

316

1 Cours d"équations fonctionnelles

316

2 TD d"équations fonctionnelles

316

4 Groupe D : inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

1 Cours d"inégalites

321

2 TD d"inégalités

328

VII Test de fin de parcours

337

1 Groupe A

338

1 Énoncés

338

2 Solutions

338

2 Groupe B

340

1 Énoncés

340

2 Solutions

340

3 Groupe C

342

1 Énoncés

342

2 Solutions

342

4 Groupe D

344

1 Énoncés

344

2 Solutions

345

VIIIDernière période

349

1 Groupe A

350

1 Théorie des graphes

350

2 Combinatoire

357

2 Groupe B

359

1 Fonctions

359

2 Théorie des graphes

361

3 Groupe C

362

1 Compter l"infini

362

2 Automates

367

4 Groupe D

379

1 Théorie de Galois

379

2 Probabilités

379

IX Les soirées

381

1 Conférence : la cryptographie, de vraies maths! (Razvan)

382

2 Présentation de compétitions mathématiques diverses

382

3 Présentation des différentes olympiades

397

4 Conférence : La théorie des jeux combinatoires (Louis)

398

X La Muraille

407

XI Solutions de la Muraille

421

XII Test de sélection du 4 juin 2013

435

XIIICitations mémorables

443

Chapitre I. Déroulement du stage

I. Déroulement du stage

Pour la deuxième année consécutive, le stage a eu lieu à l"Internat d"Excellence de Mont-

pellier, pendant dix jours (du 19 août vers midi au 29 août vers midi) avec plus de 60 élèves,

grâce à une nouvelle subvention de Cap" Maths, et malgré la diminution de la subvention du Ministère (DGESCO). Parmi les 270 candidats au test de sélection, nous en avons finalement

accepté 62, de 13 à 17 ans (âge moyen : 15,7 ans), dont 12 filles (en prévision des Olympiades

Européennes de Filles), 11 jeunes nés en 1999 (en prévision des Olympiades Balkaniques Ju- nior), et nous avons poursuivi notre effort de préparation sur plusieurs années. 17 animateurs

d"âge moyen inférieur à 25 ans - la plupart étant d"anciens stagiaires, six d"entre eux avaient

moins de vingt ans - ont assuré les 168+heures de cours, les soirées, les tests, la muraille, le

polycopié (plus de 400 pages : un record!)...

jours (20 - 23 août et 24 - 27 août), trois de cours et travaux dirigés, un test le matin du qua-

trième jour, de quatre heures pour le groupe D des avancés, de trois heures pour chacun des

autres groupes, et une visite de la ville l"après-midi de ce quatrième jour. Enfin, le mercredi

28 août, dernier jour du stage, était consacré à des cours non sanctionnés par un test, sur des

sujets un peu plus larges que la stricte préparation olympique. Les tests étaient corrigés le

soir même, les soirées étaient libres les veilles de tests ainsi que le dernier jour (soirée spéciale

sans contrôle d"heure de coucher). Le premier soir était une simple prise de contact, deux

conférences ont été proposées : " la cryptographie : de vraies mathématiques! » le 20 août et

"théorie des jeux combinatoires» le 25 août, ainsi que des présentations des compétitions ma-

thématiques : "des tournois pas comme les autres : ITYM et le TFJM» le 21 août et "Animath

et les Olympiades de Mathématiques» le 24 août. Comme l"an passé, l"horaire des repas était :

petit-déjeuner à 8 h, déjeuner à 12 h 30, dîner à 19 h, les soirées commençaient à 20 h 30 (y

compris la correction des tests) et les élèves devaient être couchés à 23 h 30, mais ce n"était pas

toujours le cas. Malgré des contrôles systématiques, nous n"obtenions pas que tous les élèves

soient au moins dans leur chambre avant minuit.

Le lundi 19 août, jour de l"arrivée, après la présentation du stage (14 h 30) au cours de

laquelle chaque stagiaire a reçu un nouveau tee-shirt, un bic Animath et deux DVD "Dimen-

sions » et " Chaos », chaque élève a été convoqué à une heure précise, entre 16 h et 18 h 20,

pour un entretien individuel de 20 mn avec un animateur. A partir de ces entretiens, quatre

groupes de niveaux ont été constitués. Contrairement à l"an passé, il n"y avait pas de "groupe

l"ensemble du stage vu qu"ils ne traitaient pas les mêmes sujets en même temps : les groupes

A et B de débutants (collège et lycée) commençaient par les stratégies de base, le groupe C par

la géométrie et le groupe D par l"arithmétique. Certains enseignants pouvaient ainsi assurer

deux ou trois cours de géométrie (par exemple) à différents groupes. Ces groupes étaient plus

15

Chapitre I. Déroulement du stage

équilibrés que l"an passé : 14 élèves en D, 20 en C, 19 en B et 9 en A. Certaines séances étaient

consacrées à des sujets différents des thèmes traditionnels : un cours de logique pour chacun

des groupes A et B, des cours de polynômes pour les groupes C et D, et surtout, le dernier jour, des cours sortant du cadre traditionnel (un sur les automates pour le groupe C et un sur la théorie de Galois pour le groupe D par exemple). Quelques liens utiles pour poursuivre le travail réalisé pendant ce stage :

Le site d"Anim ath:

http ://www .animath.fr

Le site MathLink s:

http ://www .mathlinks.ro Les polycopiés de stages olympiques précédents : http ://www.animath.fr/spip.php?article260 Les cours de l"Ol ympiadeFrançaise de Mathématiques : http ://www.animath.fr/spip.php?article255Groupe AGroupe BGroupe CGroupe D Lundi 19/08Arrivé, accueil des élèves et première évaluation

9h - 12hCours de stratégies de baseCours de logiqueCours de géométrieCours d"arithmétique

(Pierre)(Vincent J.)(Igor)(Louis)

Mardi14h - 17h+Cours/TD de stratégies de baseCours/TD de stratégies de baseTD de géométrieTD d"arithmétique

(François)(Razvan)(Jean-François)(Vincent M.)

20h30 -22hConférence : La cryptographie, de vraies maths! (Razvan)

9h - 12hCours de logiqueCours de stratégies de baseCours/TD de géométrieCours/TD d"arithmétique

(Vincent J.)(Igor)(Jean-François)(Razvan)

Mercredi14h - 17h+TD de stratégies de baseTD de stratégies de baseTD de géométrieCours/TD géométrie

(Guillaume)(Vincent M.)(Pierre)(Louis)

20h30 -22h30Présentation du TFJM

2et de l"ITYM9h - 12hCours d"algèbreCours d"algèbreCours de polynômesCours de géométrie

(Roxane & Matthieu)(Margaret)(Igor)(François) Jeudi14h - 17h+TD d"algèbreTD d"algèbreTD de polynômesTD de géométrie (Vincent M.)(Guillaume)(Pierre)(Jean-François)

20h30 - 21h 30Soirée libre

9h - 12hTest

VendrediAprès-midiVisite de Montpellier

20h30 - 21h 30Correction du Test

Samedi9h - 12hCours de géométrieCours de géométrieCours d"arithmétiqueCours de combinatoire

(Pierre)(François)(Samuel)(Vincent J.)

14h - 17h+TD de géométrieTD de géométrieTD d"arithmétiqueTD de combinatoire

(Igor)(Louis)(Céline)(Victor)

20h30 - 21h 30Présentation des différentes olympiades internationales

9h - 12hCours/TD de géométrieCours/TD de géométrieCours/TD d"arithmétiqueCours/TD de combinatoire

(Thomas)(Roxane & Matthieu)(François)(Margaret)

Dimanche 25/0814h - 17h+Cours/TD d"arithmétiqueCours/TD d"arithmétiqueInégalitésPolynômes

(Victor)(Joon)(Guillaume)(Samuel)

20h30 - 21h 30Conférence : La théorie des jeux combinatoires (Louis)

9h - 12hCours d"arithmétiqueCours d"arithmétiqueCours d"éq. fonctionellesCours d"inégalités

(Louis)(Thomas)(Jean-François)(Joon)

Lundi14h - 17h+TD d"arithmétiqueTD d"arithmétiqueTD d"éq. fonctionnellesTD d"inégalités

(Céline)(Vincent J.)(Guillaume)(Margaret)

20h30 - 21h 30Soirée libre

9h - 12hTest

MardiAprès-midiAutre visite de Montpellier

20h30 - 21h 30Correction du Test

9h - 12hThéorie des graphesFonctionsDénombrabilitéThéorie de Galois

(Margaret)(François)(Louis)(Samuel) Mercredi14h - 17h+FonctionsThéorie des graphesAutomatesProbabilités (Thomas)(Joon)(Vincent J.)(Igor)

20h30 - 21h 30Soirée/nuit libre

JeudiMatinéeBrunch puis départ16

Chapitre II. Première période

II. Première période

Contenu de cette partie1 Groupe A : stratégies de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1 Cours de stratégies de base : principe des tiroirs, invariants

18

2 Cours/TD de stratégies de base

22

3 Cours de logique

26

4 TD de stratégies de base

40

2 Groupe B : stratégies de base

44

1 Cours de logique

44

2 Cours/TD de stratégies de base : coloriages, invariants

44

3 Cours de stratégies de base

48

4 TD de stratégies de base

58

3 Groupe C : géométrie

60

1 Cours de géométrie

60

2 Cours/TD de géométrie : similitudes

87

3 TD de géométrie : barycentres

101

4 Groupe D : arithmétique

113

1 Cours d"arithmétique : structure deZ=nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

2 TD d"arithmétique

119

3 Cours/TD d"arithmétique

121 17

Chapitre II. Première période 1. Groupe A : stratégies de base 1

Groupe A : stratégies de base

1 Cours de stratégies de base : principe des tiroirs, invariants -Principe des tiroirs- S"il y a(n+1)chaussettes à ranger dansntiroirs, alors il existe au moins un tiroir qui contient au moins deux chaussettes.

Exercice

1 On colorie tous les points du plans en rouge et noir. Montrer qu"il existe deux

points de la même couleur distants de 1 mètre exactement.

Exercice

2 Dans un internat à Montpellier, il y a 62 stagiaires. Certains se connaissent, et

d"autres pas. On suppose que siAconnaîtBalorsBconnaîtA. Montrer qu"il existe deux stagiaires qui connaissent exactement le même nombre de personnes.

Exercice

3 Un être humain possède entre 0 et 500000 cheveux. Montrer qu"il y a deux Mont-

pelliérains qui ont exactement le même nombre de cheveux.

Exercice

4 Soitxun nombre réel. Montrer qu"il existe une infinité de fractionspq

telles que x-pq <1q 2.

Exercice

5 On place 201 points sur un damier 10 cm10 cm. Montrer que l"on peut trouver 3

points qui forment un triangle d"aire inférieure à 0.5 cm 2.

Exercice

6 On place 5 points sur un grille. Montrer que l"on peut en trouver deux parmi eux

qui forment un segment dont le milieu est lui aussi sur la grille :AB CDEAB CDE -Invariants-

Exercice

7 Trente-six ampoules sont rangées en grille 66. On dispose de un interrupteur

pour chaque ligne, qui quand il est utilisé éteint toutes les ampoules allumées de la ligne et

allume les éteintes. De même il y a un interrupteur pour chaque colonne. Igor affirme : "quand

je suis arrivé il y avait exactement une ampoule allumée, mais après avoir manipulé certains

interrupteurs j"ai réussi à toutes les éteindre". Qu"en pensez-vous? 18 Chapitre II. Première période 1. Groupe A : stratégies de base

Exercice

Exprimer en fonction deNle nombre de pavage d"un échiquier auquel on a retiré deux coins opposés par 31 dominos.

Exercice

9 On fait un jeu : on commence avec une pile de 2013 jetons. On retire un jeton, puis

on coupe la pile en deux petites piles (pas forcément égales). À chaque étape on enlève un

jeton à l"une des piles et on coupe une pile en deux (pas forcément la même). Le but du jeu est

d"arriver à une configuration où toutes les piles sont hautes de 3 jetons, est-ce possible? (Si on

retire un jeton à une pile de 1 jeton, on considère qu"on a une pile de 0 jetons)

Exercice

10 Vingt-deux arbres sont disposés en rond. Sur chaque arbre se pose un corbeau.

À chaque minute, deux corbeaux s"envolent de leurs arbres et se posent sur un arbre voisin. Est-il possible qu"après un certain temps tous les corbeaux soient sur le même arbre?

Exercice

11 On considère un triplet de nombres réels(a,b,c). On peut effectuer l"action sui-

vante : on choisitxetydeux des nombres du triplet et on les remplace par(x-y)=p2 et (x+y)=p2. Peut-on passer du triplet initial(2,p2,1=p2)au triplet final(1,p2,1+p2)?

Exercice

12 Sur une île vivent 34 caméléons. Au départ 7 sont jaunes, 10 sont verts et 17 sont

rouges. Lorsque deux caméléons de couleurs différentes se rencontrent, ils prennent tous les

deux la troisième couleur. Si deux caméléons de la même couleur se rencontrent, rien ne se

passe. Un an plus tard ils sont tous de la même couleur. Laquelle? (Démontrez que c"est la seule possible).

Exercice

13 Un tetramino est une figure formée de 4 carrés (pensez à Tetris). Trouvez le

nombremde tetramino distincts (on dit que deux tetraminos sont identiques si on peut les superposer en les faisant pivoter mais sans les retourner). Est-il possible de paver un rectangle

4mavec un tetramino de chaque sorte?

Exercice

14 (Un Solitaire Infini)(?) Vous connaissez tous les règles du solitaire : il y a des billes

on considère le plan et on place des billes sur tous les points entiers du demi-plan négatif. Le

but du jeu est de mettre une bille le plus haut possible en un nombre fini de coups. Le dessin montre comment mettre une bille à hauteur 1. Quelle est la hauteur maximale que l"on peut atteindre?-Solutions des exercices-

Solution de l"exercice

1 On prend trois points qui forment un triangle equilatéral de côté 1. Il y

a 3 points qui peuvent être de deux couleurs différentes. Il y a donc au moins deux points de la même couleur. 19 Chapitre II. Première période 1. Groupe A : stratégies de base

Solution de l"exercice

2 Définissons nos chaussettes et nos tiroirs : les chaussettes sont les 62 sta-

giaires, et les tiroirs correspondent au nombre de gens connus. Chacun connaît entre entre 0 et le monde et quelqu"un d"autre ne connaisse personne : si quelqu"un connaît tout le monde, alors tout le monde le connaît et du coup tout le monde connaît au moins une personne. Ainsi

on ne peut utiliser que 61 tiroirs, il y a donc deux élèves qui connaissent le même nombre de

personnes.

Solution de l"exercice

3 C"est une simple application du principe des tiroirs.

Solution de l"exercice

4 Tout d"abord on multiplie les deux côtés de l"inégalité parq:

jqx-pj<1q Pour choisirpc"est évident, il faut prendre l"entier le plus proche deqx. Nous allons démon-quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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