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Calcul Structure Bâtiment Page Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www csb bet 13/93 4 Hypothèses du cours de R D M 4 1 Réponse exercice [ 10 ]
Comment calculer la résistance de matériaux ?
En introduisant le moment d'inertie de surface : on exprime la variation de courbure due au moment fléchissant par 1/? = M/EI. La contrainte s'en déduit immédiatement par la relation ? = ? (M/I)y.Comment calculer la contrainte en RDM ?
A la contrainte normale ?=My/I s'ajoute des contraintes tangentielles. Déformée et calcul des fl?hes : sous l'effet des forces qui lui sont appliquées une poutre se déforme. On appelle fl?he à l'abscisse x le déplacement vertical du centre de gravité de la section relative à cette abscisse.Quelle sollicitation est soumise la poutre ?
Une poutre est sollicitée en traction simple ( en compression ) lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées, appliquées au centre des surfaces extrêmes, qui tendent à l'allonger ( à la raccourcir).- But de la résistance des matériaux
La résistance des matériaux est l'étude de la ré déformation des solides. Elle permet de définir les formes, les dimensions et les matériaux des pi?s mécaniques de façon à maîtriser leur résistance, leur déformation tout en optimisant leur coût.
RDM 1ère année ENTPE
Résistance des matériaux Ȃ partie 1
Corrections des exercices
Boris TEDOLDI
Ingénieur structure
2 chemin des maisonnettes BP19
39150 SAINT LAURENT EN GDX
http://www.csb.betBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 2/931. Rappels de MMC utiles en RDM ....................................................... 4
1.1 Réponse exercice [ 1 ] ...................................................................................... 4
1.2 Réponse exercice [ 2 ] ...................................................................................... 6
1.3 Réponse exercice [ 3 ] ...................................................................................... 7
1.4 Réponse exercice [ 4 ] ...................................................................................... 8
1.5 Réponse exercice [ 5 ] ...................................................................................... 9
1.6 Réponse exercice [ 6 ] ...................................................................................... 9
1.7 Réponse exercice [ 7 ] .................................................................................... 10
1.8 Réponse exercice [ 8 ] .................................................................................... 11
3. Définitions ........................................................................................ 12
3.1 Réponse exercice [ 9 ] .................................................................................... 12
4. Hypothèses du cours de R.D.M. ..................................................... 13
4.1 Réponse exercice [ 10 ] .................................................................................. 13
4.2 Réponse exercice [ 11 ] .................................................................................. 15
5. ...................................................... 16
5.1 Réponse exercice [ 12 ] .................................................................................. 16
5.2 Réponse exercice [ 13 ] .................................................................................. 18
5.3 Réponse exercice [ 14 ] .................................................................................. 19
5.4 Réponse exercice [ 15 ] .................................................................................. 20
6. Calculs des diagrammes de sollicitations ..................................... 22
6.1 Réponse exercice [ 16 ] .................................................................................. 22
6.2 Réponse exercice [ 17 ] .................................................................................. 23
6.3 Réponse exercice [ 18 ] .................................................................................. 25
6.4 Réponse exercice [ 19 ] .................................................................................. 26
6.5 Réponse exercice [ 20 ] .................................................................................. 26
6.6 Réponse exercice [ 21 ] .................................................................................. 27
6.7 Réponse exercice [ 22 ] .................................................................................. 29
6.8 Réponse exercice [ 23 ] .................................................................................. 31
6.9 Réponse exercice [ 24 ] .................................................................................. 34
6.10 Réponse exercice [ 25 ] .......................................................................... 37
6.11 Réponse exercice [ 26 ] .......................................................................... 41
6.12 Réponse exercice [ 27 ] .......................................................................... 44
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 3/936.13 Réponse exercice [ 28 ] .......................................................................... 47
6.14 Réponse exercice [ 29 ] .......................................................................... 48
6.15 Réponse exercice [ 30 ] .......................................................................... 48
6.16 Réponse exercice [ 31 ] .......................................................................... 50
7. Tracé direct des diagrammes de sollicitations ............................. 51
7.1 Réponse exercice [ 32 ] .................................................................................. 51
7.2 Réponse exercice [ 33 ] .................................................................................. 54
7.3 Réponse exercice [ 34 ] .................................................................................. 57
7.4 Réponse exercice [ 35 ] .................................................................................. 59
7.5 Réponse exercice [ 36 ] .................................................................................. 61
7.6 Réponse exercice [ 37 ] .................................................................................. 65
8. - iso/hyperstaticité ..................................... 72
8.1 Réponse exercice [ 38 ] .................................................................................. 72
9. Caractéristiques des sections droites ........................................... 74
9.1 Réponse exercice [ 39 ] .................................................................................. 74
9.2 Réponse exercice [ 40 ] .................................................................................. 77
9.3 Réponse exercice [ 41 ] .................................................................................. 82
9.4 Réponse exercice [ 42 ] .................................................................................. 88
9.5 Réponse exercice [ 43 ] .................................................................................. 88
9.6 Réponse exercice [ 44 ] .................................................................................. 91
9.7 Réponse exercice [ 45 ] .................................................................................. 92
9.8 Réponse exercice [ 46 ] .................................................................................. 92
9.9 Réponse exercice [ 47 ] .................................................................................. 92
9.10 Réponse exercice [ 48 ] .......................................................................... 92
9.11 Réponse exercice [ 49 ] .......................................................................... 93
9.12 Réponse exercice [ 50 ] .......................................................................... 93
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 4/931. Rappels de MMC utiles en RDM
1.1 Réponse exercice [ 1 ]
Après analyse :
1a) En fonction du poids de la masse P et de la section du barreau S, la contrainte dans le barreau est : ߪOr ܵ
Et ܲൌ-- ൈͳ-ൌ--- ܰ
Ainsi loi de comportement : ߝ ͳΨ՜ ߪൌͷߝDonc ߝ
b) Par définition ߝ 2)Ce qui correspond à la force
de 39,3 kg . 3a) ortement : ͳΨߝ ͷΨ՜ ߪൎ-ǡ--ͷߝ Donc b) c)Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 5/93 bleue et verte sont homothétiques : DoncAprès déchargement de la masse de 40 kg, le barreau conserve un allongement définitif de
3,2cm, ainsi sa longueur devient égale à 203,2 cm.
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 6/931.2 Réponse exercice [ 2 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 7/931.3 Réponse exercice [ 3 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 8/931.4 Réponse exercice [ 4 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 9/931.5 Réponse exercice [ 5 ]
1.6 Réponse exercice [ 6 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 10/931.7 Réponse exercice [ 7 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 11/931.8 Réponse exercice [ 8 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 12/933. Définitions
3.1 Réponse exercice [ 9 ]
1) La ligne (CF) est la fibre moyenne
2) La ligne (BE) est la fibre supérieure (attention au sens du vecteur ݕԦ)
3) La ligne (AD) est la fibre inférieure
4)5) s de la ligne (AD).
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 13/934. Hypothèses du cours de R.D.M.
4.1 Réponse exercice [ 10 ]
En supposant la loi de comportement réaliste du matériau suivante : En supposant que la force F1 induit la déformation İ1, la contrainte ı1 vaut :La loi de Hooke donne :
Avec E le module de Young du
Matériau
En supposant que la force F2 induit la déformation İ2, la contrainte ı2 vaut :La loi de Hooke donne :
Avec E le module de Young du
Matériau
Ainsi, 1 et de F2 produit une déformation égale à İ1 + İ2, et la contrainte est :Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 14/93La loi de Hooke donne :
Avec E le module de Young du
Matériau
1 et F2 produit une contrainte égale à ı1 + ı2.
Nota principe de superposition.
Remarque :
linéaire (loi de Hooke) car la structure justifie transformations infinitésimales (en particulier les petites déformations dans notre exemple). transformations infinitésimales pas respectée, on aurait : e la R.D.M..Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 15/934.2 Réponse exercice [ 11 ]
Homogène Isotrope Linéaire b) Elastiqueb)
Béton OUI a)
OUI OUI OUI
Béton armé NONc) NONe) OUI OUI
Acier OUI OUI OUI OUI
Bois massif NONd) NONf) OUI OUI
Verre OUI OUI OUI OUI
a) En toute rigueur, la réponse est non car la présence de granulats par exemple dans sa composition rend ce matériau non homogène. Cependant, seul le comportement macroscopique est regardé donc le béton a un comportement relativement homogène. b) En tenan est non pour tous les matériaux c) d) . Pour un bois de bonne qualité, comme pour le béton, la réponse macroscopique peut être vu comme homogène. e) s dans toutes les directions.f) La direction des veines du bois est responsable de différence de résistance entre
directionRemarque : ces réponses sont générales. Certains bois par exemple peuvent présenter des
caractéristiques différentes.Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 16/93 5.5.1 Réponse exercice [ 12 ]
a) - la poutre peut glisser horizontalement, - la poutre peut pivoter au niveau des appuis - mais ne peut se déplacer verticalement.Ainsi les données de par :
b) ChargementsPoids propre de la poutre gpoutre :
La poutre a un volume égal à : ͵ൈగൈǡଵହ( sens de la sécurité. Ainsi pour le calcul ȡ = 1200 kg/m3 est pris en compte. Généralement, les charges réparties sont données par mètre linéaire, ainsi :Poids propre des chaines et du banc Gbanc :
Le poids propre des chaines et du banc est modélisé par 2 forces ponctuelles situées à 30 cm
des appuis. Le poids propre étant égal à 25 kg, les deux forces ponctuelles ont pour valeur 12,5
kg chacune.Poids de la neige sur le banc Qneige,banc :
ȡneige
= 150 kg/m3 est pris en compte. La hauteur de chute de neige est égale à 0,2 mLe poids propre de la neige sur le banc est alors égal à : -ǡ-ൈͳǡ-ൈͳͷ-ൌ͵ ݇݃
Le poids propre étant égal à 36 kg, les deux forces ponctuelles ont pour valeur 18 kg chacune
situées au niveau des attaches des chaines.Poids de la neige sur la poutre qneige,poutre :
La neige sur la poutre peut être visualisée par la coupe transversale suivante :Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 17/93 Ainsi, bien que la poutre soit ronde, le poids de la neige reste équivalent au poids de la neige tombée sur une planche plane de largeur de 15 cm. La hauteur de chute de neige est égale à 0,2 m La masse volumique de la neige est prise égale à ȡneige = 150 kg/m3. Ainsi, la force répartie équivalente est égale à : c) Résultat de la modélisation On multipliera par 10 tous les résultats précédents pour avoir des résultats en N.Remarque 1 :
Concernant les unités, en physique :
- Les forces sont en N - Le poids est une force on peut très bien parler de poids (ou de forces) en kg !Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 18/93Remarque 2 :
Concernant les notations :
- G ou g désignent les charges permanentes (poids propre par exemple) (neige par exemple).De plus, les forces ponctuelles sont écrites en majuscules (ex : G ou Q), et les forces réparties
sont écrites en minuscules (ex : g ou q)5.2 Réponse exercice [ 13 ]
Etape 1
Etape 2 : Ecrire les réactions au niveau des liaisons Etape 3 : Remplacer les forces réparties par des forces ponctuelles équivalentesEtape 4 : :
- Somme des forces horizontales nulle : ܴ௫ݍܮ - Somme des forces verticales nulle : ܴ௬ܮܨ - Moment du système global nul : ܯ௭ ݍܮ Etape 5 : Valorisation des composantes nulles connues aux liaisonsEtape 6 : résolution du système
Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 19/932୷ൌെ"െ
Etape 7 : Rédaction de la solution, au point A : ൞2୷ൌെ"െ
5.3 Réponse exercice [ 14 ]
Etape 1
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