[PDF] Module #6a Contraintes de flexion dans les poutres (CIV1150





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CONTRAINTES DANS LES POUTRES EN FLEXION

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Flexion Simple - Université Oum EL-Bouaghi

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Remarque importante : bien que V(x) n'intervienne pas dans le dimensionnement à la contrainte normale lorsque : - V(x) ? 0 on a de la flexion simple ; - V(x) 

  • Comment calculer la contrainte de flexion ?

    Poutre : flexion pure d'un élément
    Les contraintes ? = (E/?)y doivent équilibrer le moment M égal à : En introduisant le moment d'inertie de surface : on exprime la variation de courbure due au moment fléchissant par 1/? = M/EI. La contrainte s'en déduit immédiatement par la relation ? = ? (M/I)y.

  • Quelle est la formule de la contrainte ?

    État de contrainte uniaxiale
    Dans le cas de la compression unixiale, on a ?I < 0, donc ?I < ?II et ?I < ?III contrairement à la convention initiale. On a dans tous les cas ?max = ½?I.

  • Comment calculer la contrainte en RDM ?

    A la contrainte normale ?=My/I s'ajoute des contraintes tangentielles. Déformée et calcul des fl?hes : sous l'effet des forces qui lui sont appliquées une poutre se déforme. On appelle fl?he à l'abscisse x le déplacement vertical du centre de gravité de la section relative à cette abscisse.
  • capacité d'une poutre, il s'agit de calculer la contrainte maximum à l'endroit où elle subit le moment de flexion maximum. S: Module de section = I/y y: Distance de l'axe neutre à l'extrémité la plus éloignée de la section.

Module #6a

Contraintes de

exion dans les poutres (CIV1150 - Resistance des materiaux)

Enseignant: James-A. Goulet

Departement des genies civil, geologique et des minesPolytechnique Montreal x6.1-6.4, 6.7 { R. Craig (2011)

Mechanics of Materials, 3rd Edition

John Wiley & Sons.P. Leger (2006)

Notes de cours: Chapitre 6,x6.1{6.6

Polytechnique Montreal.Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 1/50

Introduction aux contraintes dans les poutres

Objectifs

Chapitre 5: Diagrammes des eorts internes

I

Moments

echissants {M(x) I Eorts tranchants {V(x)Chapitre 6, partie a: Contraintes de exion dans les poutres

Chapitre 6, partie b: Contraintes de cisaillement dans les poutresConnaissantM(x), quelle est la distribution des contraintes

normales au droit des sections?Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 2/50

Introduction aux contraintes dans les poutres

Flexion pure

Module 6:elements en

exion pure

i.e.M(x)6= 0,V(x)0,F(x)0Flexion pure,V(x)0Flexion ordinaire,V(x)6= 0;M16=M2Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 3/50

Denitions

DenitionsCourbure: Changement d'angle ()

relatif d'un point de la poutre par rapport a un autre De exion: Deplacement relatif (y)d'un point de la poutre par rapport a un autreEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 6/50[Beer et al. 2006]

Hypotheses

HypothesesI

Poutre droiteI

Section constanteI

Section

sym etriqueI

Poutre

sup porteelat eralementI

Materiau

lin eaire elastiqueI

Sections planes

restent planes I De exion selon un a rccirculaire I

Fibres

sup erieurescomp rimees inferieures tenduesI

Il existe un

axe neutre (A.N.) Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 7/50 et

Courbure () et rayon de courbure ()I

M: Moment de

exionI : Rayon de courbureI : Angle entre deux sections separees par une longueur x= 1I = : CourbureApproximation des petits angles x=!=x= xpour x= 1!==1

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 8/50 et Courbure () et rayon de courbure () (cont.)Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 9/50

Deformation de

exion {x

Deformation de

exion {x xP QPQ PQ= xxx= (y)= y=y=y x/courbure()& distance de l'A.N.(y)Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 10/50

Contraintes de

exion {x

Contraintes de

exion {xSelon la loi de Hooke x=Ex=Ey=Ey x;x/;yPourM>0I y>0,x<0 (compression)I y<0,x>0 (traction)I y= 0,x= 0 (A.N.)Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 11/50

Equilibre des sections

Equilibre des sections { moments+

PMzjc:g:= 0 =Z

A y|{z} levierxdA|{z} force|{z} moment+MM=Z A yxdAM=Z A yEy dA= E Z A y2dA |{z} inertie;Iz= EI=EIEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 12/50

Relation moment { courbure/contrainte

Relation moment { courbure

I

M: Moment de

exion I

EI: Rigidite

exionnelle de la section I : Courbure (=1 I : Rayon de courbure M=EI =EI!=MEI

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 13/50

Relation moment { courbure/contrainte

Relation moment { contraintesM=EI

!M I =E x=Ey xy =E M I =xy x=MyI

Sic=jyjmax!jxjmax=McI=

MI=c|{z}

Module de section=

MS

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 14/50[Bazergui, 2002]

Proprietes des sections communes

Proprietes des sections communes

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 16/50

Rappel: centre de gravite, section quelconque {y

Position de l'axe neutre/centre de gravite {y

1.

D enirun syst emede r eference

2.

Sub diviserl'aire de la section Aen

elements simples d'aireAiet ayant un C.G.yi3.Calculer le C.G. y=PAiyiA L'axe neutre d'une section coincide avec le centre de gravite

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 17/50

Rappel: Inertie, section quelconque {Iz

Inertie d'une section (deuxieme moment d'aire) {Izc.g. a.n.1.Sub diviserl'aire de la section Aen elements simples d'aireAiet ayant un C.G.yi2.Calculer le C.G. & A.N. 3.

Calculer l'inertie indi viduelleIides

elements4.Calculer l'initie de la section (di: la distance entre le C.G. de la section et celui de l'elementi) I z=XIi+Aid2iEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 18/50

Rappel: Inertie, section quelconque {Iz

Exemple: Inertie d'une section {IzI

1=b1h3112

I

2=b2h3212

I z=I1+A1d21+I2+A2d22Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 19/50

Module de section {S

Module de section {S

Sic=jyjmax! jxjmax=McI

=MI=c|{z}

Module de section=

MS

Sections non-symetriques

S 1=Izc

1;S2=Izc

2Sections symetriques

S

1=S2=Izc

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 20/50

Module de section {S

Exemple { Proprietes des sectionsCalculery,Iz, etS(1) Centre de gravite: y=PAiyiA (2) Inertie: I z=XIi+Aid2i (3) Module de section: S sup=Izc sup;Sinf=Izc infEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 21/50

Module de section {S

Exemple { Proprietes des sections (1)y=PAiyiA

h 1z}|{ 40mmb
1z}|{

180mmy

1z}|{

20mm+80mm60mm 80mm40mm180mm|{z}

A

1+80mm60mm|{z}

A

2=44mmEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 22/50

Module de section {S

Exemple { Proprietes des sections (2)I

z;1=XI1+A1d21=

180mm(40mm)312

+ (180mm40mm)(44mm20mm)2=5 :11106mm4I z;2=8 :78106mm4I z=Iz;1+Iz;2=13 :9106mm4Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 23/50

Module de section {S

Exemple { Proprietes des sections (3)S

sup.=Izc sup.=

13:9106mm444mm=3 :16105mm3S

inf.= Izc inf.=

13:9106mm4120mm44mm=1 :83105mm3jxjmax=MzS

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 24/50

Calcul des contraintes de

exion

Contraintes de

exion dans les poutres x=MzyI zjxjmax=MzcI z=MzS I x: Contraintes longitudinales de exionI

Mz: Moment de

exion auquel doit resister la sectionI Iz: Moment d'inertie de la section par rapport a l'A.N.I y: Distance entre l'A.N. et les bres considereesI

c: Distance entre l'A.N. et les bres superieures/inferieuresEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 26/50

Calcul des contraintes de

exion

Moments et contraintes de

exion x=MzyI zLa magnitude des contraintes est proportionnelle au momentEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 27/50[Schodek, 1998]

Exemple { contraintes

Exemple { contraintesCalculerx;sup,x;inf,jxjmax, & verier l'equilibreI

Mz= 100kNm

I

Iz= 13:9106mm4

x=MzyI zEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 28/50

Ecacite des sections

echies

Ecacite des sections

echies x=MzyI z I z=Z A y2dA=XIi+Aid2iI z2>Iz1, pourd>h=4Quelle forme minimisejxjmax et la quantite de materiel?50100150200

024681012

14Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 29/50

Ecacite des sections

echies

Ecacite des sections

echies (cont.)

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 30/50[Schodek, 1998]

Ecacite des sections

echies

Comparaison de sections communes

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 31/50[Bazergui, 2002]

Bras de levier interne

Bras de levier interne

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 32/50[Hanor, 1998][Shodek,1998]

Bras de levier interne

Pourquoi utilise-t-on des poutres pleines?!$Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 33/50[Shodek (1998), Google images]

Optimisation des eorts internes

Eorts internes et dimensionnementDetermineraan de minimiserwa 22
=wL2 L4 aa=L2 (p21)0:21LM=wL2 L4 0:21L wL245:4Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 34/50[Bazergui, 2000]

Optimisation des eorts internes

Poutres GerberI

Les poutres Gerber sont

isostatiques I

Rotules

p ositionneesan d' equilibrer les M+ etM(0:15`) I

La dierence entreM+ etMest egale awl28

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 35/50[Muttoni, 2004]

Exemple { charge admissible

Exemple { Charge admissibleCalculerPadmsijxjmax140MPa!y=cinf.= 70:5mm,Iz= 72:8105mm4MIzc inf.0:9mP

140MPa72:8105mm470:5mm!P16100N=16 :1kNEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 37/50

Choix d'une section transversale

Choix d'une section transversale

Pourcontrainte admissiblex;admet unmoment appliqueMmax jxjmax=MzS!SconceptionjMmaxj x;admEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

6a{Contraintes de

exion dans les poutresjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 38/50

Exemple { choix d'une section

Exemple - choix d'une sectionI

x;adm= 200MPa I

Quelle est la section en I

la plus legere?Choix: S13015 x;admMS!SjMmaxj x;adm=quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
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