[PDF] ARITHMETIQUE 1 - Heberjahiz 1-Déterminer les nombres





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Présentation PowerPoint

Soient m et n deux nombres entiers naturels tel que m > n . 1 – Déterminer la parité des nombres suivants : ... Etudier la parité d'un nombre entier.







Exercice1 : Exercice3 : Exercice4: Exercice5:

Montrer que la somme de trois nombres impairs consécutifs est un multiple de 3. 6. n m et k trois entiers naturels



Nombre pair - Nombre impair

Etudier la parité d'un nombre ( entier ) c'est déterminer si cet entier est pair ou impair. Page 2. Somme de deux nombres : Exemples : Somme de 



Exercice1 : Exercice3 : Exercice4: Exercice5:

Montrer que la somme de trois nombres impairs consécutifs est un multiple de 3. 6. n m et k trois entiers naturels



Tronc Commun Lensemble des entiers naturels - Notions sur l

Etudier la parité des nombres : Déterminer tous les nombres entiers naturels compris entre 202et 299 qui sont divisibles par 3et par 5. Exercice 8 :.



Exercice N°1 Déterminer la parité des nombres suivants

Déterminer la parité des nombres suivants : En déduire que et ont la même parité. Exercice N°3. 1. Montrez que : est impaire pour tout n entier.



LA RECIPROQUE2

I Etude de la parité des nombres x y



Exercice 1 : Exercice 2 : Exercice 3 : Exercice 4 : Exercice 5

n?N. Etudier la parité des nombres suivants : Exercice 12 : Soit un nombre entier naturel impair. 1)Montrer que est divisible par 8 .



Exercices corrigés d'arithmétique dans N Partie I - AlloSchool

Solution de l’exercice 1 : 1 – Déterminer la parité des nombres suivants : Soit n un nombre entier naturel A = n(n + 1) ; B = (2n+1)2021 3+ (4n)2020; C = 3n n On a A = n(n + 1) On distingue deux cas: Si n est pair il existe un entier naturel k tel que : n = 2k donc n + 1 = 2k + 1



Vérifier si un nombre est pair ou impair en C

1) Soit n étudier la parité des nombres suivants : d’où n ( n + 1) est pair a) n(n+1) (Le produit de deux entiers naturels consécutifs) Si n est pair donc il existe k un entier naturel tel que: n = 2k Donc n + 1 = 2k + 1 on pose k = k(2k+ 1) donc k donc n ( n + 1) = (2k + 1) 2(k + 1) = 2(2k + 1)(k + 1)



ARITHMETIQUE 1 - Heberjahiz

1-Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs des nombres suivant: 2311 43 3524 232 135 1900 79 426 707 38 2- Ecrire les nombres ci-dessus sous forme de 2p ou 2p+1 1-3- REMARQUE 1-Les nombres pairs ont pour unité les chiffres : 0-2-4-6-8 2- Les nombres impairs ont pour unité les chiffres: 1-3-5-7-9 1-4-DEFINITION

Comment étudier la parité d'un nombre?

Pour étudier la parité d'un nombre il suffit de vérifier s'il est ou non un multiple du nombre 2. {0, 2 , 4, 6, 8, 10, 12,..., n*2} = {2n; n est un entier naturel ou relatif}. 1, 3 , 5, 7, 9, 11, 13,..., n*2+1= {2n+1; n est un entier naturel ou relatif}. Un nombre pair est tout nombre dont le reste de la division sur 2 est égale à 0.

Qu'est-ce que la parité des nombres?

La parité des nombres: pair ou impair? 1 Un entier multiple de deux est un entier pair, les autres sont les entiers impairs. ... 2 Un nombre entier est un nombre impair si il est non divisible par 2, en d'autres mots, s'il y a un reste de 1 lorsque le divisant par deux. 3 Si un nombre est pair, alors il est pas un nombre impair. Plus d'articles...

Comment calculer la parité d’un nombre?

Deux nombres sont dits de même parité s’ils sont : • Soit tous les deux pairs. • Soit tous les deux impairs. Produit d’un nombre pair et d’un nombre impair : 6 x 5 = 30 ( pair ) 3 x 2 = 6 ( pair ) Propriété : Seule la multiplication de 2 nombres impairs donne un produit impair. Dans tous les autres cas, le produit est pair.

Comment étudier la parité d'un entier?

En arithmétique modulaire, étudier la parité d'un entier, c'est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux. Un entier multiple de deux est un entier pair, les autres sont les entiers impairs.

ARITHMETIQUE 1

Page 1

Dans ce chapitre, tous les nombres sont des entiers naturels, ils appartiennent à

1- NOMBRES PAIRS- NOMBRES IMPAIRS

1-1-DEFINITION

Les nombres: 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 sont appelés des chiffres

1-2- EXERCICE

1-Déterminer les nombres pairs et les nombres impairs des nombres suivant: 2311, 43, 3524,

232, 135, 1900, 79, 426, 707, 38

2- Ecrire les nombres ci-dessus sous forme de 2p ou 2p+1

1-3- REMARQUE

1-Les nombres pairs ont pour unité les chiffres : 0-2-4-6-8

2- Les nombres impairs ont pour unité les chiffres: 1-3-5-7-9

1-4-DEFINITION

1- Tout nombre entier naturel n divisible par 2 est appelé nombre pair, il s'écrit sous forme

de 2np où p

2-Tout nombre entier naturel n qui n'ai pas divisible par 2 est appelé nombre impair, il s'écrit

sous forme de 21np
où p

1-5-EXERCICE

Soit n un entier naturel, étudier la parité des nombre ( 1)A n n et 234B n n selon les valeurs de n

INDICATION

i- si n est pair c'est-à-dire n=2p, calculer A et B en fonction de p ii- i- si n est impair c'est-à-dire n=2p+1, calculer A et B en fonction de p

1-6- LES OPERATIONS SUR LES NOMBRES PAIRS ET IMPAIRS

EXERCICE

1- Soient a et b deux entiers pairs, étudier la parité de ,,a b a b ab

2- Soient a et b deux entiers impairs, étudier la parité de

,,a b a b ab

3- Soit n un entier, étudier la parité de

2n selon les valeurs de n

2- LES MULTIPLES D'UN ENTIER NATUREL

2-1-DEFINITION

On dit que m est un multiple de n si et seulement si m est le produit d'un entier b par n, et on écrit m bn

2-2-EXERCICE

1-montrer que 12 15

est un multiple de 30

2- Soient b un multiple de a et c un multiple de b , montre que c est un multiple de a

3-Soient b un multiple de a et c un multiple de a, montrer que

,,b c b c bc sont des multiple de a

4- Soient b et c des multiples de a, montrer que 2c+3b est un multiple de a

3- LES DIVISEURS D'UN ENTIER NATUREL

3-1-DEFINITION

On dit que l'entier a est un diviseur de l'entier b, si et seulement si b est un multiple de a, on dit que: - a divise b, et on écrit /ab - b est divisible par a - il existe un entier q tel que b a q

3-2-EXERCICE

1-Déterminer tous les diviseurs de 30, et calculer leur somme

ARITHMETIQUE 1

Page 2

2- Soit a un diviseur de b et c, montrer que a est un diviseur de

,,b c b c bc

4- LES NOMBRES PREMIERS

4-1-DEFINITION

On dit que l'entier p est un nombre premier s'il admet seulement comme diviseur p et 1

4-2-EXEMPLE

Montrons que 127 est nombre premier, on sait que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sont des nombres premiers

4-3-REMARQUE

Pour déterminer qu'un entier n est premier, on divise n par tous les entiers premiers p tel que 2pn , si n n'est divisible par aucun entier premier p alors n est premier

4-4- EXERCICE

Déterminons tous les entiers premiers qui sont inférieurs à 100

4-5- DECOMPOSITION D'UN ENTIER EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS

4-5-1- EXEMPLE

Décomposer 380 en produit de facteurs premiers

22380 2 190 2 95 2 5 19

4-5-2-PROPRIETE

Tout entier naturel non premier plus grand que 1 peut se décomposer en produit de facteurs premiers

4-5-3- EXERCICE

Décomposer 270 en produit de facteurs premiers

5- LES DIVISEURS COMMUNS DE DEUX ENTIERS

5-1- DEFINITION

On dit que d est un diviseur commun de deux entiers naturels a et b, si et seulement si a et b sont divisible par d

5-2-EXERCICE

1- Décomposer 180 et 150 en produit de facteurs premiers

2- Déterminer tous les diviseurs de 180 et 150

3- Déterminer tous les diviseurs communs de 180 et 150

4- Déterminer le plus grand diviseur commun de 180 et 150

5-3- LE PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN

5-3-1- DEFINITION

Soient a et b deux entiers naturels, le plus grand entiers qui divise à la fois a et b s'appelle le

plus grand diviseur commun de a et b, et se note: ( , ); ; ( , )pgdc a b a b a b

5-3-2-EXEMPLE

Soit a=380 et b=132

On a

2 2 0 0 2 0 02 5 19 2 3 5 11 19 2 3 5 11 19a et b

Donc

2 0 0 0 02 3 5 11 19 4ab

5-3-3- EXERCICE

1-a- Décomposer 120 et 75 en produit de facteurs premiers

b- Déterminer le pgdc de 120 et 75

2- Déterminer le

pgdc de a et b selon les valeurs de a et b dans les cas suivant i- a=15 et b=75; ii- a=13 et b=49; iii- a=540 et b=336

5-3-3- PROPRIETE

Si ( , ) 1ab

alors a et b sont premiers entre eux

ARITHMETIQUE 1

Page 3

6- LES MULTIPLES COMMUNS DE DEUX ENTIERS

6-1- DEFINITION

On dit que m est un multiple commun de deux entiers naturels a et b, si et seulement si m est un multiple de a et de b

6-2-EXERCICE

1- Déterminer les multiples de 15 et 25 qui sont inférieur à 200

2- Déterminer les multiples communs de 15 et 25 qui sont inférieur à 200

3- Déterminer le plus petit multiple commun de 15 et 25

6-3- LE PLUS PETIT MULTIPLE COMMUN

6-3-1- DEFINITION

Soient a et b deux entiers naturels, le plus petit multiple à la fois de a et de b s'appelle le plus petit multiple commun de a et b et se note: ( , )ppmc a b ; ab ; ( , )M a b

6-3-2-EXEMPLE

Soit a=380 et b=132

On a

2 2 0 0 2 0 02 5 19 2 3 5 11 19 2 3 5 11 19a et b

Donc

22 3 5 11 19ab

6-3-3- EXERCICE

1- a- Décomposer 300 et 126 en produit de facteurs premiers

b- Déterminer le ppmc de 300 et 126

2- Déterminer le ppmc des entiers a et b selon les valeurs de a et b

i- a=75 et b=35; ii- a=315 et b=252; iii- a=24 et b=49

6-3-3- PROPRIETE

Si a et b sont premier entre eux alors a b ab

6-3-4- EXEMPLE

Soit a=196 et b=117

On a

2 2 2196 2 7 117 3 13a et b

Donc

2 2 22 3 7 13a b a b

6-3-4-EXERCICE

ARITHMETIQUE 1

Page 4

EX1 Soit n un entier naturel, étudier la parité des nombres suivant: 87An
( 2)( 3)B n n ; 23C n n EX2

Montrer que a est un multiple de b selon les

valeurs de a et b dans les cas suivant: i- a=3333 et b=33 ii- 4453a
et b=16 EX3

Soit A un entier naturel formé de deux

chiffres x et y tel que:

10A xy x y

et soit B yx , montrer que AB est divisible par 11 EX4

1-Déterminer xy

et xy selon les valeurs de x et y dans les cas suivant: i- x=13 et y=17 ii- x=15 et y=25 iii- x=50 et y=35

2- Comparer les valeurs de

( ) ( )x y x y et de xy dans chaque cas EX5

1-Factoriser en facteurs premiers les entiers

1386 et 4620

2- Déterminer le ppmc et le pgdc de 1386 et

4620
EX6

Soit x un entier naturel

1- Développer

22( 1)xx

2- En déduire que tout entier impair peut

s'écrire sous forme de la différence du carré de deux entiers successifs

3-Ecrire les nombres

17A et 2005B comme différence du carré de deux entiers successifs EX7

Soit n un entier naturel, posons

2( 1) ( 1) 2nnA

, déterminer la valeur de A selon la parité de n EX8 posons 13A xy tel que x est le chiffre des dizaines et y le chiffre des unités de A, déterminer x et y pour que A soit divisible par 2 et 9 EX9

Soit n un entier naturel, déterminer n tel

que:

8 90 8( 3)nn

EX10

1- déterminer tous les diviseurs de 15

2- déterminer les entiers x et y tels que

( 3)( 2) 15xy

3- déterminer tous les entiers a et b qui

vérifient

3 12ab a b

EX11 on considère les entiers a et b tels que: 24ab
et 2880ab

1- calculer

ab

2-en déduire les entiers a et b

EX12 soit n un entier naturel, étudier la divisibilité de ( 1)( 2)A n n n par 3 selon les valeurs de n

ARITHMETIQUE 1

Page 5

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