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UNIVERSITE PARIS V - RENE DESCARTES

FACULTE DE SCIENCES HUMAINES ET SOCIALES

THESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L"UNIVERSITE PARIS V

Discipline : SCIENCES DE L"EDUCATION

Présentée par Richard Rudat

Modèles combinatoires implicites

et résolution de problèmes en classe de 4

ème

une étude des effets liés à la sémantique des situations

Thèse présentée le 26 février 2007

Sous la direction de Sylvette Maury

Jury :

Denis BUTLEN Rapporteur Maître de conférence HDR à l"IUFM de Créteil Sylvette MAURY Directrice Professeur à l"Université Paris V Gérard VERGNAUD Directeur de recherche CNRS, Université Paris VIII Annick WEIL-BARAIS Rapporteur Professeur à l"Université d"Angers

Remerciements

En m"efforçant de réaliser cette recherche, je me suis trouvé sur des chemins à la fois passionnants mais semés de difficultés et d"obstacles de toutes sortes. Qu"il me soit permis d"exprimer ma profonde reconnaissance à Sylvette Maury qui m"a constamment encouragé tout au long de ce travail. Son aide m"a été précieuse et je souhaite particu-

lièrement rendre hommage à sa disponibilité, à sa patience et à cette perspicacité qui

lui permet de trouver immanquablement les défauts, les faiblesses et les erreurs que je ne savais éviter. Ses remarques, ses enseignements et ses suggestions ont été pour ma formation d"irremplaçables sources de progrès. Je remercie Annick Weil-Barais et Denis Butlen d"avoir accepté de rapporter sur mon travail et d"être membre du jury. Je souhaite rendre spécialement hommage à Gérard Vergnaud grâce à qui j"ai découvert avec passion la Didactique des Mathématiques et je le remercie également d"avoir accepté de participer à ce jury. J"adresse mes chaleureux remerciements à Johanna Boulanger, Marie Nabbout, Nasse- ra Sebaï, Adrien Bourg, Charles Chandler et Marc Vantourout pour l"aide qu"ils ont su m"apporter quand j"en avais besoin.

Que tous les élèves et les professeurs qui ont participé à cette recherche reçoivent ma

reconnaissance pour leur disponibilité. Je n"oublie pas, non plus, les personnes qui m"ont amicalement aidé d"une façon ou d"une autre, souvent par de conseils techni- ques, toujours en prenant sur leur temps.

J"adresse enfin à Caroline, Justin et Valérie, à ma famille et à mes parents, à mes pro-

ches, à mes amis ma profonde gratitude pour le soutien qu"ils m"ont apporté et pour la

bienveillante compréhension qu"il était souvent nécessaire d"avoir à mon égard. Que ce

travail leur soit dédié.

1Résumé : Dans ce travail on s"intéresse à certains effets liés à la sémantique des énon-

cés sur les procédures et processus de résolution de problèmes de combinatoire du type 2 n

C, soumis à des élèves de classe de 4

ème

. Notre objectif est de proposer un modèle

relativement complet qui décrive les liens entre les productions et l"activité des élèves

d"une part et les contextes sémantiques d"autre part. La principale variable étudiée concerne les modèles combinatoires implicites. Afin de relever l"ensemble des procé- dures observables, une première épreuve est organisée sous forme de devoir sur table. La deuxième épreuve a pour ambition de se placer au niveau des processus de résolu- tion. Elle est organisée sous forme de travail en groupe. Une analyse du contenu des échanges permet d"appréhender les interprétations des énoncés. L"ensemble des obser- vations nous conduit à définir deux modèles de résolution dominants avec quelques va- riantes.

Mots-clés :

Combinaison, configuration combinatoire, contexte sémantique, didactique des mathématiques, modèle combinatoire implicite, modèle de résolution, procédure, représentation, résolution de problème.

Summary:

This study focuses on the effect of semantic wording of combinatorial prob- lems of type 2 n Con the procedures and the problem solving processes used by Gr8 stu- dents. Our object is to propose a relatively comprehensive model describing existing links between students" productions and the semantic contexts. The main variable stud- ied is the implicit combinatorial models. The first administrated task consists of an indi- vidual work and aims at identifying all types of discernible procedures. The second task was organized in group work and aims at identifying processes used in problem solving. The content analysis of interactions allows seizing students" interpretations of problems wording. The observations carried out leads us to define two dominant models in prob- lem solving with a few variants.

Keywords:

Combination, combinative configuration, didactic of mathematics, implicit combinative model, problem solving, procedure, representation, semantic context, solv- ing model.

2SOMMAIRE

I. Introduction..............................................................................................................6

1. Présentation de la recherche, son objet..........................................................................6

2. Approches théoriques .....................................................................................................7

• La question des connaissances...........................................................................................9

• La question des contenus mathématiques .........................................................................10

• Les conséquences méthodologiques.................................................................................11

3. Présentation de quelques références qui fondent cette recherche...............................12

A. Les modèles combinatoires implicites.....................................................................................12

• Dubois (1984)..................................................................................................................12

• Batanero, Godino et Navarro-Pelayo (1997)....................................................................15

B. Sujet " modélisant » et sujet " producteur de modèles »...........................................................17

C. Les outils de modélisation et la dimension sémiotique de la résolution de problème.20

a. Un exemple : l"introduction du schéma en arbre...................................................................20

b. Quelques réflexions théoriques concernant la dimension sémiotique en mathématiques........23

c. Signe et intuition.................................................................................................................27

4. Synthèse concernant l"approche théorique, la problématique et l"opérationnalisation

de notre recherche ............................................................................................................28

II. L"expérience " Devoir sur table »..........................................................................32

1. Définition de l"épreuve " Devoir sur table ».................................................................35

2. Les énoncés des problèmes ...........................................................................................37

3. Analyse de la tâche........................................................................................................38

A. Les procédures de calcul.........................................................................................................39

a. Le recours à la règle de la somme........................................................................................39

b. Le recours aux règles du produit et du quotient....................................................................40

B. Les procédures d"énumération.................................................................................................41

a. Les procédures observées par Vergnaud et Cohen (1969).....................................................41

b. Les procédures observées par Mendelsohn (1981)................................................................42

c. Les procédures observées par Maury et Fayol (1986)...........................................................44

C. Quelques erreurs attendues......................................................................................................44

4. Population et conditions de passation...........................................................................46

III. Réponses à l"épreuve " Devoir sur table »...........................................................49

1. Quelques remarques à propos des registres sémiotiques utilisés dans les réponses....49

A. L"énumération sur liste...........................................................................................................49

B. L"inventaire sur figure ou tableau............................................................................................53

2. Définition des classes de réponses.................................................................................58

A. Les réponses justes .................................................................................................................59

a. Procédures associées aux réponses justes.............................................................................59

• L"énumération systématique à élément constant...............................................................59

• L"énumération systématique associée aux règles du produit et du quotient........................61

• L"énumération partitive répétée........................................................................................63

• Enumération circulaire complétée d"une énumération systématique..................................65

b. Remarques relatives aux réponses justes..............................................................................68

• Résultats justes, procédure inconnue................................................................................68

• Procédures pertinentes mais résultats faux........................................................................70

B. Les réponses intermédiaires supérieures..................................................................................71

a. Enumération d"arrangements...............................................................................................71

3

b. Enumération de combinaisons avec répétitions....................................................................72

c. Dénombrement d"arrangements avec répétitions..................................................................74

C. Les réponses intermédiaires inférieures ...................................................................................74

a. Enumération systématique limitée au premier objet..............................................................75

b. Subordination à une structure énumérative locale.................................................................75

c. Enumérations difficiles à produire et à contrôler ..................................................................77

d. Enumération incomplète par perte du référent......................................................................78

e. Enumération incomplète d"arrangements.............................................................................79

f. Mise en œuvre des propriétés de la proportionnalité.............................................................80

g. L"influence de la position des points....................................................................................81

h. Réponses approximatives....................................................................................................82

D. Les réponses fausses...............................................................................................................82

a. Enumération partitive..........................................................................................................83

b. Enumération circulaire........................................................................................................84

c. Autres réponses fausses.......................................................................................................85

• Autant de possibilités que d"objets...................................................................................86

• Le produit des deux paramètres n et p..............................................................................87

• Le nombre de partages possibles de la collection en deux groupes....................................88

3. Distribution des procédures observées et des performances selon le facteur modèle

combinatoire implicite......................................................................................................89

A. Description par classe de réponse............................................................................................96

B. Description par effectif de la collection et selon l"ordre de résolution.......................................97

C. Description par modalité du facteur " modèles combinatoires implicites » ...............................98

4. Quelques traitements statistiques des données recueillies ...........................................99

A. Définition d"un barème de notation des réponses...................................................................100

B. Présentation des résultats.......................................................................................................108

a. Les différences des performances selon la modalité " ordre de résolution »........................111

b. Les différences de score entre les différents modèle combinatoire implicite........................112

5. Distribution de la variable " procédures » selon les modalités du facteur " modèle

combinatoire implicite ».................................................................................................114

A. Distribution de la variable procédures pour la modalité " association - salutations »..............116

B. Distribution de la variable procédures pour la modalité " association - segments » ................118

C. Distribution de la variable procédures pour la modalité Dis....................................................123

D. Distribution de la variable procédures pour la modalité Par....................................................126

E. Distribution de la variable procédures pour la modalité Sél....................................................129

6. Variation des réponses entre les deux problèmes de l"épreuve..................................135

A. Principes de l"analyse ...........................................................................................................137

B. Résultats...............................................................................................................................138

a. Stabilité.............................................................................................................................139

• Effets lié à l"ordre de résolution des problèmes...............................................................139

• Effets liés à la nature des différents modèles combinatoires implicites............................141

b. Régression........................................................................................................................141

• Effets lié à l"ordre de résolution des problèmes...............................................................141

• Effets liés à la nature des différents modèles combinatoires implicites............................142

c. Progrès..............................................................................................................................142

IV. L"expérience " Atelier de résolution de problèmes »..........................................144

1. Présentation de l"expérience.......................................................................................144

A. Les apports de l"expérience " Devoir sur table »....................................................................144

B. Les questions qui se posent encore........................................................................................145

C. Description de l"épreuve .......................................................................................................147

2. Approche théorique et définition d"une méthodologie pour l"analyse des contenus.148

A. De l"acte discursif à la conduite interactive............................................................................151

B. Les découpages séquentiels du corpus...................................................................................154

4

a. Les problèmes d"homogénéité de séquences ......................................................................154

b. " L"échange » comme séquence circonscrite et homogène.................................................155

c. Notion " d"échanges résolutoires »....................................................................................158

d. Des séquences dynamiques et fonctionnelles.....................................................................160

• Collaboration acquiesçante, co-construction...................................................................160

• Conflit socio-cognitif et déstabilisation des représentations............................................165

C. Résumé de notre approche théorique, conséquences méthodologiques et commentaires pratiques

3. Exemple d"analyse en terme de conduites interactives et d"échanges résolutoires...174

A. Présentation de l"analyse.......................................................................................................174

B. L"analyse du protocole 01.....................................................................................................178

a. Le tableau de l"analyse......................................................................................................178

b. L"analyse des différents épisodes de la négociation............................................................193

• L"épisode I :..................................................................................................................193

• L"épisode II :.................................................................................................................194

• L"épisode III :................................................................................................................196

• L"épisode IV : ...............................................................................................................197

• L"épisode V :.................................................................................................................198

• L"épisode VI : ...............................................................................................................199

• L"épisode VII :..............................................................................................................200

• Les épisodes VIII et IX :................................................................................................203

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