[PDF] Terminale ST2S – D2 – STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

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Terminale ST2S - D2 - STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

I.Étudier deux caractères distincts d'une même population (déjà vu en 1ère ST2S)

1.Vocabulaire

Sur une même population, on peut être amené à étudier plus d'un caractère. Nous nous contenterons

d'étudier simultanément deux caractères, que l'on notera par exemple X et Y. On obtient alors ce que l'on

appelle une série statistique à deux variables. Ces variables peuvent être qualitatives ou quantitatives.

Exemples :

Si l'on étudie par exemple le premier voeu et le deuxième voeu d'orientation post-bac des élèves de

terminale, en distinguant seulement " Écoles privées », " Université » et " Classes préparatoires »

(CPGE), alors on obtient une série statistique double où les deux variables sont qualitatives ;

Par contre, si l'on étudie sur ces mêmes élèves leurs moyennes en français et en mathématiques, par

exemple, la série statistique double obtenue sera formée de deux variables quantitatives.

2.Si les deux variables sont qualitatives : " on croise les tris »

Pour étudier sur une même population conjointement deux variables qualitatives, que nous noterons A et

B par exemple, on construit un tableau d'effectifs croisés pour faire apparaître en même temps les deux séries :

une en lignes et l'autre en colonnes. Par exemple, dans le tableau suivant, la variable A prend trois modalités A1, A2 et A3 alors que la variable B ne prend que deux modalités

B1 et B2 :

A1A2A3Total

B1Effectif de

"A1 et B1 »Effectif de "A2 et B1 »Effectif de "A3 et B1 »Effectif de B1

B2Effectif de

"A1 et B2 »Effectif de "A2 et B2 »Effectif de "A3 et B2 »Effectif de B2

TotalEffectif de A1Effectif de

A2Effectif de A3Effectif total

Ainsi, le nombre situé dans la cellule à l'intersection d'une colonne

Ai et d'une ligne Bj représente le

nombre d'individu possédant à la fois la modalité Ai et la modalité Bj. Les effectifs lus à l'intérieur du tableau sont appelés " effectifs partiels »; l'effectif partiel de "Ai et BJ » est parfois aussi noté sous forme ensembliste effectif de " Ai∩Bj»;

les effectifs lus dans les deux marges (droite et basse) du tableau sont appelés " effectifs marginaux » ;

l'effectif total est égal à la somme des effectifs marginaux de la dernière ligne mais aussi de la dernière

colonne.

3.Notion de fréquence conditionnelles

Si on est amené à calculer une fréquence réduite par rapport à l'un effectifs marginaux, on calcule alors

une fréquence conditionnelle. En reprenant les notaion du tableau précédent, on obtient : Définition : La fréquence conditionnelle de la modalité A2 par rapport à B1 se dit aussi " fréquence de A2sachant

A1 » et se note fB1A2.

fB1A2=effectifde"A2etB1» effectifdeB1.

Exemple : Le Ministère de la Santé et de la Protection Sociale publie chaque année des statistiques concernant

le personnel de santé. Ainsi, pour l'année 2008, on a pour le département du Pas-de-calais le tableau suivant, AB

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pour des professionnels de santé exerçant à titre libéral ou salarié :

Médecins

généralistesInfirmiersSages femmesTotal

Nord44702075575225977

Pas-de-Calais2155949930311957

Région N-P-de-C.662530254105537934

Source : DRESS - Ministère de la Santé et de la Protection Sociale Nota : en cours, donner le tableau sans les totaux et donner les calculs à faire. Fréquence conditionnelle du Nord (N) par rapport aux nombre d'infirmiers (I) : fIN=20755

30254≈68,6%.

Fréquence conditionnelle de sages femmes (S) par rapport aux professionnels de santé du Pas-de-Calais

(P) : fP S=303

11957≈2,5%.

II.Représentation graphique

1.Série statistique à deux variables

Pour étudier sur une même population conjointement deux variables quantitatives, que nous noterons A

et B par exemple, on peut utiliser, en plus du tableau de valeurs, un graphique.

Définition : Sur N individus d'une population, on observe deux caractères quantitatifs x et y. L'ensemble

des N couples de valeurs

x1;y1, x2;y2, ... , xN;yN, où x1, x2, ... , xN et y1, y2, ... , yN

sont des valeurs observées de x et de y, constituent une série statistique à deux variables x et y.

Remarque : on appelle aussi ce type de série " série statistique double ».

Exemple : Voici un tableau proposant les tailles et poids moyens des embryons durant les premières semaines

de grossesse : semaine67891011121314151617181920Moyenne Taille xi (en cm)1,2235,57,58,51012171617,5192021,522,512 Poids yi (en g)1,51,72,51018284565110135160200240335385115,8

Source : Netenviesdesbebes.com

Remarque : Dans un souci de confort pour le traitement des données, on essaiera toujours d'ordonner les

couples de données de manière croissante sur la première donnée (x). Le cas échéant, on ordonnera d'abord la

série en ce sens avant de traiter la série.

2.Nuage de points et point moyen

Définition : Pour une série statistique à deux variables x et y, le nuage de points de la série est l'ensemble

des n points de coordonnées x1;y1, x2;y2, ... , xn;yn.

On note

x la moyenne des n nombres xi et y la moyenne des n nombres yi : x=x1x2xn n et y=y1y2yn n. Le point moyen du nuage est le point G du plan de coordonnées n

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Exemple : Pour l'exemple précédent, le point G a pour coordonnées :x≈12cmy≈115,8g

III.Ajustement

1.Le principe de la méthode graphique

Durant l'étude de deux variables X et Y liées l'une à l'autre, la forme du nuage de points permet de

modéliser la situation.

Définition : Effectuer un ajustement d'un nuage de points consiste à déterminer une fonction dont la

courbe représentative se rapproche du nuage de points : la courbe doit passer au plus près de chaque point du nuage.

Attention : cela ne veut pas dire que l'on peut forcément modéliser toutes les situations de manière fine.

La modélisation repose sur la connaissance des fonctions usuelles (fonctions de références et surtout de leur

courbe représentative.

Exemple : voici trois nuages de points (en bleu) représentant chacun une série statistique à deux variables.

En fonction de la forme du nuage de points, on essaie de visualiser puis de tracer la courbe représentative d'une fonction usuelle (en rouge).

La forme du nuage de points est

" allongée » : les points sont autour d'une droite. La relation est affine de la forme y=mxp.Pas de relation évidente.Les points sont autour d'une branche de parabole.

La relation est exponentielle

(voir chapitre suivant) de la forme y=ax.

2.Ajustement affine

Définition : Une droite d'ajustement affine est une droite qui passe au plus près des points du nuage.

On admettra que, pour que l'ajustement affine soit le plus précis possible, il faut que la droite d'ajustement passe par le point moyen G x;y du nuage.

Méthode : Pour déterminer la droite d'ajustement affine, une des méthodes est graphique : on trace la

droite " au jugé » (c'est-à-dire à la main, puis on lit le coefficient directeur m et l'ordonnée à l'origine p de

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l'équation de la droite y=mxp.

Exemple : Voici un tableau proposant les tailles et poids de 10 embryons durant la 14ème semaine de grossesse

(16ème d'aménorrhée), les données étant ordonnées par ordre croisant de taille :

Moyenne

Taille xi (en cm)13,213,313,513,81414,214,314,514,614,814 Poids yi (en g)95101105106110115117121124125112 Source : site web Netenviesdesbebes.com / décembre 2009

Avec un logiciel (géométrie dynamique ou tableur), on peut afficher le nuage de points de cette série.

On n'oublie pas de porter le point

moyen G après en avoir calculé les coordonnées ( x ; y).On trace " au jugé » et à la règle une droite passant par G et au plus près des autres points du nuage.On lit graphiquement (et donc approximativement) le coefficient directeur (m≈18) et l'ordonnée à l'origine ( p≈-138). La droite d'ajustement affine a donc pour équation : y=18x-138.

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Annexe : L'équation de la droite d'ajustement avec une calculatrice Sur un exemple, on va voir les procédures en parallèle pour les calculatrice Ti et Casio.

On considère la série statistique double (X ; Y) suivante où xi désigne le rang de l'année et yi la CSBM

(Consommation en Biens Médicaux en France), exprimée en milliards d'euros :

Année1975198019851990199520002005

Rang xi051015202530 CSBM yi en milliards d'euros14295580104122151

TiCasio

1. Choisir le mode Stat

Touche : Puis

2. Effacer les données précédentes

Choisir 4:Clrlist, taper les listes à effacer puis :

Se positionner sur une liste puis et Yes

3. Entrer les données

On entre les valeurs de xi en L1, en tapant sur

après chaque valeur, puis les valeurs de yi en L2. Touche puis 1 pour Edit :On entre les valeurs de xi en L1, en tapant sur après chaque valeur, puis les valeurs de yi en L2.

4. Calculer les paramètres statistiques

Touche , choisir CALC puis 2-Var-Stats (avec

les touches fléchées par exemple) puis taper L1,L2 et . les résultats s'affichent : On navigue parmi les valeurs à l'aide du pavé fléché.

Notamment, on relève que x=15 et

y≈79. n=7 signifie qu'il y a 7 couples de valeurs xi;yi.Choisir avec puis avec et ne pas oublier de vérifier avec :

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TiCasio

5. Coefficients de l'équation de la droite d'ajustement (par la méthode des moindres carrés)

Touche , choisir CALC puis LinReg(ax+b) puis

taper L1,L2 et : et encore pour revenir aux listes, puis choisir avec puis avec , puis enfin avec :

6. Faire un graphique

Aller dans StatPlot avec , choisir 1 pour

puis taper et sélectionner le type de graphique (ici nuage de points).

Taper ensuite sur :

Remarque : ne pas oublier d'adapter les paramètres d'affichage le cas échéant : taper puis régler comme ce qui suit et puis Choisir avec (utiliser plusieurs fois si nécessaire pour revenir aux listes), puis avec

En choisissant avec , puis avec et

enfin avec , on obtient le graphe avec la droite d'ajustement :quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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