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24 sept 2018 · Des exemples de conjectures ou comment arriver `a leurs énoncés comment les résoudre éventuellement et comment se faire piéger 5

Comment réaliser une conjecture ?
La réponse est plus simple ici : Pour démontrer qu'une conjecture est fausse, il suffit d'un contre-exemple. 3, 7, 31 et 127 sont premiers. On peut donc émettre la conjecture suivante : Si n est premier alors M_n est premier. Nous allons maintenant montrer que cette dernière est fausse.
Comment faire une conjecture en maths ?
b) Démonstration de la conjecture : Soit x le nombre choisi au départ. 4 3 12 R x = + ? . 4 12 R x = + 12 ? 4 R x = . Si le nombre choisi au départ est x, alors on obtient comme résultat 4x , c'est-à-dire le quadruple du nombre choisi au départ : la conjecture est donc vraie.
Comment faire une conjecture d'un programme de calcul ?
En mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on croit fortement être vraie (en l'absence de contre-exemple, ou comme généralisation de résultats démontrés).

stage TICE - Académie de Lyon - 2008-2009

Parabole et rapport d"aires - niveau 1

Fiche d"identité-Niveau: seconde

-Logiciel: géométrie dynamique -Type d"utilisation: TP en salle info suivie d"une démonstration papier (en classe ou dm) -Objectifs: conjecturer, démontrer

-Apport des TICE: aide à l"appropriation du problème, permet la conjecture, permet l"approche du problème dans une situation

plus générale qu"une démonstration à ce niveau ne l"autorise. -Compétences travaillées: - aire d"un triangle, intersection de droite, coordonnées du milieu, droites remarquables;

- représentation graphique d"une fonction, appartenance d"un point à une courbe, fonctions de référence, test de la résistance

d"une conjecture.

-Variante possible: la démonstration pourrait être abordée sous sa forme la plus générale avec un logiciel de calcul formel avant

le dm.Énoncé - version 1

Le plan est muni d"un repère orthonormé(O;~i;~j). On définit la fonctionfparf(x) =x2et on notePsa

courbe représentative dans le repère fixé (Pest une parabole). On noteAetBdeux points de la paraboleP. On noteaetbles abscisses respectives des pointsAetB.

On noteIle milieu du segment[AB],Jle point de la parabolePayant même abscisse queIetKle symétrique

deIpar rapport àJ.

Expérimentation

1. Construire la figure à l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique.

2. Faire une conjecture sur le rapport des aires des trianglesABJetABK.

Démonstration

3. On se place dans le cas particulier où la droite (AB) est parallèle à l"axe des abscisses et oùa >0).

Démontrer la conjecture dans ce cas.Énoncé - version 2

Le plan est muni d"un repère orthonormé(O;~i;~j). SoientDetEdeux points de la paraboleP, représentative

de la fonctionfdéfinie parf(x) =ax2+bx+c. On notedl"abscisse deDetel"abscisse deE. On noteIle milieu de[DE],Jle point de la parabolePayant même abscisse queI,Kle milieu de[IE]etL le point dePayant même abscisse queK. On noteMle point d"intersection des droites(KL)et(EJ).

Expérimentation

1. Construire la figure à l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique.

2. Faire une conjecture sur le rapport des aires des trianglesEMLetMLJ.

3. Quelle conjecture peut-on en déduire sur le rôle de la droite(LM)dans le triangleELJ? Comment

pouvez-vous utiliser le logiciel pour tester cette conjecture?

4. Faire une conjecture sur le rapport des aires des trianglesEMLetEMK.

5. Quelle conjecture peut-on en déduire quant à la position du pointMsur le segment[KL]? Comment

pouvez-vous utiliser le logiciel pour tester cette conjecture? DémonstrationOn se place désormais dans le cas particulier suivant : - la fonctionfest définie parf(x) =x2; - la droite(DE)est parallèle à l"axe des abscisses.

6. Démontrer les conjectures faites dans les questions précédentes.

1 stage TICE - Académie de Lyon - 2008-2009

Parabole et rapport d"aires - niveau 2

Fiche d"identité-Niveau: première, terminale -Logiciel: géométrie dynamique -Type d"utilisation: TP en salle info suivie d"une démonstration papier (en classe ou) -Objectifs: conjecturer, démontrer -Apport des TICE: aide à l"appropriation du problème, permet la conjecture. -Compétences travaillées: - tangente à une courbe, intersection de droite, aire d"un triangle, distance point-droite; - représentation graphique d"une fonction, appartenance d"un point à une courbe.

-Variante possible: la démonstration pourrait être abordée sous sa forme la plus générale avec un logiciel de calcul formel avant

le dm.Énoncé

Le plan est muni d"un repère orthonormé(O;~i;~j). SoientAetBdeux points de la parabolePreprésentant,

dans le repère donné, la fonctionfdéfinie parf(x) =x2. On noteaetbles abscisses respectives des pointsAetB. On noteTAetTBles tangentes à la parabolePaux pointsAetB. On noteKle point d"intersection des tangentesTAetTB. On noteJle point de la paraboleP ayant même abscisse queK.

Expérimentation

1. Construire la figure à l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique.

2. Faire une conjecture sur l"expression des coordonnées deKen fonction deaetb.

3. Faire une conjecture sur le rapport des aires des trianglesABJetABK.

Démonstration-DM

4. SoitOMNun triangle dont un sommet est le pointOorigine du repère. Démontrer que l"aireSdu triangle

OMNest donnée par la formule :S=12

[xB:yAxA:yB].

5. En déduire que l"aireSd"un triangle CDE est donnée par :S=12

j(xBxC)(yAyC)(xAxC)(yByC)j.

6. Démontrer la conjecture établie.Parabole et tangente - 1

Fiche d"identité-Niveau: première;

-Logiciel: géométrie dynamique; -Type d"utilisation: TP en salle info suivie d"une démonstration papier (en classe ou dm); -Objectifs: conjecturer, démontrer; -Apport des TICE: aide à l"appropriation du problème, facilite la conjecture.

-Compétences travaillées: tangente à une courbe, appartenance d"un point à une courbe, lien tangente et dérivée.Énoncé - version 1

Le plan est muni d"un repère orthonormé(O;~i;~j). Soitfune fonction trinôme du seconde degré, définie par

f(x) =ax2+bx+c. On notePla parabole associée à la fonctionf. SoientPetQdeux points de la parabole

P. On noteIle milieu de[PQ]etRle point d"intersection dePavec la droite passant parIet parallèle à l"axe

des ordonnées.

Expérimentation

1. A l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.

2. Émettre, à l"aide du logiciel, une conjecture à propos de la tangente àPenR.

Démonstration-DM

3. Démontrer la conjecture faite.

2 stage TICE - Académie de Lyon - 2008-2009

Énoncé - version 2

Le plan est muni d"un repère orthonormé(O;~i;~j). Soitfune fonction trinôme du seconde degré, définie par

f(x) =ax2+bx+c. On notePla parabole associée à la fonctionf. SoientPetQdeux points de la paraboleP.

Expérimentation

1. A l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.

2. Émettre, à l"aide du logiciel, une conjecture sur la position du pointRde la parabole tel que la tangente

àPenRsoit parallèle à(PQ).

Démonstration-DM

3. Démontrer la conjecture faite.Énoncé - version 3

Le plan est muni d"un repère orthonormé(O;~i;~j). Soitfune fonction trinôme du seconde degré, définie par

f(x) =ax2+bx+c. On notePla parabole associée à la fonctionf. SoientPetQdeux points de la parabole

P. On nommeTPetTQles tangentes àPenPetQ. On nommeSle point d"intersection deTPetTQ.

Expérimentation

1. A l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.

2. Émettre, à l"aide du logiciel, une conjecture à propos de l"abscisse du pointS.

3. On noteRle point de la parabolePayan t même abscisse que S. Que peut-on dire de la tangente àPen

Démonstration-DM

4. Démontrer les conjectures faites.Parabole et tangente - 2

Fiche d"identité-Niveau: première;

-Logiciel: géométrie dynamique; -Type d"utilisation: TP en salle informatique. -Objectifs: Conjecturer. -Apport des TICE: Expérimentation et conjecture

-Compétences travaillées: Coordonnées de points sur une courbe - équation de droite - Projection orthogonale - équation de

tangente.Énoncé

Le plan est muni d"un repère orthonormé(O;~i;~j). On notePla courbe représentative de la fonction carrée.

Le pointAest un point deP, d"abscisse non nulle. On définit le pointLprojeté orthogonal du pointAsur l"axe

des ordonnées et le pointB, symétrique du pointLpar rapport au pointO.

Expérimentation

1. A l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.

2. Émettre, à l"aide du logiciel, une conjecture à propos de la droite(BA).

SoitNle point de l"axe des ordonnées ayantApour projeté othogonal sur la droite(AB).

3. Quelle conjecture peut-on faire sur le segment[LN]lorsqueAparcourt la parabolePprivée de l"origine?

3 stage TICE - Académie de Lyon - 2008-2009

Varignon

Fiche d"identité-Niveau: première;

-Logiciel: géométrie dynamique; -Type d"utilisation: TP en salle informatique. -Objectifs: Conjecturer. -Apport des TICE: Expérimentation et conjecture -Compétences travaillées: Notion de lieu géométrique - optimisation - fonction -Ouverture: Démonstration des conjecture en DM.Énoncé On noteABCDest un rectangle tel queBC= 5etAB= 3. On désigne parMun point quelconque du segment[AB]. On note alorsN,P,Qles points situés respectivement sur[BC],[CD],[AD]tels que : AM=BN=CP=DQ. On cherche à savoir s"il existe une position du pointMsur le segment[AB]qui minimise l"aire du quadrilatèreMNPQ.

Expérimentation

1. (a) Construire le rectangleABCD.

(b) Définir le pointMlibre sur[AB]puis construire les pointsN,P,Q. (c) A l"aide du logiciel, dire si le problème semble avoir une solution.

2. On impose maintenantAB= 6.

(a) Que vaut dans ce cas la longueurAD?

(b) On veut définir le pointWde coordonnées (longueur du segment[AM]; Aire du quadrilatèreMNPQ).

Comment définir ce pointWdans la figure précédemment construite (sans modification)? (c) Tracer le lieu géométrique du pointWobtenu lorsqueMparcourt le segment[AB].

3. On admet que la courbe obtenue pour le lieu du pointWest représentative d"une fonctionfdont une

expression algébrique est de la formef(x) =a(x)2+. (a) Que désignexdans la situation qui nous intéresse? (b) Préciser l"ensemble de définition de la fonctionf. (c) Tracer la courbe defpour des valeurs dea,,prises au hasard puis faire varier ces valeurs pour que les deux courbes semblent se superposer. (d) Pour quelle position du pointMl"aire du quadrilatèreMNPQsemble-t-elle minimale?Thalès

Fiche d"identité-Niveau: seconde;

-Logiciel: géométrie dynamique; -Type d"utilisation: TP en classe. -Objectifs: conjecturer, démontrer. -Apport des TICE: construction d"un lieu géométrique -Compétences travaillées: triangles semblables, paraboleÉnoncé

Expérimentation

1. Dans une feuille geogebra, définir les pointsO(0;0),I(1;0),A(x;0)etC(1;x(A)).

2. Définir ensuite le pointBpoint d"intersection de la droite(OC)et de la perpendiculaire enAà l"axe des

abscisses. 4 stage TICE - Académie de Lyon - 2008-2009

3. Quel semble être le lieu des pointsBlorsqueAparcourt l"axe des abscisses?

Démonstration

1. Démontrer que les trianglesOABetOICsont des triangles semblables.

2. Déterminer la longueurABen fonction de l"abscissexAdu pointA.

3. Justifier que le lieu des pointsBest la parabole d"équationy=x2.Parabole et tangentes (première)

Fiche d"identité-Niveau: Première;

-Logiciel: Logiciel de géométrie dynamique; -Type d"utilisation: TP en salle informatique. -Objectifs: Conjecturer. -Apport des TICE:Expérimentation et conjecture

-Compétences travaillées: Coordonnées de points sur une courbe - équation de droite - Projection orthogonale - équation de

tangente.Énoncé

Première conjecture

1. Dans une feuille geogebra, tracer la courbe représentativePde la fonction carrée. Placer un point mobile

Asur la parabole, d"abscisse non nulle .

2. Placer le pointLprojeté orthogonal deAsur l"axe des ordonnées puis le symétriqueBdeLpar rapport

àă l"origineOdu repère.

3. Quelle conjecture peut-on faire sur la droite(BA)?

Deuxième conjecture

SoitNle point de l"axe des ordonnées ayantApour projeté othogonal sur la droite(AB). Quelle conjecture

peut-on faire sur le segment[LN]lorsqueAparcourt la parabolePprivée de l"origine?Trinôme

Fiche d"identité- Niveau : Première

- Logiciel : Logiciel de géométrie dynamique (Géogébra) - Type d"utilisation : TP en salle informatique - Objectif : Conjecturer - Apport des TICE : Expérimentation et conjecture - Compétences travaillées : Notion de lieu géométrique - optimisation -fonction - Ouverture : Démonstration des conjecture en DMÉnoncé

ABCDest un rectangle tel queBC=53

AB. On désigne parMun point quelconque du segment[AB]. On note alorsN,P,Qles points situés respectivement sur[BC],[CD],[AD]tels que :

AM=BN=CP=DQ

5 stage TICE - Académie de Lyon - 2008-2009

L"aire du quadrilatèreMNPQvarie lorsque la position du pointMvarie sur le segment[AB]. On cherche àă

savoir s"il existe une position du pointMsur le segment[AB]telle que l"aire du quadrilatèreMNPQsoit pour

cette position inférieure àă toutes les aires du quadrilatèreMNPQobtenues en faisant prendre àăMtoutes les

positions sur le segment[AB].

Expérimentation

1. (a) Construire un rectangleABCD(AetBétant deux points libres ) tel queBC=53

AB. (b) Définir un pointMlibre sur[AB]puis définir les pointsN;P;Q. (c) Faire alors une première conjecture.

2. On impose maintenantAB= 6.

(a) Que vaut dans ce cas la longueurAD? (b) On veut définir le pointW(longueur du segment [AM]; Aire du quadrilatère MNPQ). Comment définir ce pointWdans la figure précédemment construite (sans modification)? (c) Tracer le lieu géométrique du pointWobtenu lorsqueMparcourt le segment[AB].

3. On admet que la courbe obtenue pour le lieu du pointWest représentative d"une fonctionfdont une

expression algébrique est de la formex7!a(x)2+. (a) Que désignexdans la situation qui nous intéresse? (b) Préciser l"ensemble de définition de la fonctionf. (c) Tracer la courbe defpour des valeurs dea,,prises au hasard puis faire varier les valeurs dea, etpour que les deux courbes semblent se superposer. (d) Pour quelle position du pointMl"aire du quadrilatèreMNPQsemble-t-elle minimale? 6quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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[PDF] Parabole et rapport daires - niveau 1

Comment réaliser une conjecture ?

Comment faire une conjecture en maths ?

Comment faire une conjecture d'un programme de calcul ?

Parabole et rapport d"aires - niveau 1

Fiche d"identité-Niveau: seconde

Expérimentation

1. Construire la figure à l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique.

2. Faire une conjecture sur le rapport des aires des trianglesABJetABK.

Démonstration

3. On se place dans le cas particulier où la droite (AB) est parallèle à l"axe des abscisses et oùa >0).

Expérimentation

1. Construire la figure à l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique.

2. Faire une conjecture sur le rapport des aires des trianglesEMLetMLJ.

3. Quelle conjecture peut-on en déduire sur le rôle de la droite(LM)dans le triangleELJ? Comment

4. Faire une conjecture sur le rapport des aires des trianglesEMLetEMK.

5. Quelle conjecture peut-on en déduire quant à la position du pointMsur le segment[KL]? Comment

6. Démontrer les conjectures faites dans les questions précédentes.

Parabole et rapport d"aires - niveau 2

Expérimentation

1. Construire la figure à l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique.

2. Faire une conjecture sur l"expression des coordonnées deKen fonction deaetb.

3. Faire une conjecture sur le rapport des aires des trianglesABJetABK.

Démonstration-DM

4. SoitOMNun triangle dont un sommet est le pointOorigine du repère. Démontrer que l"aireSdu triangle

OMNest donnée par la formule :S=12

5. En déduire que l"aireSd"un triangle CDE est donnée par :S=12

6. Démontrer la conjecture établie.Parabole et tangente - 1

Fiche d"identité-Niveau: première;

Expérimentation

1. A l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.

2. Émettre, à l"aide du logiciel, une conjecture à propos de la tangente àPenR.

Démonstration-DM

3. Démontrer la conjecture faite.

Énoncé - version 2

Expérimentation

1. A l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.

2. Émettre, à l"aide du logiciel, une conjecture sur la position du pointRde la parabole tel que la tangente

àPenRsoit parallèle à(PQ).

Démonstration-DM

3. Démontrer la conjecture faite.Énoncé - version 3

Expérimentation

1. A l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.

2. Émettre, à l"aide du logiciel, une conjecture à propos de l"abscisse du pointS.

3. On noteRle point de la parabolePayan t même abscisse que S. Que peut-on dire de la tangente àPen

Démonstration-DM

4. Démontrer les conjectures faites.Parabole et tangente - 2

Fiche d"identité-Niveau: première;

Expérimentation

1. A l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, construire la figure.

2. Émettre, à l"aide du logiciel, une conjecture à propos de la droite(BA).

3. Quelle conjecture peut-on faire sur le segment[LN]lorsqueAparcourt la parabolePprivée de l"origine?

Varignon

Fiche d"identité-Niveau: première;

Expérimentation

1. (a) Construire le rectangleABCD.

2. On impose maintenantAB= 6.

3. On admet que la courbe obtenue pour le lieu du pointWest représentative d"une fonctionfdont une

Fiche d"identité-Niveau: seconde;

Expérimentation

1. Dans une feuille geogebra, définir les pointsO(0;0),I(1;0),A(x;0)etC(1;x(A)).

2. Définir ensuite le pointBpoint d"intersection de la droite(OC)et de la perpendiculaire enAà l"axe des

3. Quel semble être le lieu des pointsBlorsqueAparcourt l"axe des abscisses?

Démonstration

1. Démontrer que les trianglesOABetOICsont des triangles semblables.

2. Déterminer la longueurABen fonction de l"abscissexAdu pointA.

3. Justifier que le lieu des pointsBest la parabole d"équationy=x2.Parabole et tangentes (première)

Fiche d"identité-Niveau: Première;

Première conjecture

1. Dans une feuille geogebra, tracer la courbe représentativePde la fonction carrée. Placer un point mobile

Asur la parabole, d"abscisse non nulle .

2. Placer le pointLprojeté orthogonal deAsur l"axe des ordonnées puis le symétriqueBdeLpar rapport

àă l"origineOdu repère.

3. Quelle conjecture peut-on faire sur la droite(BA)?

Deuxième conjecture

Fiche d"identité- Niveau : Première

ABCDest un rectangle tel queBC=53

AM=BN=CP=DQ

Expérimentation

1. (a) Construire un rectangleABCD(AetBétant deux points libres ) tel queBC=53