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Mathématiques financières

RAPPELS DE MATHÉMATIQUE

1. Identité remarquable :

i(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 i(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 i(a + b) * (a -b) = a2 - b2

1. Équation du second degré

Pour résoudre l'équation ax2 + bx + c = 0 (avec a, b et c des réels et a ≠ 0), on doit d'abord

calculer le discriminant ∆ = b2 - 4ac i∆ > 0 : l'équation admet deux solutions distinctes réelles i∆ = 0 : l'équation admet une solution réelle double x' = x'' = - b / 2a i∆ < 0 : l'équation n'admet pas de solution dans R

3. Puissances

ix-m = 1/xm ixm *xn = xm+n i(xm)n = xmn ixm/xn = xm-n = 1/xn-m

4. Logarithme

iLog (ab) = Log a + Log b iLog (a/b) = Log a - Log b iLog ab = b Log a iLog e = 1 iLog 1 = 0 iLog (1/a) = - Log a 1

Mathématiques financières

CHAPITRE I

Les opérations financières à court terme

I.L'INTÉRÊT SIMPLE

1. Notion d'intérêt

Nous pouvons définir l'intérêt comme étant le loyer d'argent, et le taux d'intérêt comme la

rémunération d'un capital généralement à base 100 DA, pendant une unité de temps habituellement

une année.

La personne qui prête de l'argent à autrui est désignée sous le nom de " créancier » et celle qui

en emprunte est appelée " débiteur ».

2. Formule fondamentale de l'intérêt simple

Le montant de l'intérêt est proportionnel à la somme du capital prêté, à la durée du prêt et au

taux du placement.

La formule de calcul des intérêts simples diffère selon que la période est donnée en années,

jours ou mois. a-Lorsque la durée du placement est exprimée en années

Si la durée du placement est exprimée en années, la formule de calcul de l'intérêt est comme

suit :

I = C.t.n / 100

Où :

HI : le montant de l'intérêt.

HC : le montant du capital prêté.

Hn : la durée du placement (ici en année).

Ht : le taux de placement pour une unité de 100 DA et une période d'une année.

Exemple :

L'intérêt dégagé par un capital de 10 000 DA, prêté pour 2 années, au taux de 7 %, est de

1 400 DA, qui correspond à : (10 000 * 7 * 2) / 100

b-Lorsque la durée du placement est exprimée en mois : Si la durée du placement est exprimée en mois (n/12 de l'année), la formule de calcul de l'intérêt est alors comme suit :

I = C.(t/100).(n / 12) = (C.t.n) /1 200

Exemple :

L'intérêt fourni par un capital de 20 000 DA, prêté pour 9 mois, au taux de 6 %, est de 900

DA. Ce montant (I = 900 DA) correspond à : (20 000 * 6 * 9) / 1 200 c-Lorsque la durée du placement est exprimée en jours :

Lorsque la durée du placement est exprimée en jours (n/360), la formule de calcul de l'intérêt

s'écrit comme suit :

I = C.(t/100).(n / 360) = (C.t.n) /36 000

2

Mathématiques financières

Exemple :

Un capital de 50 000 DA, placé à 8% pendant 55 jours, Nous fournit un montant égal à 611,1111

DA. Ce montant (I = 611,1111 DA) correspond à : (50 000 * 8 * 55) / 36 000

3. Calculs sur la formule fondamentale

Par fois, nous sommes appelés à chercher l'une des trois quantités de la formule fondamentale

(C, t, n) autre que l'intérêt I. Alors, la formule fondamentale permet, et sans difficultés, de retrouver

ces inconnues. Si la durée du placement (n) est exprimée en jours, par exemple, nous pouvons écrire :

I = (C.t.n) /36 000

C = (36 000.I) / (t.n)

t = (36 000.I) / (C.n) n = (36 000.I) / (C.t)

4. La valeur acquise (v)

La valeur acquise d'un capital placé est la somme du capital initial et des intérêts produits par ce

même capital à la fin de l'échéance. V = C + I <=> V = C + (C.n.t /36 000) <=> V = C + [(C.n) / (36 000/t)] <=> V = C + (C.n / D) sachant que D = 36 000 / t N.B. Le revenu annuel est la somme des intérêts produits par un capital pendant une année.

Exemple :

La valeur acquise par un capital de 20 000 DA, placé à 7% durant 54 jours, est donnée comme suit : V = C + (C.t.n / 36 000) = 20 000 + (20 000 * 7 * 54 / 36 000) = 20 000 + 210 = 20 210 DA

5. Taux moyen d'une série de placements effectués simultanément

Nous appelons taux moyen d'une série de placements effectués en même temps le taux unique

" T » qui, appliqué aux capitaux placés et pour leurs durées respectives, conduirait au même intérêt

total. Soit, par exemple, k placements effectués simultanément aux conditions suivantes :

CapitauxTauxDurée

C1t1n1

C2t2n2

Cktknk

3

Mathématiques financières

Le taux moyen " T » est alors donné par la résolution de l'équation suivante :

(C1 T n1 / 36 000) + (C2 T n2 / 36 000) + ... + (Ck T nk /36 000) = (C1 t1 n1 / 36 000) + (C2 t2 n2 /

36000) + ... + (Ck tk nk /36 000)

<=> T * (C1 n1 + C2 n2 + ... + Ck nk = (C1 t1 n1 + C2 t2 n2 + ... + Ck tk nk) <=> T = Σ Ci ti ni / ΣCi ni N.B. Nous remarquons que cette formule de calcul du taux moyen est carrément indépendante de l'unité dans laquelle est exprimé la durée du placement.

6. Intérêt précompté / taux effectif du placement

Le paiement des intérêts est généralement effectué le jour du remboursement du capital placé, et

c'est le cas de toutes les formules précédemment dégagées. Cependant, il est possible que les

intérêts soient versés le jour même du placement : c'est les intérêts précomptés.

Dans le cas des intérêts précomptés, les fonds engagés nous procurent un taux de placement

(taux effectif T) supérieur au taux d'intérêt stipulé dans le contrat de prêt.

Exemple :

Soit un capital de 20 000 DA, placé à intérêt précompté, à un taux de 7% et pour une période

d'un an.

L'intérêt reçu immédiatement par le prêteur s'élève à : 20 000 * 7 * 1 / 100 = 1 400 DA.

Ainsi, le capital réellement engagé n'est que 20 000 - 1 400 = 18 600 DA.

A la fin de 'échéance, le prêteur recevra un capital de 20 000 DA, et gagnera de la sorte 14 00 DA

en n'ayant engagé que 18 600 DA. Le taux effectif sera donc tel que : I = (18 600 * T * 1) /100 = 1 400 <=> T = 7,52.

II.ESCOMPTE ET ÉQUIVALENCE DE CAPITAUX (court

terme)

1. Notion d'effet de commerce

Le 20/11/05, une personne " A » vend un lot de marchandises à une autre personne dite " B » pour un montant de 60 000 DA, le règlement interviendra le 25/02/06.

L'existence de cette créance est concrétisée par l'établissement d'un document commercial

appelé effet de commerce (billet à ordre ou lettre de change). En effet, " A » peut demander à

" B » :

-soit de souscrire un billet à ordre, i.e. une promesse écrite quant au règlement de 60 000 DA

à la date du 25/02/06 ;

-soit d'apposer sa signature sur une lettre de change après avoir indiqué la banque qui effectuera le paiement (domiciliation). Maintenant, " A » est en mesure de demander à son banquier une avance (15/12/05), en la garantissant par un effet de commerce prouvant la créance qu'elle a sur " B ».

Illustrations :

17/11/052011/0515/12/0525/02/06

Date de création de

l'effetDate de négociationDate d'échéance 4

Mathématiques financières

Billet à ordre :

Lettre de change (traite)

5Maison " A »Béjaïa, le 20/11/05 BP DA 60 000

Cité Tobal

Béjaïa

Contre cette lettre de change, veuillez payer à l'ordre de :

Maison " A »

La somme de : SOIXANTE MILLE DINARS

Tiré

Ets " B » Tazmalt-Béjaia

Domiciliation

C.P.A. Béjaïa

Agence 307

N° 08TIMBRE

Accepté

" B »ACCEPTATION

OU AVAL

Signature du tireur

" A »Banque de l'agriculture et du développement rural Société par actions au capital de (2. 200. 000. 000) deux milliards deux cent millions de dinars ayant son siège à Alger

17, Bd Colonel Amirouche- Alger - R.C. N° 89 B 66 Alger

R. C. Alger 89 B 66

..............................., le ........................ B.P. DA ...........................................

À ...................................................... Payer : .............................. contre ce billet,

à l'ordre de la BANQUE D'AGRICULTURE ET DE DÉVELOPPEMENT RURAL la somme

de ..................................................................................................................Somme en toutes lettres et en Dinars Algériens

Valeur reçue : ......................................................................................................

Souscripteur

Domiciliation

CA 19 -

Mathématiques financières

Le tireur : c'est le créancier " A » (et c'est lui qui rédige la traite). Le tiré : qui doit payer l'effet à l'échéance. Ici c'est le débiteur " B ».

Domiciliation : banque, où le tiré a un compte, et laquelle payerait la traite à échéance.

Valeur nominale : c'est le montant porté sur l'effet de commerce.

2. L'opération commerciale d'escompte (crédit d'exploitation)

C'est une opération par laquelle le tireur sollicite son banquier à lui avancer le montant de

l'effet avant la date d'échéance, en contre-partie d'une rémunération appelée escompte commercial.

L'escompte est donc le prix du service rendu par le banquier.

En effet, l'escompte est l'intérêt calculé à un taux t, de la valeur nominal de l'effet, pour n jours

qui sépare la date de négociation de l'effet de celle de son échéance. Ce nombre de jours est

considéré comme la durée du prêt consenti par le banquier. L'escompte commerciale sera alors donné par la formule : ec = V.t.n / 36 000 ou ec = Vn / D

Où :

Hec : escompte commercial.

Hn : la durée qui sépare la date de négociation de l'effet de celle de son échéance.

Ht : le taux d'escompte.

Exemple :

Le 22 août une personne se présente à son banquier pour qu'il lui escompte un effet de

commerce à échéance du 30 novembre et de nominal égal à 12 000 DA. Taux d'escompte : 9 %.

Puisque le nombre de jours qui séparent la date de négociation (22/08) de la date d'échéance

(30/11) est de 100 jours, l'escompte commercial est de : (12 000 * 9 * 100) / 36 000 = 300 DA.

3. Valeur actuelle commerciale

En effet, l'escompte commercial est une opération d'intérêt précompté ; le banquier retient

immédiatement l'escompte. Autrement dit, il remet à son client un montant égal à (V - e), au

moment de l'escompte. Ce montant, qui est la différence entre la valeur nominale de l'effet de commerce et son escompte commercial, est dit valeur actuelle commerciale. En contre-partie, le

banquier encaissera le total de la valeur nominale, inscrite sur l'effet, à la date d'échéance.

En désignant par Va la valeur actuelle commercial, nous écrirons : Va = V - ec <=> Va = V - (V.n / D) <=> Va = V. [(D - n) / D]

4. Notion d'escompte commercial et d'escompte rationnel

ec = Vn / D

Va = V - ec

0er = Vr.n/D = [VD/(D+n)].(n/D)

0er = Vn/(D+n)

V = Vr + er = Vr + [Vr.n/D] => V = Vr.[(D+n)/D] => Vr = VD/(D+n)

Exemple

Soit effet de commerce de valeur nominale 80 000 DA, de nombre de jours à couvrir 60 est escompté au taux de 3%. Avant de passer aux calculs nous allons énumérer les données que nous disposons :

V = 80 000DA

6

Mathématiques financières

n = 60 jours t = 3%

D = 36 000 / 3 = 12 000

a) Escompte commercial : * ec = Vn / D = 80 000 * 60 / 12 000 = 400 DA * Va = 80 000 - 400 = 79 600 DA a) Escompte commercial : * er = (Vn) / (D + n) = (80 000 * 60) / (12 000 + 60) = 398,0099 DA * Vr = V - er = 80 000 - 398,0099 = 79 601,99 DA

5. Équivalence d'effets de commerce ou de capitaux

Deux effets de commerce (V1, V2) d'échéance (n1, n2) sont dits équivalents si et seulement si à

une date quelconque (date d'équivalence) les deux effets auront la même valeur actuelle commerciale.

En effet, V1<=> V2 => Vc1 = Vc21

De 1 nous avons : V1 - ec1 = V2 - ec2

<=>V1 - (V1 * n1 / D) = V1 - (V1 * n2 / D) <=>V1 (D - n1 / D) = V2 (D - n2 / D) <=> V2 = V1 [(D-n1) / (D-n2)] Mais, il est nécessaire de souligner quelques remarques qui concernent tout particulièrement le problème de la date d'équivalence :

ila date d'équivalence, si elle existe bien sûr, est toujours antérieure à la date d'échéance de

l'effet d'échéance la plus proche (la première dans l'ordre chronologique), car il n'est possible de négocier un effet que s'il n'est pas échu ;

ila date d'équivalence doit être postérieure aux dates de création des effets donné, et ce, pour

qu'elle ait une signification ;

iil peut y avoir une infinité de solution (le cas où les effets ont une même valeur nominale et

une même date d'échéance) comme il ne peut y avoir aucune ;

Exemple

Soit deux effet de commerce, de valeurs nominales respectives 98 400 DA et 99 000, et d'échéances respectives 31 octobre et 30 novembre, négociés au taux d'escompte de 7,2%.

Avant de procéder à tout calcul nous permettant de chercher la date d'équivalence, nous devons

remarquer que cette date ne peut être que antérieure au 31 octobre.

Désignons par x le nombre de jours qui séparent la date d'équivalence cherché du 31 octobre, et

donc par (x + 30) le nombre de jours séparant cette date d'équivalence du 30 novembre. Vc1 = Vc2 <=>V1 - [(V1 * x) / D] = V1 - (V1 * [(x+30)] / D] avec D = 36 000 / 7,2 = 5 000 <=> 98 400 - [(98 400 * x) / 5 000] = 99 000 - (99 000 * [(x+30)] / 5 000] <=> (99 000 x - 98 400 * x) / 5 000 = 99 000 - 98 400 - ( 99 000 * 30 / 5 000] <=> 60 x = (60 * 5 000) - (99 000 * 30) <=> 60 x = 3 000 <=> x = 50 Ainsi, la date d'équivalence cherchée se situe à 50 jours avant le 31 octobre, soit au 11 septembre (où les deux effets ont une même valeur égale à 97 416 DA). 7

Mathématiques financières

6. L'échéance commune

Soit V1, V2, ...,Vn plusieurs effets de commerce d'échéances respectives n1, n2, ..., nn. On appelle l'échéance commune celle d'un effet de remplacement dit effet unique (V) qui remplace

l'ensemble des effets précédents tel que sa valeur actuelle n'est que la somme des valeurs actuelles

commerciales des effets remplacés.

En effet :

Vc = Vc1 + Vc2 + ... + Vcn => V - (VN/D) = (V1 - V1n1/D + V2 - V2n2/D+ ... + Vn - Vn nn/D) => V*[1 - (N/D)] = (V1 + V2 + ... + Vn ) * [(V1n + V2n + ... + Vn n)/D] => V*[1 - (N/D)] = Σ Vi - (Σ Vi ni / D)

Exemple 1

Nous voulons remplacer les 03 effets suivants par un effet unique à échéance du 30 novembre :

i8 600 DA à échéance du 20 octobre i12 000 DA à échéance du 31 octobre i24 000 DA à échéance du 15 novembre

Taux d'escompte 5%

Calculons la valeur nominale d'un effet unique si la date d'équivalence (de renouvellement) est le

10 octobre.

Nous avons comme données :

V1 = 8 600 DA ; V2 = 12 000DA ; Vn = 24 000 DA ;

n1= 19 jours ; n2 = 30 jours ; nn = 45 jours ;

N = 60 jours ; t = 5% ; D = 7 200

1/1020/1031/1015/1130/15

Date d'équivalenceV1V2V3V = ?

Pour faciliter les calculs nous allons utiliser le tableau qui suit :

ViNieci = (Vi ni / D)

8 600198 600 * 19 / 7 200 = 22,69 DA

12 0003012 000 * 30 / 72 000 = 50 DA

24 0004524 000 * 45 / 72 000 = 150 DA

44 600Σ Vi ni / D = 222,69 DA

V*[1 - (N/D)] = Σ Vi - (Σ Vi n / D)

0V*[1 - (60/72 000)] = 4 460 - 222,69

0V* (0,99166) = 44 75023,31

0V = 44 7523,31/0,99166 = 44 750,23 DA

Exemple 2

Le 10 juin, nous remplaçons les 03 effets suivants par un effet unique de valeur 14 320 DA : i6 600 DA à échéance du 25 juin i3 600 DA à échéance du 10 juillet i4 000 DA à échéance du 30 juillet 8

Mathématiques financières

Calculons l'échéance de cet effet unique si le taux d'escompte 5%

Nous avons comme données :

V1 = 6 600 DA ; V2 = 3 600 DA ; V3 = 4 000 DA ;

n1= 15 jours ; n2 = 30 jours ; n3 = 50 jours ; t = 5% ; D = 7 200 ; N = ?

ViNieci = (Vi ni / D)

6 600156 600 * 15 / 7 200 = 13,75 DA

3 600303 600 * 30 / 72 000 = 15 DA

4 000504 000 * 50 / 72 000 = 27,77 DA

14 200Σ Vi n / D = 56,52 DA

V*[1 - (N/D)] = Σ Vi - (Σ Vi n / D)

014 320*[1 - (N/7 200)] = 14 200 - 56,52

01 - (N/7 200) = 14 143,48 / 14 320 = 0,987673

0N = (1 - 0,9876) * 7 200 = 88 jours

L'échéance commune est celle du 10 juin + 88 jours, soit le 07 août.

7. L'échéance moyenne

On appelle échéance moyenne de plusieurs effets de commerce, l'échéance commune de ces

effets, dans le cas où la valeur nominale de l'effet unique est égale à la somme des valeurs

nominales des effets remplacé.

V= Σ ViN = ?

V1V2 ........................Vn

V = V1 + V2 + ... + Vn => Vc = Vc1 + Vc2 + ... + Vcn De 1 => V - (VN/D) = V1 - (V1 n1 / D) + V2 - (V2 n2 / D) + ... +Vn - (Vn nn / D) => V - (VN/D) = (V1 + V2 + ... +Vn) - [(V1n1 + V2n2 + ... + Vnn)/D] => N = (Σ Vi ni )/ V

Exemple 2 :

Déterminons l'échéance moyenne des effets suivants : i4 000 DA à échéance du 30 avril i6 000 DA à échéance du 30 mai i10 000 DA à échéance du 19 juin Calculons l'échéance de cet effet unique si le taux d'escompte 5%

30/0430/0519/06

V1 = 4 000V2 = 6 000 DA V3 = 10 000 DA

Solution 1 :

Soit le 30 avril la date d'équivalence

Nous avons comme données :

V1 = 4 000 DA ; V2 = 6 000 DA ; V3 = 10 000 DA ;

n1= 0 jours ; n2 = 30 jours ; nn = 50 jours ; 9

Mathématiques financières

N = ?

V = V1 + V2 + V3 => V = 20 000

=> (V-VN) / D = (V1 + V2 + ... +Vn) - [(Σ Vi ni )/ D] =>VN = Σ Vi ni =>N = [(Σ Vi ni) / V = (4 000 * 0 + 6 000 * 30 + 10 000 * 50) / 20 000 = 34 jours Donc, l'échéance moyenne est le 03 juin (le 30 avril + 34 jours)

Solution 2 :

Soit le 31 mars la date d'équivalence

Nous avons comme données :

V1 = 4 000 DA ; V2 = 6 000 DA ; V3 = 10 000 DA ;

n1= 30 jours ; n2 = 60 jours ; nn = 80 jours ; N = ?

V = V1 + V2 + V3 => V = 20 000

VN = Σ Vi ni

=> N = [(Σ Vi ni) / V = (4 000 * 30 + 6 000 * 60 + 10 000 * 80) / 20 000 = 64 jours Donc, l'échéance moyenne est le 03 juin (le 31 mars + 64 jours)

Conclusion

Le choix de la date d'équivalence n'a aucun effet sur le résultat

8. Pratique de l'escompte / agio

À l'occasion de l'opération d'escompte le banquier opère, en plus de l'escompte, d'autres retenues sur la valeur nominale d'un effet ; l'ensemble de ces retenues constitue l'agio. L'agio, comprend : l'escompte commercial, différentes commissions et la TVA. Mais, aux yeux

du banquier escompteur, seul l'agio hors taxe qui compte ; car cette TVA est déductible du montant

de la taxe qu'il aura ensuite à verser. Pour ce qui est des commissions nous pouvons distinguer deux sortes : iLes commissions proportionnelles au temps, qui se calculent comme l'escompte. Donc, elles

sont proportionnelles à la valeur nominale de l'effet escompté, à la durée qui sépare la date de

négociation de la date de l'échéance de l'effet ainsi qu'au taux attaché à ces commissions.

iLes commissions indépendantes du temps, qui sont proportionnelles seulement à la valeur nominale de l'effet et au taux. Ajoutons que certaines commissions sont fixes, donc indépendantes du nominal de l'effet et du nombre de jours restant à courir à celui-ci.

Exemple de calcul de l'agio hors taxe :

Le 4 juillet on porte à l'escompte un effet de nominal 6 000 DA, à l'échéance du 31 juillet.

Conditions :

-taux d'escompte : 10,5% ; -commissions proportionnelles au temps : 0,6% ; -commissions indépendante du temps : 1/8 % ;

Calculons l'escompte :

n = 27 jours ec = (6 000 * 10,5 * 27) / 36 000 = 47,25 Commissions proportionnelles au temps = (6 000 * 0,6 * 27) / 36 000 = 2,70 Commissions indépendante du temps = 6 000 * (8/100) = 7,50

Donc :

10

Mathématiques financières

Agio hors taxe = 47,25 + 2,70 + 7,50 = 57,45

Valeur nette de l'effet = 60 000 - 57,45 = 5 942,55 DA, et c'est la somme qui sera mise par le banquier à la disposition de son client

III.SÉRIE D'EXERCICES N° 1

Exercice 1

Monsieur Dadi veut partager une somme d'argent de 42 000 DA en deux parts inégales sur

deux de ses enfants. Le premier place son capital qui représente un tiers (1/3) à un taux t1 et le

second place son capital au taux t2. Placés pendant 100 jours, ces deux capitaux ont produit ensemble 1 225 DA d'intérêts. Sachant que le taux t2 est double de t1, calculer les deux taux.

Exercice 2

Deux capitaux s'élèvent ensemble à 45 940 DA. Ils sont placés à des taux différents et ont

produit en deux ans un intérêt de 4 405 DA. Le premier surpasse le deuxième de 8 140 DA et rapporte 501,5 DA d'intérêt de plus par an.

Calculer les deux capitaux et les deux taux.

Exercice 3

La valeur actuelle au 25 août d'un effet escompté commercialement à 9 % s'élève à 7 868

DA. Si l'effet avait été escompté 30 jours avant son échéance l'escompte aurait été inférieur de 72

DA à l'escompte supporté dans la première hypothèse. Retrouver la valeur nominale de l'effet et son échéance.

Exercice 4

La somme et le produit de l'escompte commercial et l'escompte rationnel d'un même effet négocié au taux de 4% sont respectivement de : 450,05 DA et 51 536,26 DA.

Calculer :

il'escompte commercial et l'escompte rationnel ; il'échéance de cet effet (n) ; ila valeur nominale de l'effet (V)

Exercice 5

Trois effets de commerce :

i2 000 DA au 20/05/N ; i3 500 DA au 19/06/N ;quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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