[PDF] droites orthogonales dans l'espace

DEFINITION: deux droites de l'espace sont orthogonales quand en un point de l'espace, leurs parallèles sont perpendiculaires. En fait on parle de droites orthogonales pour des droites qui n'ont pas de point d'intersection : elles ne sont pas coplanaires.
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  • Qu'est-ce que deux droites orthogonales ?

    Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles respectives passant par un même point sont perpendiculaires.
    Exemple : On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH : Les droites (AB) et (CG) sont orthogonales car la parallèle (DC) à (AB) est perpendiculaire en C à (CG).

  • Comment savoir si deux droites sont perpendiculaires dans l'espace ?

    On rappelle que deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes et que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
    Les vecteurs directeurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est égal à zéro.
    Le produit scalaire donne ( 2 , 1 , ? 2 ) ? ( 5 , 4 , 7 ) = 2 × 5 + 1 × 4 + ( ? 2 ) × 7 = 0 .

  • Comment démontrer qu'une droite est orthogonale au plan ?

    Pour montrer qu'une droite (d) est orthogonale à un plan (P), il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).
    Et réciproquement : Si (d) est orthogonale à (P) alors : tout vecteur directeur de (d) est colinéaire à un vecteur normal de (P).

  • Comment démontrer qu'une droite est orthogonale au plan ?

    Orthogonalité et produit scalaire.
    Deux vecteurs sont orthogonaux, si et seulement si, leur produit scalaire est égal à .
    En effet : u ? ? v ? si, et seulement si, ( u ? , v ? ) = ± ? 2 si, et seulement si, ? ( u ? , v ? ) = 0 si, et seulement si, u ? ? v ? = 0 .

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