[PDF] Fiche démonstration Si deux angles alternes-internes

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Fiche démonstrationAngles5°

Démonstration de la propriété :

Si deux angles alternesinternes sont déterminés par deux droites parallèles et une sécante, alors il sont égaux. Les angles x'Az et yBz'sont alternes-internes.

Soit I le milieu de [AB]. Les angles

x'AzetyBz'sont symétriques par rapport à I. Or, la symétrie centrale conserve les mesures d'angles. Donc x'Az= yBz'.

Démonstration de la propriété :

Si deux angles correspondants sont déterminés par deux droites parallèles et une sécante, alors il sont égaux.

Les angles

z'Axet z'By sont correspondants. Les anglesz'Axetx'Azsont opposés par le sommet, donc ils sont de même mesure.

Or, les angles

x'Az et z'By sont de même mesure car symétriques par rapport à I milieu de [AB]. Donc z'Ax=z'Byx'x y'yz' zA BI

Démonstration de la propriété :

Si deux angles alternes-internes sont de même mesure, alors les deux droites coupées par la sécante sont parallèles .

Par hypothèse, BAH=ABH'.

On trace la perpendiculaire à (yy') passant par B : elle coupe (yy') en H. On trace la perpendiculaire à (xx') passant par A : elle coupe (xx') en H'. Les deux triangles ABH' et ABH ont deux angles de même mesure, le troisième est donc le même.

Par conséquent

H'ABBAH=H'ABH'BA=90°car ce sont les deux angles aigus d'un triangle rectangle. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elle sont parallèles entre elles.

Donc (xx') // (yy').x'x

y'yz' zABH' H Fiche démonstrationAnglesdu parallélogramme5°

Démonstration de la propriété :

Deux angles consécutifs d'un parallélogramme sont supplémentaires. Dans le triangle ABD : ABD + BAD + ADB = 180°

Dans le triangle CBD :

CBD + BCD + CDB = 180° Or les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux, donc BAD = BCDDe même

Dans le triangle ABC :

ABC + ABD + CAB = 180°

Dans le triangle ADC :

ADC + ACD + CAD = 180° Or les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux, donc

ABC = ADCSi on fait la somme de 2 angles consécutifs du parallélogramme, on obtient :

ABC + BCD = 180-ACB-CAB+180-CBD-CDBOr CBD = ABD car ils sont alternes-internes et déterminés par deux parallèles (AB) et (DC) et une sécante (BD), et CAB = ACD car ils sont alternes-internes et déterminés par deux parallèles (AB) et (DC) et une sécante (AC). d'où ABC + BCD = 360-(ACB + ACD + BDA + CDB) = 360 - ( BCD + ADC)

Ce qui revient à écrire :

ABC + BCD + BCD + ADC = 360° ABC + BCD + BCD + ABC = 360°car les angles opposés sont égaux

Soit 2×

ABC+2×BCD=360° soit ABC + BCD = 180°quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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