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1 c1

Pr´esentation du cours d"Analyse Fonctionnelle

Analyse Fonctionnelle signifie ici analyse sur des espaces de fonctions. Il s"agit d"un domaine des math´ematiques qui s"est d´evelopp´e dans la premi`ere moiti´e du 20`eme si`ecle grˆace en particulier aux travaux de M.

Fr´echet, S. Banach, D. Hilbert.

L"analyse classique enseign´ee jusqu"en licence porte essentiellement sur des espaces de dimension finie surRouC. Cela convient par exemple pour r´esoudre des ´equations diff´erentielles lin´eaires. Pour r´esoudre des ´equations plus compliqu´ees : ´equations diff´erentielles non lin´eaires, ´equations int"egrales, ´equations aux d´eriv´ees partielles, les solutions sont `a rechercher `a priori dans des espaces vectoriels de dimension infinie. Le calcul de solutions explicites ´etant souvent hors de port´ee on cherche `a d´ecrire la structure de ces solutions par leur appartenance `a des espaces adapt´es au probl`eme pos´e. L"´etude de la stabilit´e am`ene naturellement `a consid´erer des espaces munis de topologies d´efinies par des normes, des semi-normes ou des distances. Un exemple spectaculaire de l"efficacit´e de l"analyse fonctionnelle a ´et´e l"introduction des espaces de Sobolev (1935) et l"invention par L. Schwartz de la th´eorie des distributions (1945-1950). Ces espaces ont permis de faire de grands progr`es dans la r´esolution des probl`emes d"´equations aux d´eriv´ees partielles et fournissent les principaux outils encore utilis´es ac- tuellement dans ce domaine aussi bien pour les ´etudes th´eoriques que num´eriques. D"un point de vue purement math´ematique ont peut aussi voir l"analyse fonctionnelle comme une extension `a la dimension infinie de la g´eom´etrie euclidienne en dimension finie. Le passage de la dimension finie `a la dimension infinie n"est pas toujours facile car on perd une partie de l"intuition g´eom`etrique. Alors que sur un espace vectoriel de dimension finie il y a une seule topologie "raisonnable", sur un espace de dimension infinie on doit souvent consid´erer plusieurs topologies simultan´ement. C"est l"une des difficult´es `a surmonter pour le d´ebutant qui devra s"entrainer `a cet exercice sur les exemples propos´es dans le cours et en travaux dirig´es. Comme souvent en math´ematiques l"´etude de nouvelles structures est indissociable de l"´etude des transformations entre les espaces. Ici nous

´etudierons donc les propri´et´es des transformations lin´eaires continuesentre espaces vectoriels munis de topologies.

Ce domaine d"apparence abstraite a beaucoup d"applications concr`etes, notamment en physique quantique. C"est d"ailleurs en partie pour donner un cadre math´ematique adapt´e `a la th´eorie quantique que D. Hilbert et J. von Neumann ont d´evelopp´e la th´eorie des op´erateurs lin´eaires dans les espaces de Hilbert. Pour terminer cette introduction je voudrais insister sur le point sui- vant. L"analyse fonctionelle ´etudie des concepts g´en´eraux, parfois loin de l"in- tuition g´eom´etrique, mais dont l"efficacit´e a ´et´e prouv´ee depuis presque un si`ecle. Pour se familiariser en profondeur avec ses m´ethodes il faut constamment faire des aller-retour entre les concepts, les r´esultats g´en´eraux, d"une part, et les exemples qui les ont motiv´es d"autre part. Autrement dit il est indispensable pour comprendre le cours de r´esoudre des probl`emes ou exercices (c"est bien sˆur vrai pour l"ensemble des math´ematiques!). Les exemples et les probl`emes d"analyse fonctionnelle utilisent souvent la th´eorie de l"int´egration et l"analyse de Fourier. C"est pourquoi le dernier chapitre du cours (c6) est une annexe rappelant les principaux r´esultats utiles sur ces sujets. Dernier conseil : un cours ne s"apprend pas n´ecessairement de fa¸con lin´eaire. Apr`es une premi`ere lecture, on peut commencer `a faire des exer- cices puis revenir sur le cours pour l"approfondir puis retour sur les exer- cices et ainsi de suite. Il ne faut jamais perdre de vue quefaire des math´ematiques c"est poser et r´esoudre des probl`emes. Je recommande aussi pour compl´eter le cours, la lecture au moins par- tielle, des livres mentionn´es dans la bibliographie ou d"autres que vous trouverez `a la BU.

Plan du coursc1.Espaces de Banach

c2.Espaces de Hilbert c3.Applications lin´eaires et espaces de Hilbert c4.Dualit´e et application lin´eaires c5.´ Equations int´egrales-Th´eorie de Fredholmc6.Annexe : Int´egration et Analyse de Fourier. 2

Bibliographie pour l"ensemble du cours

1.H. Br´ezis Analyse fonctionnelle th´eorie et applications Masson fr Pa-

ris 1983 Collection Mathematiques Appliqu´ees pour la Maˆıtrise2.J. Dieudonn´e. El´ements d"analyse. T. I -fondements de l"analyse mo-

derne Gauthier-Villars fr Paris 1968.3.F. Riesz, B. Nagy. Le¸cons d"analyse fonctionnelle Akademiai Kiado

hu Budapest 1955 Acadmie des Sciences de Hongrie4.W. Rudin, Analyse r´eelle et complexe, ´edition Masson, 1975.

5.S. Banach. Th´eorie des op´erations lin´eaires, Chealsea publishing com-

pany.6.S. Lang, Analysis II Addison-Wesley publishing company us Massa- chusetts 1969 Addison-Wesley series in mathematics.

Nantes, le 20 juillet 2005, Didier ROBERT

email : didier.robert@univ-nantes.fr 3

Chapitre 1. Espaces de Banach

1.1 Espaces vectoriels norm´es

Dans ce chapitre tous les espaces vectoriels consid´er´es seront sur le corps Rdes nombres r´eels ou le corpsCdes nombres complexes.¯λd´esigne le

nombre complexe conjugu´e deλ?C.Kd´esigneRouC.D´efinition 1.1SoitEun espace vectoriel surK. On appelle semi-norme

surEtoute applicationu?→ ?u?deEdans[0,+∞[v´erifiant : (N-1)?λu?=|λ|?u? ?λ?K,?u? E (N-3)?0?= 0. On appelle norme toute semi-norme v´erifiant de plus : (N-4)?u?= 0?u= 0. (condition de s´eparation) On appelle espace vectoriel norm´e tout espace vectoriel surKmuni d"une norme. Tout espace vectoriel norm´eEest muni d"une distance canonique (d(u,v) =?u-v?qui en fait un espace m´etrique et donc un espace topologique. Une semi-norme d´efinit ´egalement une topologie qui n"est pas n´ecessairement s´epar´ee. Les ouvertsUde cette topologie sont ca- ract´eris´es par la propri´et´e suivante :

?u? U,?ε >0,{v? E ?u-v?< ε} ? UD´efinition 1.2 (normes ´equivalentes)SoientEun espace vectoriel

surKet 2 normes surE,? • ?1,? • ?2. On dit qu"elles sont ´equivalentes s"il existec >0,C >0telles que Deux normes ´equivalentes d´efinissent deux m´etriques ´equivalentes et donc des topologies identiques surE. Les exemples suivant seront trait´es en exercice. On consid`ere l"espace vectorielKn,n≥1 entier. Pouru= (u1,···,un)?Kn, on pose?u?p= (|u1|p+···+|un|p)1/p, pourp≥1 r´eel et sip=∞,?u?∞= max{|u1|,···,|un|}. Pour toutp?[1,+∞],? • ?psont des normes surKn´equivalentes entre- elles.SoitKun espace compact. On d´esigne parCK(K) l"ensemble des fonc- tions continues surK`a valeurs dansK. On pose, pourf? CK(K), ?f?∞= sup x?K|f(x)|. ∞. On d´efinit ainsi une norme surCK(K). SurCR([0,1]) on peut ´egalement consid´erer?f?1=?1

0|f(x)|dx.? • ?1

est une norme.? • ?1et? • ?∞sont des normes comparables mais non ´equivalentes. C"est un ph´enom`ene propre `a la dimension infinie, puisqu"en

dimension finie on a le r´esultat suivant.Proposition 1.3Sur tout espace vectorielEdedimension finietoutes les

normes sont ´equivalentes.

D´emonstration: voir exercice td1.

On sait que la boule unit´e ferm´ee d"un espace vectoriel de dimension finie

est compacte. Inversement on aTh´eor`eme 1.4SoitEun espace vectoriel norm´e. Si la boule unit´e ferm´ee

deEest compacte alorsEest de dimension finie.

D´emonstration:

D´esignons parBla boule unit´e deEet parB(a,r) la boule de centreaet de rayonr. Il r´esulte de la compacit´e, qu"il existea1,···,an?Btels que B?? D´esignons parVle sous-espace vectoriel engendr´e par{a1,···,an}. Mon- trons queV=E. Raisonnons par l"absurde. Supposons qu"il existe b? E,b /?V. OrVest ferm´e (c"est une cons´equence de l"´equivalence des normes surV) donc dist(b,V) =δ >0. Il existe doncc?Vtel b=c+?b-c?u=c+?b-c?ai+?b-c?(u-ai)

3δ/4, ce qui contredit la d´efinition deδ.??D´efinition 1.5On appelle espace de Banach surKtout espace vectoriel

norm´e{E,? • ?}complet pour la m´etrique associ´ee `a la norme. 4 Par exemple, on montrera en exercice queKn,n≥1 entier est un espace de Banach ainsi queCK(K) pour la norme? • ?∞. Pour faire de l"analyse efficace il est souvent pr´ef´erable de travailler dans des espace de Banach. On peut s"y ramener en raison du r´esulat de compl´etion suivant, cons´equence du th´eor`eme de compl´etion des espaces

m´etriques vu en Licence.Th´eor`eme 1.6Soit(E,? • ?)un espace vectoriel norm´e. Il existe alors

un espace de BanachˆE, muni d"une norme?| • |?, unique `a isom´etrie bijective pr`es et une isom´etriej;Ej→?Etels quej(E)est dense dansˆE.

1.2 Applications lin´eaires continues

Consid´erons deux espaces de Banach,Ei,?•?i,i= 1,2 et une application lin´eaireA:E1→ E2.Proposition 1.7Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : (i)Aest continue surE1. (ii)Aest continue en 0.

D´emonstration:

Il suffit de montrer que (ii) entraˆıne (iii), les autres propri´et´es ´etant imm´ediates. Il r´esulte de la continuit´e en 0, qu"il existeη >0 tel que Maintenant pouru?= 0 on applique l"in´egalit´e pr´ec´edente `av=u?u?1ηet on obtient (iii) avecC=1η On d´esigne parL(E1,E2) l"ensemble des applications lin´eaires deE1dans E

2. Suivant la proposition pr´ec´edente, on pose

Ces ´egalit´es se v´erifient facilement.Proposition 1.8L(E1,E2)est un espace vectoriel et?•?est une norme

surL(E1,E2). SiE2est un espace de Banach alorsL(E1,E2)est un espace de Banach.D´emonstration: Il est clair queL(E1,E2) est un espace vectoriel. Le lecteur v´erifiera que ? • ?est une norme. Montrons queL(E1,E2) est complet. Soit{An}une suite de Cauchy dansL(E1,E2). Alors pour toutu? E1, A nuest une suite de Cauchy dansE2et converge donc vers un ´el´ement not´eAudeE2. On v´erifie facilement queAest une application lin´eaire. Montrons queAest continue. PosonsC= supn?An?.C <+∞car toute converge versAau sens de la norme? • ?. Pour toutε >0; il existeNεtel que pour toutu? E1et tousn,m≥Nε on a :

En faisant tendremvers l"infini, on obtient

Un cas particulier important est celui o`uE2=K.D´efinition 1.9On appelle dual topologique de l"espace vectoriel norm´e

El"espace de BanachE?=L(E,K)des formes lin´eaires continues surE.

1.3 Op´erations sur les espaces de Banach

Dans cette section nous ´etudions les op´erations suivantes sur les espaces de Banach : produits (et applications multilin´eaires), quotients, sommes directes.Proposition 1.10 (produit)Soientnespaces de Banach,E1,···En. Le produit cart´esienE1× ··· × Enest un espace de Banach pour la norme ?u?= max{?u?1,···,?u?n}, o`uu= (u1,···,un),uj? Ej. Une telle norme est appel´ee norme produit et d´efinit surEla topologie produit. Les projectionsπk:E → Ek,πk(u) =uksont des applications lin´eaires, Toute applicationT, n-lin´eaire, deEdans un espace vectoriel norm´eG, est continue si et seulement s"il existeC >0telle que pour tousuj? Ej, 5

D´emonstration:

( Le lecteur la fera `a titre d"exercice au moins pour le casn= 2).?? Un cas particulier important de structure produit est le cas d"une somme

directe dans une espace norm´e.D´efinition 1.11SoientF,Gdeux sous-espaces vectoriels deEtels que

E=F?G. On dit que que l"espace norm´eEest la somme directe topologiqe deFet deG(munis de la norme induite) si l"application(u,v)?→u+v est bicontinue deF×GsurE. Dans ce cas on dit queFetGsont suppl´ementaires topologiques l"un de plication(A1,A2,···,An)?→An-1·An-2··· ·A1estn-lin´eaire continue de L(E1,E2)× L(E2,E3)× ··· × L(En-1,En) dansL(E1,En)et on a

D´emonstration:

On commence par le casn= 3et c"est alors une cons´equence de la d´efinition de la norme d"une application lin´eaire. On conclut par une r´ecurrence surn.??Proposition 1.13 (quotient)SoientEun espace de Banach etGun sous espace vectoriel ferm´e deE. Alors l"espace quotientE/Gest un espace de Banach pour la norme quotient d´efinie par ?|u|?= inf{?v?;v?u}= d(u,G) o`uud´esigne classe d"´equivalence deu? E, etd(u,G)d´esigne la distance deu`aG(i.ed(u,G) = inf{?u-v?, v? G}).

D´emonstration:

On a clairement inf{?v?;v?u}= d(u,F). On en d´eduit facilement que ?| • |?est une semi-norme. OrG´etant ferm´e, on en d´eduit (exercice de Licence) que d(u,G) = 0 si et seulement siu? G. On en d´eduit alors que?| • |?est une norme. Le lecteur montrera en exercice queE/Gest complet.?? Cette proposition s"´etend facilement au cas des espaces vectoriels munis d"une semi-norme pour en faire un espace norm´e (comme par exemple

pour les espacesLp(Ω,A,μ) en th´eorie de l"int´egration, voir Annexe).Proposition 1.14SoitEun espace semi-norm´e pour une seminorme

| • |. AlorsN={u? E,|u|= 0}est un sous-espace vectoriel ferm´e de Eet l"espace quotientE/Nest un espace vectoriel norm´e pour la norme quotient d´efinie par ?u?= inf{|v|;v?u}= d(u,N) E/Nest appel´e espace vectoriel norm´e s´epar´e associ´e `aE. Si de plusEest complet pour la semi-norme| • |(la notion de suite de Cauchy conserve un sens et complet signifie que toute suite de Cauchy admet au moins une limite) alorsE/Nest un espace de Banach.

1.4 S´eries et familles sommables dans les espaces de Ba-

nach Ce paragraphe sera d´evelopp´e dans le chapitre suivant sur les espaces de Hilbert. Il est motiv´e par des applications diverses : exponentielle d"ap- plications lin´eaires, inversibilit´e, r´esolvantes et spectres. Dans ce paragraphe on fixe un espace de BanachEpour une norme? • ? et Λ un ensemble non vide qui joue le rˆole d"un ensemble d"indices (la plupart du temps Λ sera un ensemble fini ou d´enombrable :(N,Z).)

On d´esigne par Φ[Λ] l"ensemble des parties finies de Λ.D´efinition 1.15On dit que la famille{uα}α?Λd"´el´ements deEest

sommable, de sommeS? E, si la condition suivante est r´ealis´ee : ?ε >0;?Bε?Φ[Λ],tel que{C?Φ[Λ], Bε?C} ? ?S-?

α?Cu

On montrera en exercice que{α?Λ,?uα? ?= 0}est d´enombrable et que l"on peut donc se ramener au cas o`u Λ est d´enombrable. Pour les familles de nombres r´eels posititifs on a la caract´erisation sui-

vante qui se d´emontre comme pour les s´eries.Proposition 1.16Soit{uα}α?Λune famille de nombres r´eels positifs.

Alors elle est sommable si et seulement si on a

S ∞= sup??

α?Au

α, A?Φ[Λ]?

etS∞est la somme de la famille. 6 D´efinition 1.17On dit que la famille{uα}α?Λd"´el´ements deEest ab- solument sommable (ou normalement sommable) si{?uα?}α?Λest une

famille sommable de nombres r´eels.Th´eor`eme 1.18Dans un espace de Banach toute famille absolument

sommable est sommable.

D´emonstration:

On a remarqu´e que l"on peut supposer Λ d´enombrable. On peut alors ´ecrire Λ =?n≥1Λn, o`u Λnest une suite croissante de parties de Λ de cardi- naln. Posons alorsSn=? j?Λnuj. Par hypoth`ese on a? j?Λ?uj?<+∞. On en d´eduit facilement queSnest une suite de Cauchy, donc convergente. PosonsS= limn→+∞Sn. Il faut maintenant prouver que la famille est bien sommable de sommeS.

Soitε >0. Il existeNε>0 tel que

j?Λnu Soit alorsC?Φ[Λ] telle que ΛNε?C. Il existep?Ntel queC?ΛNε+p. En utilisant l"in´egalit´e triangulaire, on d´emontre alors que j?Cu

1.5 Op´erateurs inversiblesD´efinition 1.19On dit qu"une application lin´eaire continueA? L(E)

est inversible siAest une bijection deEsur lui mˆeme et siA-1est continue1. On d´esigne parI(E)l"ensemble des applications lin´eaires inversiblesAde EdansE.Remarque 1.20I(E)est un groupe pour le composition des applica- tions.1 on verra plus loin que pour les espaces de Banach cette derni`ere condition est superflueTh´eor`eme 1.21SoitEun espace de Banach. (i) SiA? L(E)et?A?<1alors1l-Aest inversible et on a (1l-A)-1=? n≥0A n,(1.3) la s´erie ´etant normalement convergente. (ii)I(E)est une partie ouverte deL(E).

D´emonstration:

est bien normalement convergente. PosonsB=? n≥0A n. En utilisant la continuit´e de la composition on obtient queB(1l-A) = (1l-A)B= 1l. SoientA? I(E) etD? E. On aA+D=A(1l +A-1D). Or on a inversible si?D?Le point de d´epart est la d´efinition suivante.D´efinition 1.22SoientA? L(E),E´etant un espace de Banach surC.

On appelle ensemble r´esolvant deA, l"ensemble not´eρ(A)des nombres complexesλtels queA-λ1l? I(E). L"applicationλ?→(A-λ1l)-1est appel´ee r´esolvante deA.

On appelle spectre deAl"ensembleσ(A) =C\ρ(A)Proposition 1.23(i)ρ(A)est un ouvert deCetσ(A)est une partie

(ii) On a les identit´es suivantes (A-λ1l)-1-(B-λ1l)-1= (A-λ1l)-1(B-A)(B-λ1l)-1;(1.4) siλ?ρ(A)∩ρ(B) (A-λ1l)-1-(A-μ1l)-1= (λ-μ)(A-λ1l)-1(A-μ1l)-1,(1.5) siλ,μ?ρ(A) En particulierλ?→(A-λ1l)-1est d´erivable (donc holomorphe) surρ(A) `a valeurs dansL(E)et l"on a ddλ (A-λ1l)-1= (A-λ1l)-2(1.6) 7

D´emonstration:

ρ(A) est un ouvert deCr´esulte de la proposition pr´ec´edente.σ(A) est donc ferm´e. D"autre part si|λ|>?A?alors (A-λ1l) =λ(λ-1A-1l) est donc inversible d"apr`es le Th´eor`eme (1.21) d"o`u il r´esulte queσ(A)? {λ?

C,|λ| Les 2 identit´es de (ii) r´esultent d"un calcul facile.??

1.6 Espace des fonctions continues sur un espace compact

On d´esigne parC(K,K) l"espace de Banach des fonctions continues sur

K`a valeurs dansK,K´etant un espace m´etrique compact.Th´eor`eme 1.24 (Stone-Weierstrass)L"espace des polynˆomes `a coef-

ficients dansKest dense dansC([0,1],K)pour la norme? • ?∞. Plus g´en´eralement, siAest une sous-alg`ebre deC(K,K)v´erifiant : i)1? A ii)As´epare les points deKc"est `a dire que pour toutx,y?K,x?=y, il existef? Atel quef(x)?=f(y).

AlorsAest dense dansC(K,R).

PourK=Cle r´esultat subsiste en supposant de plus que sif? Aalors¯f? A.

D´emonstration:

Le cas complexe r´esulte facilement du cas r´eel. On suppose donc dans la suite queK=R. On suppose d"abord queK= [0,1]. Plusieurs d´emonstrations sont connues (voir Exercice). Nous choisissons ici une preuve probabiliste tr`es

´el´egante.

Soitf? C[0,1]. Introduisons la suite de polynˆomes de Bernstein def d´efinie par B nf(x) =? knf?kn x k(1-x)n-k. Montrons queBn(f) converge uniform´ement versfsur [0,1]. probabilit´e binomiale de param`etres (n,x). SoitXune variable al´eatoire d´efinie sur un espace muni d"une probabilit´ePsuivant la loi binˆomiale

(n,x). L"esp´erance deXestE[X] =nxet sa varianceV[X] =nx(1-x).L"in´egalit´e de Tch´ebichev implique alors que pour toutη >0 on a

{k,|x-k/n|≥η}C

On peut alors estimer

kn? ???f(x)-f?kn ????xk(1-x)n-k. en s´eparant la somme en deux paquetsI1={k,|x-k/n| ≥η}etI2= {k,|x-k/n|< η}. On majore le premier paquet en utilisant (1.7), ce qui donne x,y?[0,1] Or on sait quef´etant continue sur le compact [0,1] est uniform´ement continue, on en d´eduit donc de (1.8) la conclusion cherch´ee.

Passons maintenant au cas g´en´eral.

On d´esigne parAl"adh´erence (fermeture) deAdansC(K). Commen¸cons

par ´etablir un lemme.Lemme 1.25Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes,Aest une sous-alg`ebre de

C(K)poss´edant en outre les propri´et´es suivantes : sif?Aalors|f| ?A. Pour toute famille finie deA,{f1,···,fn}on a : max{f1,···,fn} ?Aetmin{f1,···,fn} ?A

D´emonstration du Lemme:

En utilisant la continuit´e des op´erations de multiplication et d"addition, on montre facilement queAest une sous-alg`ebre deC(K). a|f|=?f

2. D"apr`es ce qui pr´ec`ede, on sait que la fonctiont?→⎷tsur

[0,1], est limite uniforme d"une suite de polynˆomespn(t). Il en r´esulte que g n(x) =pn(f(x)) converge uniform´ement surKvers|f|. Orpn◦f?A en raison de la propri´et´e d"alg`ebre. Soientf1,f2?A. Rappelons les formules connues suivantes max{f1,f2}=f2+f1-f2+|f1-f2|2(1.9) min{f1,f2}=f2+f1-f2- |f1-f2|2(1.10) 8 D"o`u l"on d´eduit max{f1,f2} ?Aet min{f1,f2} ?A. On termine par r´ecurrence surn.?? La d´emonstration du th´eor`eme se fait alors par ´etapes successives. Etape I. Soientx,y?Ketα,β?R. Il existef? Atelle quef(x) =α,quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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