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Franck Boyer
Master Mathématiques et Applications
Première année
Aix-Marseille Université
13 décembre 2015
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franck.boyer@univ-amu.fr iiF. BOYER- VERSION DU13DÉCEMBRE2015
TABLE DES MATIÈRESiii
Table des matières
I Objectifs. Rappels. Bestiaire3
I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3II Espaces métriques. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5II.1 Espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5II.1.a Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 II.1.b Espaces compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.1.c Fonctions continues, uniformément continues, Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . 10II.1.d Caractérisations séquentielles des propriétés topologiques dans un espace métrique . .
12 II.1.e Suites de Cauchy. Complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.2 Espaces vectoriels normés. Espaces préhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19II.2.a Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20II.2.b Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22II.2.c Espaces de Banach et de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III Opérations élémentaires sur les espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25III.1 Espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25III.2 Espaces vectoriels normés quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27IV Principaux espaces que l"on peut rencontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29IV.1 Les espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29IV.1.a Propriétés essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29IV.1.b Caractérisation de la dimension finie. Théorème de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . .
30IV.1.c Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
IV.2 Espaces de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32IV.2.a Espaces de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
IV.2.b Espaces de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
V Espaces vectoriels semi-normés; espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45II Théorèmes fondamentaux dans les espaces métriques complets 49
I Théorème du point fixe de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49I.1 Enoncé, preuve, variantes et commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49I.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51I.2.a Inversion d"applications Lipschitziennes. Inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . 51
I.2.b Equations intégrales de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54I.2.c Les théorèmes de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55I.2.d Théorème d"Hartman-Grobman global pour les systèmes dynamiques discrets . . . . . 59
II Théorème de Baire et premières applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63II.1 Enoncé et preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63II.2 Applications élémentaires classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64III Théorème de Banach-Steinhaus et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66IV Théorème de l"application ouverte et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69V Théorème du graphe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70III Espaces de fonctions continues73
I Densité d"espaces remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73II Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77II.1 Le théorème d"Ascoli et ses conséquences immédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77II.2 Le théorème de Montel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79II.3 Le théorème de Kolmogoroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80II.4 Quelques applications importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81F. BOYER- VERSION DU13DÉCEMBRE2015
ivTABLE DES MATIÈRESIV Analyse Hilbertienne87I Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87II Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91III Théorème de représentation et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94IV Compacité faible dans les Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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