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Sujets et corrigés des DS
de mathématiques et d"informatiqueBCPST1A lycée Hoche 2016-2017
Sébastien Godillon
Table des matières
Sujet du DS n
o1 (mathématiques, 3h) 3Corrigé du DS n
o15Exercice 1 (nombres réels, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Problème 1 (logique, ensembles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6Exercice 2 (nombres réels, équations, inéquations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10Problème 2 (logique, quantificateurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12Exercice 3 (étude de fonctions, ensembles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15Sujet du DS n
o2 (mathématiques, 3h) 18Corrigé du DS n
o220Exercice 1 (équations, inéquations, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20Problème 1 (produit, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22Exercice 2 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25Problème 2 (ensembles, logique, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27Exercice 3 (applications, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33Sujet du DS n
o3 (mathématiques et informatique, 4h) 35Corrigé du DS n
o340Problème 1 (informatique, suites, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40Problème 2 (applications, ensembles, dénombrement, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47 BCPST1A lycée Hoche 2016-2017 1 sur 151 Sébastien Godillon
Sujet du DS n
o4 (mathématiques et informatique, 4h) 60Corrigé du DS n
o463Exercice 1 (informatique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63Exercice 2 (matrices, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64Exercice 3 (équations différentielles, primitives, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . .
69Problème (suites, sommes, logique, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72Sujet du DS n
o5 (mathématiques, 3h) 78Corrigé du DS n
o580Exercice 1 (matrices, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80Exercice 2 (géométrie, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85Exercice 3 (géométrie, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87Problème (sommes, produits, suites, limites, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88Sujet du DS n
o6 (mathématiques et informatique, 3h) 97Corrigé du DS n
o6100Exercice 1 (informatique, suites, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100Problème 1 (probabilités, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100Exercice 2 (matrices, polynômes, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104Problème 2 (études de fonctions, limites, continuité, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . .
107Sujet du DS n
o7 (mathématiques, 3h) 113Corrigé du DS n
o7115Questions de cours (variables aléatoires, lois usuelles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 15Exercice (sous-espaces vectoriels, systèmes linéaires, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116Problème (suites, études de fonctions, continuité, dérivabilité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123Sujet du DS n
o8 (mathématiques et informatique, 3h) 131Corrigé du DS n
o8134Exercice 1 (variables aléatoires, dérivées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134Exercice 2 (développements limités, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 36Exercice 3 (intégrales, étude de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138Problème 1 (informatique, intégrales, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140Problème 2 (applications linéaires, matrices, familles de vecteurs) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 43BCPST1A lycée Hoche 2016-2017 2 sur 151 Sébastien Godillon
DS n o1 de mathématiques durée : 3 heuresExercice 1
On considère le nombre réel suivant :
x=3q20 + 14 p2 +3q2014p2:
1. Déterminer un couple (;)2R2tel quexvérifie une égalité du typex3=x+. 2. Mon trerqu"il existe (a;b;c)2R3tel que8X2R; X3X= (Xa)(X2+bX+c). 3.Simplifier x.
Problème 1
Pour tout ensembleAN, on notep(A)le produit des éléments deA, ainsi :p(f2;3;7g) = 237 = 42. Et pour tout ensembleEN?, on notes(E)la somme de tous les1p(A)oùAdécrit l"ensemble des parties non vides deE, ainsi :s(f4;2g) =14 +12 +142=78. Le but de ce problème est de calculers(J1;nK)pour tout entiern>1, où on rappelle queJ1;nKdésigne l"intervalle d"entiersf1;2;3;:::;ng. 1.
Calculer s(J1;nK)pour :
(a)n= 1; (b)n= 2; (c)n= 3. 2. P ourcette question, on fixe un en tiern>1et on suppose ques(J1;nK) =n. On pose : E1=P(J1;nK)n f;getE2=fAJ1;n+ 1Kj(n+ 1)2Ag
où on rappelle queP(J1;nK)désigne l"ensemble des parties deJ1;nK. (a) Da nscette question, on considère le cas où n= 2. DécrireE1etE2puis reconnaîtreE1[ E2. (b) Donner la somme s1de tous les1p(A)oùAdécritE1. (c)Mon trerque E2=ffn+ 1gg [ fB[ fn+ 1g jB2 E1g.
(d) i. Soit A=B[ fn+ 1goùB2 E1. Exprimerp(A)en fonction dep(B). ii.Mon trerque la somme de tous les
1p(A)oùAdécritfB[ fn+ 1g jB2 E1gvauts1n+ 1.
iii. En déduire la somme s2de tous les1p(A)oùAdécritE2. (e) Prouv erque E1etE2forment une partition deP(J1;n+ 1K)n f;g. (f)En déduire s(J1;n+ 1K).
3. Conclure. BCPST1A lycée Hoche 2016-2017 3 sur 151 Sébastien GodillonExercice 2
Le but de cet exercice est de résoudre l"équation suivante d"inconnuex2R: b pxc=jx2 k :(E) 1. Mon trerque si x2Rest solution de (E) alorsxest solution du système d"inéquations suivant : 8< :px < x2 + 1 x2 1Conclure.
Problème 2
On dit qu"une fonctionf:R!Rest continuesi et seulement si pour tout réel" >0et touta2R, il existe un réel >0tel quef(x)2]f(a)";f(a)+"[pour toutx2]a;a+[, autrement ditf:R!R est continue si et seulement si l"assertion suivante est vérifiée :8" >0;8a2R;9 >0;8x2R;jxaj< =) jf(x)f(a)j< ":(C)
1.Prouv erque la fonction f1:x7!x+ 42est continue.
2.On considère la fonction f2:x7!x2.
(a) Mon trerque 8(a;x)2R2;jf2(x)f2(a)j6jxaj(jxaj+ 2jaj). (b)Prouv erque la fonction f2est continue.
On dit qu"une fonctionf:R!Rest uniformément continuesi et seulement si pour tout réel" >0, il existe un réel >0tel quef(x)2]f(a)";f(a)+"[pour touta2Ret toutx2]a;a+[, autrement ditf:R!Rest continue si et seulement si l"assertion suivante est vérifiée :8" >0;9 >0;8a2R;8x2R;jxaj< =) jf(x)f(a)j< ":(UC)
3. Prouv erque la fonction f1:x7!x+ 42est uniformément continue. 4.On considère la fonction f2:x7!x2.
(a) É crire(a vecdes quan tificateurs)la négation de l"assertion (UC). (b) On fixe >0pour cette question. Montrer qu"il existe un réela >0tel quejf2(a+2 )f2(a)j>1. (c) Prouv erque la fonction f2n"est pas uniformément continue.Exercice 3
On considère l"ensemble suivant :
E=n f(x)jx20;2 o oùf:x7!xtan(x)1tan2(x) + 1:
1.Mon trerque f(x) =x+12
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