[PDF] Exercices sur le produit scalaire

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Premi`ereSExercices sur le produit

scalaire

Exercice 1 :

Sur les expressions du produit scalaire

Pour les sept figures suivantes, calculer

!AB!AC.Exercice 2 :

Sur les expressions du produit scalaire

Sur la figure ci-contre, on a tracé deux

cercles de centreOet de rayons respectifs 2 et 3. 1)

Calculer les produits scalaires sui vants:

a) !OI!OJ b) !OI!OKc) !OI!OB d) !OB!OApaul milan1/1017 mai 2011 exercicesPremi`ereS2)Prouv erque dans le repère ( O;!{ ;!|) les coordonnées deBsont32 et3p3 2 , puis calculer : a) !OA!AIb)!IA!IJc)!BK!BA

Exercice 3 :

Sur les expressions du produit scalaire

À chacune des figures ci-dessous, associer, parmi les égalités suivantes, celle qui donne le bon résultat du cacul de!AB!AC. a) !AB!AC=ABAC b)!AB!AC=AB2 c) !AB!AC=AB2d) !AB!AC=12 AB2 e) !AB!AC=0Exercice 4 :

Sur les expressions du produit scalaire

Quel théorème permet d"armer :

BA!BC=3 et!CA!BC=6Exercice 5 :

Sur les expressions du produit scalaire

On donne trois pointsA(4;1),B(0;5) etC(2;1).

1)

Calculer

!AB!AC. 2)

En déduire que cos

dBAC=1p5 et donner une mesure, à un degré près, dedBAC.paul milan2/1017 mai 2011 exercicesPremi`ereSExercice 6 :

Règles de calcul

En utilisant les renseignements portés

sur la figure ci-contre, calculer les produits scalaires suivants : a)!AB+!AH !AB b) !AH+!HC !AB c) !AH+!HB !AH+!HCExercice 7 :

Orthogonalité

Dans chacun des cas suivants, calculer

!u!ven fonction demet déterminer le réelm pour que!uet!vsoient orthogonaux. a) !u(5; 2) et!v(m;2) b)!u(m; 3m) et!v(2;m)c)!u(m4; 2m+1) et!v(2m; 3m)

Exercice 8 :

Orthogonalité

On donneA(4;1),B(1;2) etC(1;4).

1)

Caculer

!BA!BC 2)

En déduire la nature du triangle ABC

Exercice 9 :

Distance

On donne les trois pointsA(1;3),B(1;1) etC(3;2).

1)

Caculer BC, puis!BA!BC

2)

On note Hle projeté orthogonal deAsur (BC).

a)

Pourquoi

!BA!BC=!BH!BC? b)

Pourquoi Hest-il un point du segment [BC]?

c)

En déduire BHetHC.

Exercice 10 :

Distance

ABCDest un parallélogramme tel que :

AB=4;AD=2 et[BAD=60°paul milan3/1017 mai 2011

exercicesPremi`ereS1)Démontrer que : ( !AB+!AD)2=28 et (!AB!AD)2=12 2) En déduire les longueur ACetBD, et une mesure de l"angledBAC

Exercice 11 :

Application en physique

Intensité de la résultante

Soit un pointOsoumis à deux forces!F1

et!F2qui forme un angle de 50 degré. Les intensités des deux forces!F1et!F2sont respectivement 300 N et 200 N. Par défi- nition, la résultante des force est le vecteur!R=!F1+!F2 Calculer l"intensité de la résultante, à un newton près.Travail d"une force

Pour tirer sur 50 m de

OenAune péniche lé-

gère, un cheval, placé sur le chemin de halage exerce une force!Fd"intensité de

2000 newtons selon une

force de 45°avec la direc- tion du déplacement.1)Quel est le tra vailWde la force? 2)

Si la péniche est tirée par un bateau, sui vantl"ax edu déplacement, quelle est l"intensité

de la force qu"il faut exercer pour obtenir le même travail?

Exercice 12 :

Angle

1A,B,Csont trois points alignés dans cet ordre.Oest un point pris sur la perpendiculaire

enAà la droite (AB). Démontrer que :

OB!OC=!OA2+!AB!AC

2

Dans le cas de la figure ci-contre, calculer

l"angle.paul milan4/1017 mai 2011 exercicesPremi`ereSExercice 13 :

Ensemble de points

ABCDest un carré de côté 2 et de centreO. On noteIle milieu de [AB]. 1) Démontrer que l"ensemble des points Mtels que!AB!AM=2 est la droite (OI). 2) a)

Démontrer que

!MA!MB=MI21 b) En déduire que l"ensemble des points Mtels que!MA!MB=4 est le cercle de centreIpassant parC.

Exercice 14 :

Ensemble de points

AetBsont deux points tels queAB=6 etLkest l"ensemble des pointsMtels que!MA!MB=k. 1) Construire, si possible, Lkdans chacun des cas suivants : a)k=10b) k=5c) k=0d) k=7

2)Cest tel queABCest un triangle équilatéral. Comment choisirkpour queCsoint un

point deLk?

Exercice 15 :

Ensemble de points

ABCest un triangle rectangle enA.

1) Démontrer qu"il e xisteun unique point Mdistinct deAtel que!MA!MC=0et!MA!MB=0. 2)

Quel point particulier obtient-on ?

Exercice 16 :

Ensemble de points

ABCest un triangle quelconque.

1)

Construire sur la même figure :

a) l"ensemble E1des pointsMtels que :

MA!MB=0

b) l"ensemble E2des pointsMtels que :

AB!CM=0

2) Démontrer que E1etE2ont deux points communs si, et seulement si :

0 exercicesPremi`ereSExercice 17 :

Relations métriques dans un triangle

ABCest un triangle. Dans chacun des cas suivants, calculer les longueurs des côtés et les mesures des angles manquants.

1)AB=8,AC=3 etdBAC=60°.

2)AC=6p2,

dACB=45° etdBAC=105°.

3)AB=48,AC=43 etBC=35.

Exercice 18 :

Relations métriques dans un triangle

ABCest un triangle. Calculer les trois angles de ce triangle, dans chacun des cas suivants.

1)BC=32,AC=28 etAB=20

2)BC=42,AC=38 etAB=32

Exercice 19 :

Relations métriques dans un triangle

Dans la figure ci-contre, calculer :

1)

L "airedu triangle ABC.

2)

Le périmère du triangle ABC.Exercice 20 :

Relations métriques dans un triangle

Dans la figure ci-contre, calculer :

1)

La longueur de la médiane AI.

2) La longueur des deux autres médianes. Exercice 21 :

Relations métriques dans un triangle

L"aire d"un triangleABCest 5p3,AB=6 etdBAC=60°

1)

Calculer AC

2)

Démontrer que BC=p21

paul milan6/1017 mai 2011 exercicesPremi`ereSExercice 22 :

Relations métriques dans un triangle

ABCest un triangle tel queAB=6,AC=4 et!AB!AC=12p3. l"unité est le cm. 1)

T rouver,en radians, une mesure de l"angle

dBAC. 2)

T rouveren cm

2, l"aire du triangleABC.

Exercice 23 :

Relations métriques dans un triangle

1) a) En précisant le théorème utilisé, cal- culer cosdBAC b)

En déduire sin

dBAC 2)

Quelle est l"aire du triangle ABC?Exercice 24 :

Relations métriques dans un triangle

ABCDest un parallélogramme tel que :

AB=7AD=3AC=8

1) a)

Démontrer que

!AB!AD=3 b)

En calculant

!AB!ADd"une autre façon, trouver cos[BADet en déduire que : sin [BAD=4p3 7 2) a) Calculer l"aire du triangle BADen précisant le théorème utilisé. b)

En déduire l"aire du parallélogramme ABCD.

Exercice 25 :

Droite et produit scalaire

dest la droite d"équation : 3xy+5=0 1)

T rouverun v ecteurnormal à d.

2) T rouverune équation de la droite passant parA(1;2) et perpendiculaire àd.

Exercice 26 :

Droite et produit scalaire

Dans chacun des cas suivants, dites si les droitesdetd0sont perpendiculaires. a)d:x2y+4=0 etd0: 6x+3y7=0 b)d:y=2x+5 etd0:x2y+1=0 c)d: (1+p2)xy+3=0 etd0: (1p2)x+y=0paul milan7/1017 mai 2011 exercicesPremi`ereSExercice 27 :

Trigonométrie

1)

Vérifier que :

512
=6 +4 puis calculer cos512 et sin512 2)

Vérifier que :

1112
=23 +4 puis calculer cos1112 et sin1112

Exercice 28 :

Trigonométrie

Calculer cos2xdans chacun des cas suivants :

a) cos x=p3 3 b) cos x=35 c) sin x=13

Exercice 29 :

Trigonométrie

1)

Réduire les e xpressionssui vantes:

a)A(x)=cos7xsin6xsin7xcos6x b)B(x)=cosxcos2xsinxsin2x c)C(x)=cos3xsin2x+cos2xsin3x 2) Exprimer chacune des e xpressionssui vantesen fonction de sin xet cosx. a) sin x3 b)p2cos x+4 c)p2sin x4

3)xest un réel de l"intervallei0;2

h. a)

Réduire l"écriture de l"e xpression:

sin3xcosxsinxcos3x b)

En déduire que :

sin3xsinxcos3xcosx=2

Exercice 30 :

Formules d"addition et de duplication

aetbsont deux réels de l"intervalle 0;2 tel que : cosa=35 et sinb=12 1)

Calculer sin aet cosb.

2) En déduire cos( a+b) et sin(a+b).paul milan8/1017 mai 2011 exercicesPremi`ereSExercice 31 :

Formules d"addition et de duplication

aetbsont deux réels de l"intervalle 0;2 tel que : sina=12 et cosb=p6p2 4 1)

Calculer cos aet vérifier que sinb=p6+p2

4 2) a)

Calculer cos( a+b) et sin(a+b).

b)

En déduire ( a+b) puisb.

Exercice 32 :

Formules d"addition et de duplication

aest un réel de l"intervalle 0;2 tel que : cosa=q2+p3 2 1)

Calculer cos 2a

2) a)

A quel interv alleappartient 2 a

b)

En déduire a, en justifiant votre réponse.

Exercice 33 :

Formules d"addition et de duplication

aest un réel de l"intervallei0;4 h 1) a)

Démontrer que : (cos a+sina)2=1+sin2a

b)

En déduire que :

1+sin2acos2a=cosa+sinacosasina

2)

Sans calculer cos

8 et cos12 , déduire de la question précédente que : cos 8 +sin8 cos 8 sin8 =1+p2 et cos12 +sin12 cos 12 sin12 =p3 paul milan9/1017 mai 2011 exercicesPremi`ereSExercice 34 :

Triangle et cercle inscrit

Comme l"indique la figure ci-contre,

ABCest un triangle, le cercleCde centre

Oet de rayon 4 est le cercle inscrit tangent

enIà (AB). On aIA=8 etIB=6. 1) a)

Calculer : sin

bA2 et cosbA2 b)

Déduire que sin

bA=45 et cosbA=35 2)

De même, calculer sin

bBet cosbB. 3) a)

Démontrer que : cos

bC=cos(bA+bB) et sinbC=sin(bA+bB) b)

En déduire cos

bCet sinbC c)

En déduire les v aleurse xactesde CA

etCB.paul milan10/1017 mai 2011quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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