[PDF] FLEXION SIMPLE Chapitre 4 1. Définition 2. Etats limites 3. Etats

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Licence Professionnelle 2éme année Béton armé 1 Dr ABDOU Kamel

FLEXION SIMPLE

Chapitre 4

1. Définition

Un élément est soumis à la flexion simple lorsque les forces agissant sur lui (y compris les

rĠactions d'appuis), et situĠes ă gauche d'une section droites (S), peuvent être réduites, par

rapport au centre de gravité de (S), à un moment de flexion (M) d'adže perpendiculaire au

plan de symétrie de la section (fig.1 ), et à un effort tranchant (V) exercé dans le plan de la

section. On suppose aussi dans ce qui suit que les sections droites de ces éléments possèdent un axe de symétrie et que les forces qui leur sont appliquées sont symétriques par rapport à ce plan. V M GB Fig.1 Dan ce présent chapitre nous étudions en premier les effets du moment de flexion M (ELUR) et (ELS) ensuite ceudž de l'effort tranchant et ce en trois parties.

2. Etats limites

Les règles du BAEL prévoient que les calculs de béton armé seront conduits en application de

la théorie des états limites. condition requise pour remplir son objet est strictement satisfaite et cesse de l'ġtre en cas

On distingue les états limites ultimes (de résistance, stabilité de forme) et les états limites de

serǀice (de compression de bĠton, d'ouǀerture de fissure, de dĠformation) :

3. Etats limites ultimes (ELU)

Ils mettent en jeu la sécurité des biens et des personnes 2

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Ils correspondent au madžimum de la capacitĠ portante de l'ouǀrage ou d'un de ses ĠlĠments

par :

Rupture d'une ou plusieurs sections,

Instabilité de forme (flambement)

Critères de calcul sont :

Déformations relatives limites (ou courbure limites) Calculs de type " rupture » les lois réelles (idéalisées) ʍ - ɸ

4. Etats limites de service (ELS)

Ils sont liĠs audž conditions normales d'edžploitation et de durabilitĠ

Ouverture excessive des fissures,

Compression excessive du béton,

Déformation excessive des éléments porteurs

Critères de calcul sont :

Contraintes admissibles

5. Calcul de section relatif ă l'Etat Limite de RĠsistance

4.1 Hypothèses de calcul :

_ Les sections droites restent planes après déformation _ Il n'y a pas de glissement relatif entre les armatures et le bĠton _ Le diagramme des déformations de la section est linéaire ; les déformations normales (allongements et raccourcissement relatifs) sont donc, en chaque point, proportionnelles à la distance de cs point ă l'adže neutre. _ La résistance à la traction du béton est négligée. _ Les positions du diagramme des déformations de ls section correspondant à un état limite sont définies au paragraphe. 3

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Les diagrammes contraintes-dĠformations de calcul du bĠton et de l'acier sont ceudž dĠfinis

aux chapitres : Le raccourcissement unitaire du béton est limité à :

ɸbc = 3.5 %0 en flexion simple

ɸbc = 2 %0 en compression

L'allongement madžimal de l'acier tendu est limitĠ conǀentionnellement ă ɸs = 10 %0

_ Un groupe de barres disposées en plusieurs lits est équivalent à une barre unique, située

au centre de graǀitĠ du groupe, si l'erreur commise par les dĠformations au niǀeau des différents lits, ne dépasse pas 15%.

4.2 Diagramme des dĠformations ă l'ELU (règle des trois pivots) :

Traction ɸbc 2 %0 3.5 %0

A' 0' D' B

d y (1a) (1b) aa axe neutre C h (2a) (2b) (2c)

A ɸs = 10 %0

0 D

Fig.2 Diagramme des déformations

On note Y la distance de l'axe neutre à la fibre supérieure de la section, la valeur de Y détermine celui des domaines dans lequel est situé le diagramme limite. Ces domaines représentés sur la figure 2, sont définis de la façon suivante. 4

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Domaine 1, pivot A

Etat limite ultime atteint pour l'acier

Limite A A' traction pure ou simple, allongement des aciers ɸs = 10 %0 de la section Limite A O'B fledžion simple (1b), la valeur Y de l'adže neutre est donnĠe par les formules suivantes. Y с ɲ . d Si ɸbcс 2 й ї y с (2/2+10).d = 0.167.d Si ɸbcс 3.5 й ї y с (3.5ͬ3.5н10).d с 0.259.d

Domaine 2, pivot B

Etat limite ultime atteint pour le béton

Flexion simple ou composée zone (2a) ɸy ч ɸs ч 10 %0 ; ʍS = fe/ijS zone (2b) 0 ч ɸs ч ɸy ; ʍS = ɸs . ES zone (2c) ɸs > 0 acier faiblement comprimé La position de l'adže neutre est Ġgale ă : 0.259.d < y < h

Domaine 3, pivot C

Etat limite ultime atteint pour le béton

Limite D C D' compression simple, correspond à un raccourcissement ultime du béton ɸbc = 2%0 Flexion composée, 2%0 < ɸb < 3.5%0 ; la position de l'adže neutre est en dehors de la section ͗ Y ш h

4.3 Diagramme contraintes - déformations :

4.3.1 Aciers :

Le diagramme contraintes - dĠformations ă considĠrer dans le calcul ă l'Ġtat ultime est

conventionnellement défini par la fig.3, pour le calcul et les ǀĠrifications ă l'Ġtat limite de

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ʍS fe diag caractéristique fe/ijS

-10%0 arc tang ES ɸs

fe/ES. ijS 10%0 Fig.3 Diagramme contraintes-dĠformations de l'acier

diagramme conventionnel (diagramme caractéristique) par une affinité parallèle à la Loi de

Hooke et de rapport 1/ijS avec ijS = 1.15 dans le cas général et ijS = 1 dans le cas des

combinaisons accidentelles. sa déformation relative, il est régit par les expressions suivantes. Si ɸs ч fe/ ijS ES ĺ ʍS = ES. ɸs Si ɸs ш fe/ ijS ES ĺ ʍS = fe/ ijS

4.3.2 Bétons :

Pour le calcul ă l'Ġtat limite, on utilise pour le bĠton un diagramme non linĠaire dit

" Parabole rectangle » Fig.4 ou dans un but de simplification le " diagramme rectangulaire

équivalent ». Pour les ǀĠrifications ă l'Ġtat limite de service, le béton considéré comme

Le diagramme parabole-rectangle est constituĠ d'un arc de parabole depuis l'origine des d'ordonnĠe ʍbc = 0.85.fc28ͬɽ ijS 6

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ʍbc

ʍbc = 0.85.fc28ͬɽ ijb

2%0 3.5%0 ɸbc

Fig.4 Diagramme parabole rectangle

Si 0 ч ɸbc ч 2й0 ї ʍbc = 0.25.103. ɸbc(4-103 ɸbc) Si 2%0 ч ɸbc ч 3.5й0 ї ʍbc = 0.85.fc28ͬɽ ijb Le coefficient de sécurité ijb tient compte de : L'incertitude due ă la dispersion des mesures de rĠsistance effectuĠes sur les

éprouvettes.

résistance caractéristique définie à priori. ijb = 1.5 dans le cas de combinaisons fondamentales ijb = 1.15 dans le cas de combinaisons accidentelles Le coefficient 0.85 au numérateur et ɽ au dénominateur ont pour objet de tenir compte de charge. ɽ 1 0.9 0.85 Tableau 1 : Coefficients ɽ en fonction de la durĠe d'application des charges 7

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5. Equivalence du diagramme parabole rectangle et ou diagramme

rectangulaire De façon à permettre un calcul manuel simple, les règles BAEL admettent, lorsque la section diagramme rectangulaire simplifié définie de la façon suivante fig.5 AS' bo ɸbc ʍbc

A d' ɸs' 0.8y N's

d y Nb

Mu NS AS ɸs fig.5 Diagramme rectangulaire

Sur une distance de 0.8y ă compter de la fibre la plus comprimĠe, l'intensitĠ de la contrainte

est uniforme et égale à ʍbc ; ʍbc = 0.85.fc28ͬɽ ijb

6. Calcul des sections en flexion

diagramme rectangulaire simplifié : on obtient alors Soit une section sollicitée par un moment de flexion MU : Nb с ю ʍb(y) . b(y)dy compression du béton NS' с AS' ʍs' aǀec ʍs' с f(ɸs')

NS = AS ʍs avec ʍs' с f(ɸs)

Nb + NS'- NS = 0

MU = Nb.Z + AS' ʍs'(d-d') ; Nu = 0.8.y. ʍbc = 0.8.b. ɲ.d. ʍbc 8

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Sans armature comprimées :

Mu = 0.8.y.b0.ʍb.(d-0.4y) ; ʍbc = 0.85.fc28/ɽ ijb Mu = 0.8y.b0.ʍb.(d-0.4y) = 0.8.ɲ.d.b0.ʍbc.(d-0.4. ɲ.d)

Mu = 0.8.ɲ.d2.b0.ʍbc.(1-0.4. ɲ)

Posons : µ = Mr/b0.d2. ʍbc = 0.8.ɲ (1-0.4 ɲ)

Mu= µ . b0.d2. ʍbc

On constate que le moment réduit de la section est sans dimensions; ɲ с 0.259 ї µ = 0.187 donc l'Ġtat limite ultime est atteint Pivot B Si µ < 0.187 le domaine de déformation est situé dans le domaine 1 Pivot A Et l'allongement relatif de l'armature est de 10й0. Si µ > 0.187 le domaine de déformation est situé dans le domaine 2 Pivot B Si 0.187 < µ < µlimite on calcule la position de l'adže neutre

µ < µlimite section simplement armée :

µ = 0.8.ɲ (1-0.4 ɲ) en d'autres termes 0.32ɲ +0.8ɲ + µ le bras de levier est égale à Z = d.(1 - 0.4 ɲ)

Z/d = (1-0.4 ɲWt = (1-0.4 ɲ)

0.8.b. ɲ.d. ʍbc = AS ʍs ALORS AS = 0.8.b. ɲ.d. ʍbc / ʍs

Donc: ͻ AS = Mu ͬ Z. ʍs Z = ɴ.d

Alors : ɸs = (1 - ɲ / ɲ) . ɸbc

Si ɸsч ɸel ї ʍs = ES . ɸs cas µ > µlimite 9

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Si ɸs> ɸel ї ʍs = fe/ijs cas µ < µlimite

µlimite = 0.8. ɲl(1-0.4ɲl) ou ɲlimite = ɸbc/ ɸbc+ ɸe et ɸe=fe/ES. ijs

µ < µlimite section avec armatures comprimées : ɸs = (1 - ɲ /ɲ) . ɸbc ; ɸs' с (1 t d'/ɲd) . ɸbc

0.8.b0.ɲ.d+AS'ʍS'- AS ʍs = 0

Mu = 0.8.ɲ.d2.b0.ʍbc.(1-0.4. d)+ ʍS' AS'.(d-d') AS'с Mu - 0.4.b0.d2. ʍbc/ ʍS'.(d-d') ; ʍS' = fe/ijs

AS = AS'. quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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