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RÉDIGER UNE DÉMONSTRATION DE GÉOMÉTRIE

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  • Comment rédiger une démonstration en maths ?

    La structure d'une démonstration est toujours la même : Liste des hypothèses utiles – une seule propriété – une seule conclusion. En écrivant la propriété, vérifier que l'on a introduit clairement tout ce dont elle parle. La conclusion doit bien entendu se déduire directement de la propriété.

  • Comment faire une démonstration en géométrie ?

    Pour démontrer en géométrie, il faut suivre 3 étapes : • Les données (utiles) écrites dans l'énoncé ou codées sur la figure. La propriété écrite et encadrée dans le cours (parfois de 6ème). La conclusion : c'est la réponse au problème

  • Comment rédiger une rédaction en maths ?

    11 Introduire ce dont on parle. 22 Mettre en évidence les articulations logiques. 33 Annoncer ce que l'on fait. 44 Citer une définition ou un théorème. 55 Pas de mélange des genres. 66 Faire la différence entre f et f(x)77 Montrer une implication ou une équivalence.87.1 Montrer une implication.
  • Il y plusieurs types de démonstrations : par l'absurde, par le contre-exemple ou par probabilité Chacune de ces démonstrations obéit à des normes particulières.

Chapitre3

Elementspourcomprendre

etecriredesdemonstrations n'estpastoujoursclairementpercue. quelquesconseilsderedaction. \Soit:::",\Considerons:::".

1.1.Regledel'hypotheseauxiliaire

\demontrer(P=)Q)". parlareglesuivante:

Pourdemontrer(P=)Q):

1)onajoutePauxdonnees.

2)ondemontrequeQestvraie.

Exemple

k

0=2k2.Doncn2estpair.

demontreQ,letroisiemeestlaconclusion.

1.2.Regleduquelquesoit

Pourdemontrer(8x2E;P(x)):

x2E;

2)ondemontrequeP(x)estvraie.

Exemple

Demonstration-Soitxunnombrereel.

x

2+x+1>3.

Onabienleresultat.

Q

1.3.Regledescas

demontreedelaforme(AouB).Pourcela:

1)onsupposeAvraieetondemontreP;

{30{

COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS

ou(nonA)".

Exemple

Enonce-Soientx;y;desnombresreels,avec<0.

Montrerquel'onamax(x;y)=min(x;y).

max(x;y)=x.D'autrepart,onamin(x;y)=x.

Onadoncbienmax(x;y)=min(x;y).

max(x;y)=y.D'autrepart,onamin(x;y)=y.

Onadoncencoremax(x;y)=min(x;y).

Danslesdeuxcas,onal'egalitedemandee.

Laderniereligneestlaconclusion.

1.4.Nommerunobjet

n'apparaitpasdanslapropositionQ;

3)ondemontreQ.

Exemple

1=2a3=2:

d'ou1=2a3=2.Onabienleresultatdemande. {31{

1.5.Raisonnementparl'absurde

Principe-OnveutdemontrerP.Pourcela:

1)onajoute(nonP)auxdonnees;

Exemple

Onobtientunecontradiction.

pasderivableaupoint1.

1.6.Raisonnementparcontraposition

Elleluiestequivalente.

Exemple

doncbienleresultat.

1.7.Pourdemontreruneequivalence

Pourdemontrer(P()Q):

appeleelareciproquede(P=)Q)). contraposeede(Q=)P). {32{

COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS

Exemple

Enonce-Montrerquepourtoutxreel,(p

2x2+2=3+x)estequivalenta

(x2f1;7g):

Demonstration-Soitxunreel.

Supposonsque(p

x

26x7=0.Onobtientdonc(x2f1;7g):

doncp

2x2+2=100,doncp

2x2+2=10,et3+x=10doncp2x2+2=3+x.

Onabiendemontrel'equivalencecherchee.

2x2+2=3+x)etQ(x)la

proposition(x2f1;7g): soit.Ensuite,ondemontre(Q(x)()P(x)). cas.

Autreexemple:

doncn2n'estpasdivisiblepar4. montre(nonP=)nonQ) 2 plusexplicite. sacontraposeequiest((nonQ)=)(nonP)). d'applicationn5pourunexemple).

1.8.Pourdemontrer(QouR)

simpledeprendrelanegationdeRquedeQ. {33{

Exemple

pair.Onadoncbiennimpairoun2pair.

1.9.Raisonnementparrecurrence

OnnoteNl'ensembledesentiersnaturels.

RECURRENCESIMPLE

laproprieteestvraieenn0,

RECURRENCEFORTE

sontveriees laproprieteestvraieenn0, k+1, metteenevidencequ'elledependd'unentier. decouvriraveclescasn=n0;n=n0+1,:::

SOMMEETPRODUIT

qX q X i=pf(i)=f(p)+f(p+1)++f(q1)+f(q): {34{

COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS

q Y i=pf(i)leproduitdecesm^emestermes: q Y i=pf(i)=f(p)f(p+1)f(q1)f(q):

Remarques-qX

i=pf(i)=qX j=pf(j): nX i=1f(i)=n1X i=1f(i)+f(n):

Exemples-nX

i=11=n nY i=11=1 denidemanierecorrectepar pourqp=0qX i=pf(i)=f(p) siq>p>0q+1X i=pf(i)=qX i=pf(i)+f(q+1) S n=nX i=0(2i+1): demonstrationdecetteproposition. i=0(2i+1)=(n+1)2:

Pourkentiernaturel,notonsSnlasomme

S n=nX i=0(2i+1): procedeparrecurrencesurn.

MontronsqueP(0)estvraie.Pourn=0,ona:

S 0=0X i=0(2i+1)=1et(n+1)2=1:

DoncP(0)estvraie.

S k+1=k+1X i=0(2i+1)=Sk+(2k+3): {35{

Pourtrouverunedemonstration

Enutilisantl'hypothese,onobtient:

S k+1=(k+1)2+(2k+3)=k2+4k+4=(k+2)2:

DoncP(k+1)estvraie.

pourn0,n0+1;::: i=1i=n(n+1)=2: 2 )Demontrerlaformuledubin^ome: pourtouslescomplexesaetb,(a+b)n=nX i=0C inaibniavecCin=n! i!(ni)!

1.10.D'autresregles

mortel." generalementpeudefautes.

2.Pourtrouverunedemonstration

unequisoitbienadaptee. demontrerQ. x convenir. {36{

COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS

\DemontronsmaintenantQ."

Exemple

Enonce-Montrerqu'ilexisteunreelxtelquep

x2x+9>px2+x+4). x2x+9=3etpx2+x+4=2.Or,3>2,donc0convient.

Autreexemple:

jyjjxjjxyj. jyjjxjjyxj.

Onabienleresultatcherche.

(y;x).

2.2.Onpeututiliserdesmoyensindirects.

forme(AouB). lavariablereelleetc.

Exemple

Enonce-Soitf:R+!R

R +aumoins. {37{

Quelquestypesdeproblemesaresoudre

Exemple

onax2+8>5x+4=x. x cequiestevident. =)Q(x)). 4

3.Quelquestypesdeproblemesaresoudre

3.1.Resultatssurlesensembles

Exemple

(AB=)EnBEnA):

ABmontrequex2B.Ilyacontradiction.

Doncx2EnA:

3.2.Enoncesd'analyse

{38{

COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS

faitqu'unevariabledependd'uneautre.

Exemple

aussi. jf(x)jM0,doncjf(x)2jM20. evidemmentpasdutoutleresultatcherche.

3.3.Resolutiond'equations.

S 0S.

Exemple

Enonce-ResoudredansRl'equationx=p

x+2. onap touteslesdeuxpositives.DoncSf1;4g.

Synthese-Soitx=4;p

xaunsens,etpx+2=4=x,donc42S.

Soitx=1;onap

x+2=36=x.Donc1=2S.OnobtientdoncS=f4g.

Ilyauneetuneseulesolutionquiest4.

exe

3.4.Contre-exemples

Exemple-A-t-on(8x2R;p

x2x+9px2+x+4)? {39{

Quelquesconseils

doncp lesxquiverientp d'ecrire: \Soitxunreel.Si(p x2x+9px2+x+4,alorsona(x2x+9x2+x+4),donc

4.Quelquesconseilspourresoudreunprobleme

etecrireunedemonstration.

4.1.Pourbienlireletexte

ademontrer.

4.2.Pourchercherunesolution.

4.3.Pourredigerunedemonstration.

alors:::"). {40{

COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS

positif". negatifounuluneautrefois. \onax>2;doncx26=1etdonc2x26=2:00 \x>2etx>2=)x26=1=)2x26=2:00 generalementfaux(lequel?): (x>2=)x26=1)=)2x26=2: symboles. {41{

Exercicesd'application

EXERCICESD'APPLICATION

Exercicen1

impair.Onproposelademonstrationsuivante: \Soitnunentiertelquen>3.

Supposonsnpair.

4)Quellesdonneesyutilise-t-on?

Exercicen2

estpositif.Onabienleresultatdemande."

Exercicen3

deE.Montrerque:AB=AC=)B=C".

Onproposeletexteincompletsuivant:

rendresastructureplusclaire:

2)Leshypotheses\nonvides"ont-ellesservi?

Exercicen4

x7!x2est-ellesurjective?"(pourla

Trouverlafautedansleraisonnementsuivant:

yetx=py;doncfestsurjective.

Exercicen5

Onproposeletextesuivant:

\Enonce- proportionnelssietseulementsiab0a0b=0. {42{

COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS

Demonstration-

-sia06=0,k=a a0doncb=aa0b0etab0a0b=0. -sia0=0,alorsa=0etdoncaussiab0a0b=0.

Exercicen6

n X k=1k(k1)=n(n1)(n+1) 3

Exercicen7

Soientaetbdeuxreelstelsque(8"2R+;a

Exercicen8

8(f;g)2FF;(fg=0=)(f=0oug=0))?

{43{

Indicationsetsolutionssommaires

INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES

Exercicen1

1)L'enoncepeutsetraduirepar:

8n2fm2Njm>3g(npremier=)nimpair)

ouencorepar:

8n2N;(n>3=)(npremier=)nimpair))

tion(npremier=)nimpair); nombrepremiermontrequenn'estpaspremier." diviseurdierentde1etden").

Exercicen2

Unedemonstrationcorrecteserait:

-ilnegligedepreciserquiestx, enlaseconde,

8x2R+;((x+1=x)>2=)(x1)2>0).

Exercicen3

queBCetqueCB:

Soitx2B.Onasoitx2A,soitx62A:

adoncmontrequeBC:

OnendeduitqueB=C:

Exercicen4

{44{

COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS

surjectivitedefdesvaleursdey.

Exercicen5

ouu0estnuletunel'estpas. k=a demonstrationdelareciproque.

Unedemonstrationpourrait^etrelasuivante:

aegalementtoujoursab0a0b=0. que(a=ka0etb=kb0). ab

0ba0=0.Lorsquea06=0,onak0=a

a0etdoncb=k0b0=aa0b0etab0a0b=0. b0k,onaa=k0a0et b=k0b0.Danslecasoua06=0,onab=a a0b0.Posonsk0=aa0.Onaa=k0a0etb=k0b0.

Danslesdeuxcas,uetu0sontproportionnels.

Finalement,onabienl'equivalenceannoncee.

Exercicen6

Suivrelamethodedonneedanslepolycopie.

Exercicen7

impossible.Doncab.

Exercicen8

contre-exemple,caronafg=0,f6=0etg6=0. {45{quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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