[PDF] La loi normale
Lorsque l'on suppose qu'une variable X suit le mod`ele de la loi normale Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :
[PDF] Introduction de la loi normale centrée réduite
Pour une variable aléatoire X suivant la loi binomiale Représentations de la loi de probabilité binomiale B(46 ; 035) Elle a pour écart-type
[PDF] LA LOI NORMALE
loi normale de moyenne ? = 3200 g et d'écart-type s = 400 g – Quelle est la probabilité qu'un nouveau né ait un poids supérieur à 4 kg ?
[PDF] loi normale - Lycée Les Iscles
On a déterminé qu'une loi normale de moyenne m = 10 et d'écart type ? = 3 Quelles que soient les nombres a et b avec a
[PDF] Table de la loi normale
d'une valeur donnée sous la densité de la loi normale de moyenne 0 et de 18 et avec varance 4 donc écart-type 2 et on veut trouver P[16 72 ? X
[PDF] Loi normale
Attention le paramètre utilisé en terminale est la variance et non pas l'écart type La probabilité qu'un bébé pèse à la naissance entre 3 kg et 4 kg est
[PDF] 7 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss - EM consulte
22 jui 2010 · A Densité de probabilité de la loi normale Définition : loi normale 48 mmol/L et d'écart type 04 mmol/L on déduit immédiatement que
[PDF] Probabilités continues et Loi normale - Logamaths
En effet lorsqu'on divise toutes les valeurs par l'écart-type on obtient un écart-type égal à 1 Soit Xn une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de
[PDF] La loi normale
Le mod`ele de la loi normale Calculs pratiques Param`etres de la loi normale Pour chaque µ ? il existe une loi normale de moyenne µ et d'écart-type ?
[PDF] LOI NORMALE - maths et tiques
Pour une loi normale centrée réduite l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1 III Probabilité sur une loi normale
[PDF] LA LOI NORMALE
– Quelle est la probabilité qu'un nouveau né ait loi normale de moyenne ? = 3200 g et d'écart-type s = 400 g – Quelle est la probabilité qu'un nouveau né ait
[PDF] Loi Normale
La loi normale est la loi la plus importante des probabilités et des statistiques de variable aléatoires de même loi d'espérance m et d'écart type ?
[PDF] loi normale - Lycée Les Iscles
La variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m et d'écart type ? ( on note : X ? N(m;?) ) signifie que : L'ensemble des valeurs possibles de X
Chapitre 2 — La Loi Normale
On en déduit facilement la probabilité pour qu'une variable suivant une loi normale quelconque X(? ?) de moyenne ? et d'écart-type ? soit comprise dans un
[PDF] Table de la loi normale
aussi appelée la loi normale standard ou la loi normale centrée et réduite 18 et avec varance 4 donc écart-type 2 et on veut trouver P[16 72 ? X
[PDF] Terminale S - Loi normale - Parfenoff org
probabilité sur ? Si suit la loi normale centrée réduite (0 ; 1) sa fonction de La variance de est 1 donc son écart type ? est 1
Fiche explicative de la leçon : Loi normale - Nagwa
Si ???? est une variable aléatoire normale de moyenne ???? et d'écart-type ???? la table de la loi normale centrée réduite pour calculer la probabilité d'un
[PDF] MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ - Université du Québec
calculer des probabilités sur la loi normale • utiliser les propriétés de la loi normale pour effectuer des calculs de Ecart type : ?n? (1 ? ?)
Comment trouver l écart-type d'une loi normale ?
On commence par standardiser la loi normale. On rappelle que si �� ? �� ? �� ; �� ? ? , alors �� = �� ? �� �� est la variable normale centrée réduite �� ? �� ? 0 ; 1 ? ? . On a �� ? �� ( 6 3 ; 1 4 4 ) . On rappelle que l'écart-type est égal à la racine carrée positive de la variance, donc �� = ? 1 4 4 = 1 2 .Quelle est la valeur de l'écart-type d'une loi normale centrée réduite ?
Pour une loi normale centrée réduite, l'espérance est égale à 0 et l'écart-type est égal à 1.- Pour le calcul de P (X ? a) dans le cas ou X suit une loi N (?, ?²) : On utilise la propriété suivante : Si x ? ?, on utilise P (X ? x) = 0,5+ P (? ? X ? x). Si x ? ?, on utilise P (X ? x) = 0,5- P (x ? X ? ?).
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Chapitre 3
La loi normale
Universite de Paris Ouest2012{2013
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Sommaire
1Le mo deled ela lo in ormale
Un exemple
Proprietes de la loi normale
2C alculsp ratiques
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple pour commencer : Test de memoire
Etude de lacapacite de memoired'adultes atteints d'une maladie neurologique. Chaque individu lit 30 mots et doit ensuite en reciter le plus possible. IPopulationP=fpatients atteints de la maladieg
IVariablequantitativeX= "nombre de mots retenus"
I2 parametres;.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
La courbe "en cloche"
En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
La courbe "en cloche"
En sciences humaines on observe souvent des distributions I plut^otsymetriquesautour de I avec une forme declochePourpouvoir faire des calculs, on va parfois supposer queXsuit une distribution "modele", appeleeLoi normale.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Premieres proprietes de la loi normale
SiXsuit cette distribution "modele", on lui associe une courbe : I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Premieres proprietes de la loi normale
I courbesymetriquepar rapport a I forme declocheI l'aire grisee represente la proportion cumuleeChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.On la noteN(;).Cas particulier
= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale
N(;), on ecrit
X N(;):Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Pour chaque;, il existe uneloi normale de moyenneet d'ecart-type.On la noteN(;).Cas particulier
= 0 et= 1 : loi normale centree/reduite.Lorsque l'on suppose qu'une variableXsuit le modele de la loi normale
N(;), on ecrit
X N(;):Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Parametres de la loi normale
Exemples de lois normales avecmoyennes dierentes, m^eme ecart-type :3-1N(3,1)N(-1,1)Exemples de lois normales avec m^eme moyenne,ecart-types dierents:3N(3,1)N(3,2)Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Pour les plus matheux : l'equation de la courbe
Pour la tracer a la calculatrice/ordinateur,
y=1 p2exp (x)222Cette formule n'est pas utile pour ce cours!
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Exemple : QI
Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Exemple : QI
Etude sur leQIde 515 enfants du m^eme ^age,= 100;1,= 5;7.En rose, courbe de la loi normaleN(= 100;1;= 5;7).Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normaleN(;) : a retenir
I distribution "modele"pour desvariables quantitatives continues I moyenne, ecart-type I allure de la courbe : I aires = proportions cumuleesChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Sommaire
1Le mo deled ela lo in ormale
2C alculsp ratiques
Loi normale centree/reduite
Loi normale quelconque
Quantiles
Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportiond'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013
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Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportiond'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).0airegris ee=F(1,56)1,56Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).On cherche
1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;56?On chercheP(X1;56) (rappel : on ecrit aussiF(1;56)).On cherche
1,5 6 d ansla table::::0;06:::. ..1;5:::0:9406::: ...DoncP(X1;56) = 0;9406. Pour 94;06 % des individus, la variableXest inferieure a 1;56.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX1;49?On chercheP(X1;49).On ecrit d'abord P(X1;49) = 1P(X1;49) = 1F(1;49)On cherche1,4 9d ansla table.::: :::0;09. ..1;4::: :::0:9319 ...DoncP(X1;49) = 0;9319. SoitP(X1;49) = 10:9319 = 0:0681.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesExemple On suppose qu'une certaine variableX N(0;1). Pour quelle proportionP(X1;1) = 1P(X1;1) = 10;8643:
Finalement,P(X 1;1) = 0;1357:Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale centree/reduiteN(0;1) : valeurs negativesA retenir :
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Calculs avec laN(0;1), tous les cas
Pour n'importe quela>0,
IP(Xa)0a
)tableIIP(Xa)0a = 10a )cas IIIIP(X a)0-a=0a )cas IIIVP(X a)0-a=0a )cas IChapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Loi normale quelconqueN(;)
I Pour faire des calculs avec uneN(;), on se ramene a la loiN(0;1).Theoreme
SiX N(;) alorsX
N(0;1)=Z:On dit que l'oncentre et reduitX.On utilise la lettreZpour designer une loi normale centree/reduite.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Un exemple avec uneN(11;2)Exemple
On suppose qu'une certaine variableX N(11;2). Pour quelle proportion d'individus est-ce queX14?On chercheP(X14).IOncentre et on reduitX:X112
N(0;1).IP(X14) =PX112
14112=P(Z1;5)I On cherche 1;5 dans la table.On trouve nalementP(X14) = 0;9332.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
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Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
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Quantile>50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 97;5% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;975.On lit la tablea l'envers::::0;06:::.
..1;9:::0:9750::: ...DoncP(X1;96) = 0;9750.Le quantile recherche est donc 1;96.Notation
Le quantile d'ordrepour la loi normale centree/reduite est notez.Par exemple,z0;975= 1;96.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?
Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?
Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?0,14Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14?0,14z
0,86=1 ,08Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)Exemple
On cherche le quantile a 14% pour laN(0;1).Cela revient a trouveratel queP(Za) = 0;14.Il n'y a pas de nombre<0;5 dans la table!00,14-1,080,14z
0,86=1 ,08Le quantile est doncz0;14=1;08.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile<50% d'uneN(0;1)
A retenir :
z =z100,14-1,080,14z0,86=1 ,08par exemple : z
0;14=z0;86.Chapitre 32012{2013
Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile d'une loi normale quelconque
NotonsQle quantile d'ordre alpha d'uneloi normale quelconque N(;).A retenir :
Q =+z: On "dereduit"et on "decentre"le quantile de la loi normale centree/reduite.Exercice Quel est le quantile a 90% pour une loi normaleN(11;2)?Chapitre 32012{2013Le modele de la loi normaleCa lculsp ratiques
Quantile d'une loi normale quelconque
NotonsQle quantile d'ordre alpha d'uneloi normale quelconque N(;).A retenir :
Q =+z: On "dereduit"et on "decentre"le quantile de la loi normale centree/reduite.Exercice Quel est le quantile a 90% pour une loi normaleN(11;2)?Chapitre 32012{2013quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] esperance ecart type loi binomiale
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