PROBABILITÉS
Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance
7 Lois de probabilité
Ecart type : ?n? (1 ? ?). Voici un graphique représentant quelques lois binomiales avec une même valeur de n. (n = 20) et quelques valeurs de ?.
Cours de Statistiques inférentielles
µ et d'écart type ? (nombre strictement positif car il s'agit de la variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x) ...
Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Calculer les valeurs de la dispersion de la distribution : variance l'écart type et l'intervalle interquartile. d. Tracer le diagramme en bâtons et la
Probabilités continues
La variance est un nombre positif qui peut être infini même si l'espérance existe. Definition. L' écart-type d'une variable aléatoire X est la racine
Loi normale
l'écart type. La probabilité qu'un bébé pèse à la naissance entre 3 kg et 4 kg est de 0831. 2°) Probabilité des événements " <3" et " >4".
LOI NORMALE
La probabilité P(37? Y ? 40) correspond à l'aire sous la courbe de la fonction f L'écart-type noté ?
Gestion de projet - calcul probabiliste
plusieurs valeurs selon une distribution de probabilité. A partir de ces valeurs on pourra calculer la durée moyenne
Cours de probabilités et statistiques
L'écart-type (ou la variance) mesure la dispersion de la v.a. X autour de sa valeur moyenne E[X]. L'espérance et sa variance ne dépendent de X qu'`a travers sa
Psy1004 – Section 3: Probabilités
Ce serait facile si on avait la distribution de fréquence complète de la population entière (voir ci-haut sur 10000 individus ici moyenne = 1.70
[PDF] PROBABILITÉS - maths et tiques
Méthode : Calculer l'espérance la variance et l'écart-type d'une loi de probabilité Vidéo https://youtu be/AcWVxHgtWp4 Vidéo https://youtu be/elpgMDSU5t8
[PDF] Cours de probabilités et statistiques
L'écart-type (ou la variance) mesure la dispersion de la v a X autour de sa valeur moyenne E[X] L'espérance et sa variance ne dépendent de X qu'`a travers sa
[PDF] Probabilités et Statistiques - M115
probabilités Variables aléatoires V A Discrètes Fct de répartition V A Continue Espérance mathématique Variance - Ecart type Lois usuelles
[PDF] Probabilités et statistiques
L'objet de ce cours est d'une part de réviser les bases de probabilités et de somme de deux dés calculer l'espérance la variance et l'écart type
[PDF] MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ - Université du Québec
Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous la forme d'une «expérience type» puis d'analyser Ecart type : ?n? (1 ? ?)
[PDF] Cours de Probabilités
On peut préciser le calcul de probabilités d'un événement E De manière simplifiée la probabilité L'écart-type est la racine carrée de la variance :
[PDF] Cours de Statistiques inférentielles
µ et d'écart type ? (nombre strictement positif car il s'agit de la variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x)
[PDF] Espérance variance quantiles
22 mai 2008 · Probabilité Gain × Proba L'écart type a l'avantage d'être dans la même unité que la variable Par exemple si X est en m alors var(X)
[PDF] Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Statistique et Probabilités Examen Statistique et Probabilités (1) Les valeurs de la dispersion de la distribution : variance l'écart type et
[PDF] La loi normale
Le mod`ele de la loi normale Calculs pratiques Param`etres de la loi normale Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :
C'est quoi l'Écart-type en probabilité ?
En mathématiques, l'écart type (aussi orthographié écart-type) est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon statistique ou d'une distribution de probabilité. Il est défini comme la racine carrée de la variance ou, de manière équivalente, comme la moyenne quadratique des écarts par rapport à la moyenne.Comment calculer l'Écart-type en probabilité ?
L'écart-type s'obtient simplement en calculant la racine carrée de la variance.Quelle est la bonne formule de l'Écart-type ?
L'écart-type d'une série de valeurs {xi}1?i?p, est le nombre positif, noté ?, défini par : ?=Nn1(x1?x)2+n2(x2?x)2+… +np(xp?x)2 .- L'écart-type sert à mesurer la dispersion, ou l'étalement, d'un ensemble de valeurs autour de leur moyenne. Plus l'écart-type est faible, plus la population est homogène.
7Lois de probabilité
Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous la forme d"une "expérience type» puis d"analyser cette expérience en détail pour pouvoir déduire les principales caractéristiques de toutes les expériences aléatoires qui sont du même type. Letravailestfaituneseulefoismaisilsertàtouteslesexpériencessemblables. L"évaluation delaloideprobabilitéetdescaractéristiquesétanteffectuée, l"utilisateurn"aplusà"con-struire" les probabilités mais simplement à identifier le modèle et à utiliser les résultats
connus sur le modèle. On s"intéressera ici à quelques lois qui sont très fréquentes dans
le domaine de la gestion.Objectifs et compétences
L"étudiant sera en mesure de
calculer des probabilités sur la loi binomiale associer une expérience aléatoire à une loi binomiale calculer des probabilités sur la loi de Poisson associer une expérience aléatoire à une loi de Poisson calculer des probabilités sur la loi exponentielle associer une expérience aléatoire suit à loi exponentielle calculer des probabilités sur la loi normale utiliser les propriétés de la loi normale pour effectuer des calculs de probabilitéLoi binomiale
Considérons l"expérience qui consiste à répéternfois une expérience aléatoire de façon
indépendante telle que le résultat de chaque expérience est un succès ou un échec avec
une probabilité de succèsπ. On peut représenter cette expérience type par la figure2 Chapter 7 Lois de probabilité
suivante : PosonsXla variable aléatoire qui donne le nombre total de succès sur lesntentatives. La variable aléatoireXsuit une loi Binomiale de paramètresnetπ, notéeBin(n,π).Le support de cette variable aléatoire est
SX={0,1,2,···n}
et la loi de probabilité est donnée par f(x) =?n x? x(1-π)n-xpourx= 0,1,2,...n où0< π <1et?n x? =n! x!(n-x)! Les principales caractéristiques numériques sont :Moyenne :E(X) =nπ
Variance :V ar(X) =nπ(1-π)
Ecart type :?
nπ(1-π) Voici un graphique représentant quelques lois binomiales avec une même valeur den, (n= 20) et quelques valeurs deπ.Lois binomiales
x fonction de probabilité0 5 10 15 20
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
Pi=0.1
Pi=0.25
Pi=0.5
Pi=0.75
Loi binomiale 3
Remarque 7.1Le cas particulier de la loi binomiale avec paramètren= 1etπest à la base de plusieurs modélisation. Il est aussi connu comme étant la loi deBernoulliou expérience de Bernoulli. La notion de succès et d"échec dans le cadre d"une loi binomiale est purement arbitraire. Ainsi, le fait qu"une nouvelle entreprise ne passe pas le cap de la première année peut être qualifié de succès si on s"intéresse au nombre de fermetures tout comme le faitqu"un employé ne soit pas présent au travail une certaine journée peut être un succès si
on veut étudier le taux d"absentéisme. Exemple 7.1?On sait que la probabilité qu"une personne choisie au hasard travaille dans le domaine de l"administration ou de la comptabilité est de 1/6. Si on choisit au hasard 3 personnes, quelle est la probabilité d"avoir au moins 2 personnes sur 3 qui travaillent dans l"administration ou la comptabilité ? Solution :PosonsXla v.a. qui donne le nombre de personnes sur 3 qui travaillent dans l"administration ou la comptabilité,X≂Bin(3,1/6). On cherchePr(X≥2) :Pr(X≥2) =f(2) +f(3)
=?3 2?? 1 6? 2?5 6? 3-2 +?3 3?? 16? 3?5 6? 0 =572+1216= 7.4074×10 -2 = 0.0741 Exemple 7.2?Dans une entreprise les ressources humaines font passer une entrevue préliminaire aux candidats et on sait par expérience que seulement 50% passent au travers de ce premier tri. Quelle est la probabilité que sur 5 candidats, il y en ait 4 ou plus qui passent la première entrevue ? Solution :PosonsXla v.a. qui donne le nombre de candidats sur 5 qui passent la première entrevue,X≂Bin(5,1/2)et on cherchePr(X≥4):Pr(X≥4) =f(4) +f(5)
=?5 4?? 1 2? 4?1 2? 1 +?5 5?? 12? 5 =3164 Chapter 7 Lois de probabilité
Exemple 7.3Les données disponibles sur la survie des entreprises démontrent que les nouvelles entreprises du domaine des communications ont une probabilité de passer le cap des 2 ans de0.20. Si 10 entreprises se sont implantées, quelle est la probabilité d"avoir au moins 4 "survivantes» après 2 ans ? Solution :PosonsXla v.a. qui donne le nombre d"entreprises qui passent le cap des deux ans. C"est une v.a. de loiBin(10,0.2)et on cherchePr(X≥4). OrPr(X≥4) = 1-Pr(X <4) = 1-
3? x=0 fX(x) = 1- 3? x=0 ?10 x? (0.2) x(0.8)10-x = 1-.87913 =.12087 Exemple 7.4?Dans l"exemple précédant, si on sait qu"une entreprise en communi- cation qui passe le cap des 2 ans a une probabilité de2/3de devenir une grande entre- prise(plus de 50 employés), quelle est la probabilité d"obtenir 4 grandes entreprises en communication sur les 10 qui se sont implantées ? Solution:PosonsXlav.a. quidonnelenombred"entreprisessur10quisetransforment en une grande entreprise. C"est une v.a. de loiBin(10,π), oùπest la probabilité qu"une nouvelle entreprise en communication se transforme en une grande entreprise. Pour que la nouvelle entreprise devienne une grande entreprise, il faut qu"elle survive deux ans (disons l"événementA) et qu"elle se transforme en grande une entreprise (dis- ons l"événementB). Orπ= Pr(A∩B) = Pr(A)Pr(B|A)
21023=215puisque la probabilité de passer le cap des 2 ans est de 0.2 par le problème précédantet que la donnée du problème donnePr(B|A) = 2/3.
On a doncX≂Bin(10,
215)et on cherchePr(X≥4). Or
Pr(X≥4) = 1-Pr(X <4) = 1-
3? x=0 fX(x) = 1- 3? x=0 ?10 x?? 2 15? x?13 15? 10-x = 1-.96596 =.03404 Remarque 7.2Pour qu"une variable aléatoire suive une loi binomiale, il faut que lenombre de répétitions de l"expérience soit fixé a priori. De plus, les expériences doivent
Loi binomiale 5
être indépendantes c"est-à-dire que le résultat d"une des expériences n"affecte en aucune
façon les autres. Considérons l"exemple d"une population de 120 entreprises d"un certain secteur et sup- posons que sur ce nombre il y en a 51 qui sont conformes à la norme ISO 9200. Une expérience aléatoire consiste à prendre 15 entreprises au hasard parmi les 120. On veut évaluer la probabilité qu"il y ait au moins 8 entreprises parmi les 15 qui sont conformesà la norme ISO 9200. Même si on répète 15 fois l"expérience consistant à choisir une
entreprise, ce ne sont pas des expériences indépendantes : il n"y a que 120 entreprises et chaque fois qu"une entreprise est choisie à un tirage cela affecte la probabilité au tirage suivant. Exemple 7.5?Un transporteur aérien doit remplir un avion de 330 places. Il vend340 billets en sachant qu"il y a une probabilité de 2.5% qu"un passager ne se présente
pas. Solution :PosonsXla v.a. qui donne le nombre de passagers qui se présenteront sur les 340 billets vendus. On aX≂Bin(340,0.975). Cela veut dire qu"en moyenne il y aura340?0.975 = 331.5passagers par vol. En moyenne il y aura 1.5 passagers qui n"auront pas de place. Comme passager on peut vouloir connaître la probabilité qu"il manque de place. Cela s"exprime parPr(X >330)et en utilisant la formule 1Pr(X >330) =f(331) +f(332) +···+f(340)
=?340331? 0.975331(0.025)340-331+···
= 0.65381 Exemple 7.6?Dans un programme universitaire il y a 30% des étudiants qui dé- passent le temps prévu pour terminer le programme et 10% qui terminent au moins une session avant la fin du temps prévu. On sait que 3% des étudiants qui dépassent le temps ont une cote générale "A", que 20% de ceux qui finissent exactement dans les temps ont cette cote et que ce taux devient 50% pour ceux qui finissent avant. Sur une cohorte de15 étudiants dans le programme quelle est la probabilité qu"il y ait au moins 4 étudiants
avec la cote générale "A" ? Solution :Considérons la v.a.Xqui donne le nombre d"étudiants sur 15 qui auront la cote générale "A". C"est une v.a. qui admet une loi binomiale de paramètresn= 15et π:la probabilité qu"un étudiant au hasard obtienne cette cote. On cherchePr(X≥4). Pour utiliser la fonction de probabilité de la loi binomiale il faut déterminer la valeur du paramètreπ.1Ce calcul peut se faire à la calculatrice mais il est plus simple et surtout plus rapide d"utiliser un logiciel
comme EXCEL.6 Chapter 7 Lois de probabilité
Si on poseB
1:"un étudiant dépasse le temps prévu",B2:"un étudiant termine exacte-
ment dans les délais,B3un étudiant dépasse le temps prévu etA:"obtient la cote A".
L"utilisation de la première règle de Bayes permet d"obtenirπ= 0.179. On a alorsPr(X≥4) = 1-Pr(X <4)
= 1-(f(0) +f(1) +f(2) +f(3)) oùf(x) =? 15 x?0.179x(1-0.179)15-x.L"application de la formule donne
f(0) = 15!0!15!×0.1790×0.82115= 5.1898×10-2
f(1) =15!1!14!×0.1791×0.82114= 0.16973
f(2) = 15!2!13!×0.1792×0.82113= 0.25903
f(3) = 15!3!12!×0.1793×0.82112= 0.24473
et ainsi la probabilité recherchée estPr(X≥4) = 0.27461
Loi de Poisson
La loi de Poisson ou modèle de Poisson permet la modélisation de l"observation d"un phénomènequiproduitdesévénementsàunrythmeconnu. Ons"intéresseàl"observation d"événements et on suppose1. un seul événement arrive à la fois
2. le nombre d"événements se produisant ne dépend que du temps de l"observation
3. les événements sont indépendants
ConsidéronsXla v.a. qui donne le nombre d"événements observés dans une unité de temps. On a alors un phénomène de Poisson et la variable aléatoire qui donne le nombred"événements par unité de temps suit une loi de Poisson, notéeX≂P(λ), oùλest
le nombre moyen d"événements par unité de temps.Loi de Poisson 7
Les valeurs possibles de la variable aléatoire sont SX={0,1,2,...}
et la loi de probabilité est donnée par fX(x) =e
-λλx x!pourx= 0,1,2,... oùeet la fonction exponentielle au point 1 :e?2,71828. Les principales caractéris- tiques numériques sont :Moyenne :E(X) =λ
Variance :V ar(X) =λ
Ecart type :⎷
Voici la représentation graphique de la distribution de Poisson pour quelques valeurs deLois de Poisson
x fonction de probabilité0 5 10 15 20
0.0 0.1 0.2 0.3
lambda=1 lambda=4 lambda=8 lambda=15 Exemple 7.7?Dans le ciel au mois d"août il y a en moyenne 1000 étoiles filantes dans l"espace d"une heure. Quelle est la probabilité d"en voir plus de 10 en 1 minute ? Solution: PosonsXla v.a. qui donne le nombre d"étoiles filantes en 1 min,X≂P(λ), oùλest le nombre moyen d"étoiles en 1 min. Puisque le monbre moyen est proportionnel au temps,λ= 1000/60 = 16.667
On cherchePr(X >10). Or
= 1- 10? x=0 f(x) = 10? x=0 e-16.667(16.667)x x! = 1-e -16.667(16.667)0 0!+e -16.667(16.667)11!+···
= 1-5.7328×10 -2Donc Pr(X >10) =.94267
8 Chapter 7 Lois de probabilité
Exemple 7.8?Dans une banque les clients arrivent à une fréquence moyenne de 10 par heure.Quelle est la probabilité qu"il y ait plus de 2 clients en 10 min ?Solution: Si on suppose que les clients arrivent indépendamment les uns des autres
et que la moyenne est constante, la v.a.Xqui donne le nombre de clients en 10 min suit une loiP(λ), oùλest le nombre moyen en 10 min.,λ= 106010 =10
6.On cherchePr(X >2). On a
= 1-(f(0) +f(1) +f(2)) = 1-? e -10/6(10/6)0 0!+e -10/6(10/6)1 1!+e -10/6(10/6)2 2!? = 1-73 18e -5 3D"oùPr(X >2) = 1-0.766 =.234.
Quelle est la probabilité qu"il n"y ait aucun client dans une période de 5 min. ?Solution: PosonsXla v.a. qui donne le nombre de clients pour 5 min,X≂P(λ),
oùλest le nombre moyen de clients en 5 min.,λ= 10605 =5
6. On cherche
Pr(X= 0):
Pr(X= 0) =f(0) =e
-5/6?5 6 ?00!=.4346
Exemple 7.9?Une composante électronique produit en moyenne 1 erreur par 100000hres. Quelle est la probabilité d"une erreur si la pièce fonctionne 20 000 hres ?
quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] pensee positive permanente
[PDF] etre positif pdf
[PDF] le pouvoir de la pensée positive pdf gratuit
[PDF] pensée positive citation pdf
[PDF] pensée positive gratuite télécharger
[PDF] livre la puissance de la pensée positive pdf gratuit
[PDF] la pensée positive pour les nuls pdf gratuit
[PDF] soon the end
[PDF] cest bientot la fin paroles
[PDF] mozart opera rock c'est bientôt la fin lyrics
[PDF] allez viens c'est bientôt la fin paroles
[PDF] allez viens c'est bientôt la fin 1789
[PDF] c'est bientot la fin les enfoirés
[PDF] développer une mentalité de gagnant pdf