PROBABILITÉS
Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent calculer l'espérance
7 Lois de probabilité
Ecart type : ?n? (1 ? ?). Voici un graphique représentant quelques lois binomiales avec une même valeur de n. (n = 20) et quelques valeurs de ?.
Cours de Statistiques inférentielles
µ et d'écart type ? (nombre strictement positif car il s'agit de la variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x) ...
Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Calculer les valeurs de la dispersion de la distribution : variance l'écart type et l'intervalle interquartile. d. Tracer le diagramme en bâtons et la
Probabilités continues
La variance est un nombre positif qui peut être infini même si l'espérance existe. Definition. L' écart-type d'une variable aléatoire X est la racine
Loi normale
l'écart type. La probabilité qu'un bébé pèse à la naissance entre 3 kg et 4 kg est de 0831. 2°) Probabilité des événements " <3" et " >4".
LOI NORMALE
La probabilité P(37? Y ? 40) correspond à l'aire sous la courbe de la fonction f L'écart-type noté ?
Gestion de projet - calcul probabiliste
plusieurs valeurs selon une distribution de probabilité. A partir de ces valeurs on pourra calculer la durée moyenne
Cours de probabilités et statistiques
L'écart-type (ou la variance) mesure la dispersion de la v.a. X autour de sa valeur moyenne E[X]. L'espérance et sa variance ne dépendent de X qu'`a travers sa
Psy1004 – Section 3: Probabilités
Ce serait facile si on avait la distribution de fréquence complète de la population entière (voir ci-haut sur 10000 individus ici moyenne = 1.70
[PDF] PROBABILITÉS - maths et tiques
Méthode : Calculer l'espérance la variance et l'écart-type d'une loi de probabilité Vidéo https://youtu be/AcWVxHgtWp4 Vidéo https://youtu be/elpgMDSU5t8
[PDF] Cours de probabilités et statistiques
L'écart-type (ou la variance) mesure la dispersion de la v a X autour de sa valeur moyenne E[X] L'espérance et sa variance ne dépendent de X qu'`a travers sa
[PDF] Probabilités et Statistiques - M115
probabilités Variables aléatoires V A Discrètes Fct de répartition V A Continue Espérance mathématique Variance - Ecart type Lois usuelles
[PDF] Probabilités et statistiques
L'objet de ce cours est d'une part de réviser les bases de probabilités et de somme de deux dés calculer l'espérance la variance et l'écart type
[PDF] MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ - Université du Québec
Les lois de probabilité permettent de décrire les variables aléatoires sous la forme d'une «expérience type» puis d'analyser Ecart type : ?n? (1 ? ?)
[PDF] Cours de Probabilités
On peut préciser le calcul de probabilités d'un événement E De manière simplifiée la probabilité L'écart-type est la racine carrée de la variance :
[PDF] Cours de Statistiques inférentielles
µ et d'écart type ? (nombre strictement positif car il s'agit de la variable aléatoire réelle X admet pour densité de probabilité la fonction p(x)
[PDF] Espérance variance quantiles
22 mai 2008 · Probabilité Gain × Proba L'écart type a l'avantage d'être dans la même unité que la variable Par exemple si X est en m alors var(X)
[PDF] Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Statistique et Probabilités Examen Statistique et Probabilités (1) Les valeurs de la dispersion de la distribution : variance l'écart type et
[PDF] La loi normale
Le mod`ele de la loi normale Calculs pratiques Param`etres de la loi normale Exemples de lois normales avec moyennes différentes même écart-type :
C'est quoi l'Écart-type en probabilité ?
En mathématiques, l'écart type (aussi orthographié écart-type) est une mesure de la dispersion des valeurs d'un échantillon statistique ou d'une distribution de probabilité. Il est défini comme la racine carrée de la variance ou, de manière équivalente, comme la moyenne quadratique des écarts par rapport à la moyenne.Comment calculer l'Écart-type en probabilité ?
L'écart-type s'obtient simplement en calculant la racine carrée de la variance.Quelle est la bonne formule de l'Écart-type ?
L'écart-type d'une série de valeurs {xi}1?i?p, est le nombre positif, noté ?, défini par : ?=Nn1(x1?x)2+n2(x2?x)2+… +np(xp?x)2 .- L'écart-type sert à mesurer la dispersion, ou l'étalement, d'un ensemble de valeurs autour de leur moyenne. Plus l'écart-type est faible, plus la population est homogène.
Probabilites continues
Julie Delon
1/99Plan du cours
PART 1: Introduction
PART 2: Esperance, variance, quantiles
PART 3: Lois usuelles
PART 4: Loi normale et cie
PART 5: Lois jointes, independance
PART 6: Theoremes limites
2/99Premiere partie I
Introduction
3/99Du discret au continu
Denition
Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire discreteprend ses valeurs dans un ensemble ni ou denombrablelance de de,X( ) =f1;2;3;4;5;6gnombre de photons emis par une source lumineuse pendant 1s,X( ) =N4/99Du discret au continu
Denition
Une variable aleatoire (abbr. v.a) reelle est une applicationmesurable X: !R !7!X(!)Unevariable aleatoire continuepeut prendre une innite non denombrable de valeurs, par exemple dans un intervalle ou sur toutR.taille des individus d'une population,X( ) = [0;M]temps d'attente a la poste,X( ) =R+taux de cholesterol,X( ) =R+poids a la naissance,X( ) = [0;m]... 4/99 Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu0246810121416051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu051015051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire : du discret au continu051015051020:15/99
Loi d'une variable aleatoire continue
SiXa une loi continue, la probabilite queXprenne une valeur bien preciseaest en general nulle.On ne peut donc pas denir la loi deXen se contentant de donner ses probabilites elementairesP[X=a] pour touta.SiXdesigne le taux de cholesterol d'un individu, alorsP[X= 0:53969252982mgjl] = 0.On s'interesse plut^ot a la probabilite queXsoit dans un intervalle donne [a;b], ou
qu'il soit inferieur a une valeur donneea. 6/99Du discret au continu
Exercice
On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la loi deX? Comment peut-on la representer graphiquement? Quelle est la probabilite de l'evenementf3 X2 g?7/99Densite de probabilite
Denition
Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive fX:R!R+telle que
P(aXb) =Z
b a fX(x)dxpour tousa;b2R;ab:
Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-
pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +11fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99
Densite de probabilite
Denition
Une variable aleatoireXest ditea densitelorsqu'il existe une fonction positive fX:R!R+telle que
P(aXb) =Z
b a fX(x)dxpour tousa;b2R;ab:
Cette fonctionfXest appeleedensitedeX.remarque: on peut prendrea=1oub= +1dans cette formule.baLa probabiliteP(aXb)corres-
pond a l'aire du domaine situe sous le graphe defXentre les abscissesa etb.R +11fX(x)dx=P(X2R) = 1. Il faut toujours penser a le verier!8/99
Calculer la loi d'une variable a densite, c'est calculer sa densite! 9/99P[X=x]
Si la variable aleatoireXa une densitefX, alors pour toute valeura, la probabilite queXprenne la valeuraest0!!!P(X=a) =P(aXa) =Z
a a fX(x)dx= 0
On s'interesse plut^ot a la probabilite queXprenne ses valeurs dans un intervalle donne [a;b] 10/99Decrire une loi
M^eme terminologie que pour des distributions discretes : dyssymetrie (skewness), moyenne, variance, median, mode, quantiles, etc. 11/99Exercice
Exercice
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des densites de probabilite?1f(x) =8 :x+ 1 si1x01xsi 0x11
0 sinon.2f(x) =(
x2si 0x10 sinon.3f(x) =(
2cos(x) si 0x2
0 sinon.4f(x) =(
34(1x2) si1x1
0 sinon.
12/99Fonction de repartition
Denition
Lafonction de repartitiond'une variable aleatoireXest la fonction denie pour tout t2Rpar FX(t) =P(Xt):
Autrement dit,FX(t) est la probabilite de l'evenement "la valeur deXest inferieure ou egale at".F XF XFigure:Exemples de fonctions de r epartitiond'une va riablediscr eteet d'une va riablecontinue. 13/99Proprietes de la Fonction de repartition
FX(t)2[0;1] pour toutt2R;F
Xest une fonctioncroissantelim
x!1FX(x) = 0 et limx!+1FX(x) = 1pour toutaProposition
Si la fonction de repartitionFXest derivable, alorsXest une variable a densite et sa densite est la derivee deFX: fX=F0XExercice
On jette un stylo sur une table, et on noteXl'angle (non signe, donc entre 0 et) qu'il forme avec le bord de la table. Quelle est la fonction de repartition de la loi deX?15/99Deuxieme partie II
Esperance, variance, quantiles
16/99Esperance
Denition
SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, son esperance estE[X] =Z
R tfX(t)dt;
lorsque cette integrale est bien denie.Si l'integrale precedente n'est pas convergente, alors l'esperance deXn'est pas denie.
E[X] est une moyenne ponderee des valeurs que peut prendreX. 17/99Proprietes de l'esperance
Proposition
Soient X et Y deux variables aleatoires et2Run nombre reel, on a alorsE() =E(X) =E(X)E(X+) =E(X) +E(1X+2Y) =1E(X) +2E(Y)BAttention cependant, meme si l'esperance admet beaucoup de proprietes qui la
rendent agreable, elle ne respecte pas en general la multiplication (E(XY)6=E(X)E(Y)), sauf pour des variables independantes. 18/99Proprietes de l'esperance
Proposition
SoientXune variable aleatoire continue de densitefX, etg:R!Rune fonction quelconque. L'esperance deg(X) se calcule ainsi :E(g(X)) =Z
R g(x)fX(x)dx:BIl se peut tres bien queE(g(X)) n'existe pas alors queE(X) existe! 19/99Esperance
Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?1050510051020:10:150:220/99Esperance
Que pouvez-vous dire des esperances relatives de ces densites?105051000:10:20:30:420/99Variance
Denition
SoitXune variable aleatoire continue de densitefX, sa variance estVar[X] =E[(XE[X])2] =Z
R (tE[X])2fX(t)dt =E[X2]E[X]2=Z R t2fX(t)dt Z R tfX(t)dt
2lorsque ces integrales sont bien denies.La variance est un nombre positif, qui peut ^etre inni m^eme si l'esperance existe.
Denition
L'ecart-typed'une variable aleatoireXest la racine carree de sa variance : (X) =pVar(X):21/99Proprietes de la variance
Proposition
Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() =Var(X+) =Var(X) =22/99Proprietes de la variance
Proposition
Soit X une variable aleatoire et2Run nombre reel, on a alorsVar() = 0Var(X+) =Var(X)Var(X) =2Var(X)22/99
Variance
Que pouvez-vous dire des variances de ces densites?105051000:10:20:30:423/99Quantile
Denition
Lesquantilesd'une distributionfsont les valeurs permettant de diviser le support dela distribution en intervalles de poids egaux.On parle de q-quantile lorsqu'on divise le poids de la distribution en q intervalles. Il y
en aq1Par exemple2-quantile = median
3-quantile = tercile
4-quantile = quartile
10-quantile = decile
Lesq-quantiles de la distributionfXde fonction de repartitionFXsont les valeurs F 1 Xiq ;i2 f1;:::;q1g 24/99Exercice
Exercice
SoitXune variable aleatoire de densite
fX(x) =(
43x1=3si 0x1
0 sinon.1Quelle est la fonction de repartition deX?2Quelle est l'esperance deX?3Quelle est la variance deX?4Quelle est la probabilite de l'evenementf13
X12 g?5Quelles sont les terciles de la loi deX?25/99 Decrire une loi : relation entre moyenne et median 26/99Cas des lois symetriques
Si une loi est symetrique par rapport a la valeur, sa moyenne et sa mediane concident et valent. Dans ce cas, soniemeq-quantile et son (qi)emequantile sont symetriques l'un de l'autre par rapport aa: F1 Xiq =F1 Xqiq F 1X(110)F
1X(910)
27/99Troisieme partie III
Lois usuelles
28/99Loi uniforme
Denition
La loi uniforme sur un intervalle [;] est la loi de densite f(x) =1six2[;];
0 sinon.
On noteX U([;]) ("Xsuit la loi uniforme sur [;]").Dans l'exemple du stylo qui tombe sur une table, il est raisonnable de supposer que
l'angleXsuit la loi uniforme sur [0;]. On aura donc par exemple : P X2 =Z 2 01 dx=12 ou encore : P4 X2 =Z 2 41dx=14 :29/99
Fonction de repartition d'une loi uniforme
SiXsuit la loi uniforme sur [;], on a
fX(x) =
1six2[;];
0 sinon,
et donc FX(x) =8
:0 six xsix2[;];1 six20246810051020:10:150:22024681000:20:40:60:81
Figure:Densit e( agauche) et fonction de r epartition( adroite) de la loi unifo rmesur l'intervalle [2;7].30/99Loi uniforme
ExerciceSoitXune variable aleatoire de loi uniforme sur [;]. Calculez l'esperance et la variance deX.31/99Loi exponentielle
Denition
Soita>0 un reel. On dit queXsuit la loi exponentielle de parametreasi elle admet la densite fX(x) =aeax1R+(x) =aeaxsix0;
0 sinon.Sa fonction de repartition est :
FX(x) =Z
x 1 fX(t)dt=1eaxsix0;
0 sinon.
32/99Loi exponentielle
La loi exponentielle est souvent utilisee pour modeliser la loi de temps d'attente ou dedurees de vie (aest l'inverse du temps d'attente moyen).duree de vie d'une ampoule, d'un appareil electrique
temps jusqu'au prochain tremblement de terre temps d'attente a la poste...2024681000:511:52
2024681000:20:40:60:81
Figure:Densit e( agauche) et fonction de r epartition( adroite) de la loi exp onentielle.Courb e cyan poura= 1 et rouge poura= 3 33/99Esperance et variance d'une variable de loi exponentielle ExerciceSoitXune variable aleatoire de loi exponentielle de parametrea>0.X admet la densite f
X(x) =aeax1R+=aeaxsix0;
0 sinon.:
Calculez l'esperance et la variance deX.34/99
Esperance deX
CalculonsE(X) :
E(X) =Z
R xfX(x)dx=Z
+1 0 xaeaxdx: On fait une integration par parties avecu=x,u0= 1 etv0=aeax,v=eax:E(X) =x(eax)+1
0Z +1 0 (eax)dx = 0 + Z +1 0 eaxdx= 1a eax +1 0 =1a AinsiE(X) =1a
35/99Variance deX
CalculonsVar(X) :
Var(X) =E(X2)E(X)2=Z
R x2fX(x)dx1a 2=Z +1 0 x2aeaxdx1a 2:On poseu=x2,u0= 2xetv0=aeax,v=eax:
Var(X) =x2(eax)+1
0Z +1 02x(eax)dx1a
2 = 0 + 2 Z +1 0 xeaxdx1a 2 = 2 x(1a eax) +1 0 2Z +1 0 (1a eax)dx1a 2 = 0 + 2a Z +1 0 eaxdx1a 2 2a 1a eax +1 0 1a 2=2a 1a 1a 2=1a 2:Var(X) =1a236/99
Loi quelconque
BUne variable aleatoire non discrete n'est pas necessairement a densite!ExerciceUne machine a remplir les bouteilles est defectueuse : elle verse dans
chaque bouteille (de 75cL) une quantite aleatoire de boisson comprise entre 0 et 1litre. SoitYla quantite de boisson contenue dans la bouteille. Decrire sa loi.SoitXla quantite de boisson versee par la machine. En l'absence d'autre precision, on
peut considerer queXsuit une loi uniforme sur [0;1]. On aY=XsiX0:75Y= 0:75 siX>0:75
Yn'est clairement pas une variable discrete (ses valeurs possibles correspondent a l'intervalle [0;0:75]), et n'est pas non plus une variable a densite car P(Y= 0:75) =P(X>0:75) = 0:256= 0. On dit que la loi deYpossede unatomeen x= 0:75. On peut calculer facilement la fonction de repartition deY: FY(t) =8
:0 sit0; tsi 0Loi quelconque
BUne variable aleatoire non discrete n'est pas necessairement a densite!ExerciceUne machine a remplir les bouteilles est defectueuse : elle verse dans
chaque bouteille (de 75cL) une quantite aleatoire de boisson comprise entre 0 et 1litre. SoitYla quantite de boisson contenue dans la bouteille. Decrire sa loi.SoitXla quantite de boisson versee par la machine. En l'absence d'autre precision, on
peut considerer queXsuit une loi uniforme sur [0;1]. On aY=XsiX0:75Y= 0:75 siX>0:75
Yn'est clairement pas une variable discrete (ses valeurs possibles correspondent a l'intervalle [0;0:75]), et n'est pas non plus une variable a densite car P(Y= 0:75) =P(X>0:75) = 0:256= 0. On dit que la loi deYpossede unatomeen x= 0:75. On peut calculer facilement la fonction de repartition deY: FY(t) =8
:0 sit0; tsi 0Quatrieme partie IV
Loi normale et cie
38/99Loi normale centree reduite (ou loi gaussienne)
Appara^t comme limite de certains processus.
39/99Loi normale centree reduite (ou loi gaussienne)
Denition
On dit queXsuit une loi normale centree reduite et on noteX N(0;1) si sa loi admet pour densite la fonction fX(x) =1p2ex22
:La fonction de repartition correspondante n'a pas de formule simple. Dans les logiciels de calcul numerique (Matlab, R, etc) cette fonction est implementee sous le nom de normcdf(Matlab) oupnorm(R). FX(x) =Z
x11p2et22
dt:Proposition SoitXune variable aleatoire suivant une loi normale centree reduite, alorsE[X] = 0 etVar(X) = 1:40/99
Loi normale
N(0;1)642024600:10:20:30:4ExerciceSoitXune variable aleatoire de loi normale centree reduite. Veriez que
E[X] = 0.41/99
Loi normaleN(;2)Denition
Soitetdeux reels, on suppose6= 0. On dit qu'une variable aleatoireXsuit une loi normale de moyenneet variance2si la variable aleaoire Z=X suit une loi normale centree reduite.On noteX N(;2).Xa pour densite la fonction
fX(x) =1p2e(x)222:
On aE[X] =etVar[X] =2.BAttention, dans certains ouvrages, il est noteX N(;) au lieu deX N(;2). 42/99Loi normale
Fonction de repartition de la loi normale
44/99Concentration autour de la moyenne
Dans l'intervalle [;+] centre autour de la moyenne, il y a 68% de la masse de la distributionN(;2)P[X+]'0:68:+
45/99Concentration autour de la moyenne
Dans l'intervalle [2;+ 2] (ou plus precisement dans [1:96;+ 1:96]) centre autour de la moyenne, il y a 95% de la masse de la distributionN(;2)P[2X+ 2]'0:95:2+ 2
45/99Concentration autour de la moyenne
Dans l'intervalle [3;+ 3] centre autour de la moyenne, il y a 99;7% de la masse de la distributionN(;2)P[3X+ 3]'0:997:3+ 3
45/99Z-table pourN(0;1)
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