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Chapitre 3 : Integration au sens de Lebesgue

Ahmed Zeriahi

Version preliminaire-octobre 2011

Avertissement :Ceci est une version preliminaire des notes du cours que l'auteur a dispense en troiseme annee de Licende de Mathematiques Fon- damentales a l'Universite Paul Sabatier. Elles n'ont pas ete completement relues et corriees. Il y a donc encore quelques coquilles, voire quelques er- reurs... Merci de les sigaler a l'auteur.

Introduction

Nous allons maintenant introduire une classe importante de fonctions dont on voudrait denir l'integrale. Pour motiver la denition generale, con- siderons une fonction positivef:I!R+que nous supposerons a valeurs dans [0;1] pour simplier. Nous voulons denir l'integrale defsurIcomme l'aire sous la courbe representative defau dessus deI. Comme nous l'avions dit dans l'introduction, la methode de Lebesgue consiste a subdi- vider l'intervalle but, ici [0;1] enNpetits intervalles [yk;yk+1[ de longueurs yk=k=N(0kN1) et a approcher l'aire sous la courbe par la somme des aires des pseudo-rectangles induits par cette subdivisions. De facon plus precise, la subdivision (yk) determine une "partition" de l'intervalle sourceIenNensembles denis parANk:=fx2I;ykf(x)< yk+1g pour 0kN1 etANN:=fx2I;f(x)1g(certains ensembles pouvant ^etre vides). Chaque ensembleANkdenit un "pseudo-rectangle" A Nk[0;yk]IR+de baseANket de hauteurykqui est une approxima- tion de la portion de domaine sous la courbe situe au dessus de l'ensemble A Nket dont l'aire est(ANk)yk:Il est alors naturel de chercher a denir l'integrale defcomme Z I f(x)d(x) := limN!+1 NX k=0y k(ANk)! a condition que les longueurs(ANk) soient bien denies i.e. que les en- semblesANksoient mesurables au sens de Lebesgue et que la limite existe. 1 C'est cette condition de mesurabilite des ensembles du typeANkqui nous servira de enition de la notion de fonction mesurable. Nous allons mettre en oeuvre ces idees pour denir l'integrale dans un cadre assez general.

1 Fonctions mesurables

Nous avons vu dans l'introduction que pour donner un sens a l'integrale d'une fonctionf(bornee) sur un intervalle il est important que les ensembles du typefx2I;af(x)< bgsoient mesurables au sens de Lebesgue. C'est ce qui motive la denition suivante. Dans toute cette section (X;T) sera un espace mesure.

Denition 1.1Soient(X;Tun espace mesurable. Une fonctionf:X!Rdite mesurable sur(X;T)ouT mesurable surXsi pour tout nombre

reelsa;b2R, l'ensemblefa < f < bg=f1(]a;b[)estT mesurable.

2) Si de plusXest un espace topologique etB(X)est la tribu des boreliens

deX;on dit quef:X!Rest une fonction borelienne surXsifest

B(X)mesurable surX:

On a la caracterisation suivante de la mesurabilite. Proposition 1.2Soit(X;T)un espace mesurable etf:X!Rune fonc- tion. Alors les proprietes suivantes sont equivalentes. (i)festT mesurable surX; (ii)pour touta2R;l'ensemblefx2X;f(x)< agappartientT; (iii)pour touta2R;l'ensemblefx2X;f(x)agappartientT; (iv)pour touta2R;l'ensemblefx2X;f(x)agappartientT; (v)pour touta2R;l'ensemblefx2X;f(x)> agappartientT; (vi)pour tout ouvertVdeR,f1(V)2 T, (vii)pour tout borelienBdeR,f1(B)2 T. Demonstration:1. Pour touta2Ron a [1;a[=[n2N]n;a[ de sorte que fx2X;f(x)< ag=f1([1;a[) =[n2Nf1(]n;a[); ce qui prouve que (i))(ii) puisqueTest stable parreunion.

2. L'implication (ii))(iii) se demontre de la m^eme facon en observant que

[1;a] =\n2N[1;a+1=n[ et doncf1([1;a]) =\n2Nf1([1;a+

1=n[).

3. L'implication (iii))(iv) resulte du fait quefx2X;f(x)ag=

Rn fx2X;f(x)< ag.

4. L'implication (iv))(v) resulte du fait quefx2X;f(x)> ag=

n2Nfx2X;f(x)a+ 1=ng. 2

5. Montrons d'abord que (v) implique (i). En eet sia < b2R,fa <

f < bg=fa < fg n ffbgetffbg=\n2Nff > b1=ng, le resultat decoule alors de l'hypothese (v) et de la stabilite deTpar les operations booleennes denombrables. D'autres part puisque tout ouvert deRest reunion denombrable d'intervalles ouverts, la propriete (vi) est equivalente a (i).

6. Comme tout ouvert est un borelien, on (vii))(vi). Il reste a demontrer

que (vi))(vii). En eet, considerons la classe des partiesSR telles quef1(S)2 B(R). Il est facile de voir que est une tribu surR et l'hypothese (vii) signie que tout ouvertVRappartient a . Il en resulte par denition de la tribu borelienne surRqueB(R).I Corollary 1.3SoitZest un espace topologique. Alors toute fonctionf:

Z!R(semi-)continue surZest borelienne surZ.

Proposition 1.41. Soientf;g:X!Rdeux fonctionsT mesurables surX:Alors les fonctionssup(f;g)etinf(f;g)sontT mesurables sur X. En particulier les fonctionsf+:= sup(f;0);f:= sup(f;0)sont

T mesurables surX:

2. Soit(fn)n2Nune suite de fonctionsT mesurables surX:Alorssupn2Nfn;

inf n2Nfn,limsupn!+1etliminfn!+1fnsont des fonctionsT mesurables surX: Demonstration:1. La premiere propriete resulte de la second propriete ap- pliquee a deux fonctions.

2. Observons que pour touta2R,fsupn2Nfnag=\n2Nffnag

etfinfn2Nfnag=\n2Nffnag. En appliquant la proposition 1.2, on en deduit que sup n2Nfn;infn2NfnsontT mesurables surX:Comme limsup n!+1fn= supn2N(infknfk) et que liminfn!+1fn= infn2Nsupknfk, on en deduit que les fonctions limsup n!+1fnet liminfn!+1fnsontT mesurables surX:I Pour donner les premiers exemples de fonctionsT mesurables, nous aurons besoins de la denition suivante. Denition 1.5Une fonction':X!Rest diteT etagee surXsi elle estT mesurable surXet ne prend qu'un nombre nie de valeurs i.e.'(X) est une partie nie deR. Voici un resultat immediat qui caracterise ces fonctions. Proposition 1.6Une fonction':X!RestT etagee surXsi et seulement si elle s'ecrit sous la forme'=P i2Ii1Ai, ou(Ai)i2Iest une famille nie de partiesT mesurables deXet(i)i2Iest une famille nie de nombres reels. De plus si'estT etagee surX, on peut faire en sorte que(Ai)i2Isoit une partition deX. 3 Demonstration:En eet si'est mesurable et ne prend qu'un nombre ni de valeurs1;;p2Rdeux a deux distinctes, en posant pouri= 1;;p, A i:='1(i) =fx2X;'(x) =ig, on obtient une partition deXen ensmebles mesurables telle que'=isurAi, ce qui prouve que'=P

1ipi1AisurX. Inversement si'=P

i2Ii1Aicomme dans lenonce alors les valeurs de'sont parmi les nombres reelsfP j2Ji, ouJIest une partie nie deI. CommeIest ni, un tel ensemble de valeurs est ni.I Theorem 1.7(Theoreme d'approximation). Soit(X;T)un espace mesurable.

1) Sif:X!R+est une fonctionT mesurable positive surX, il existe

une suite croissante('n)n2Nde fonctionsT etagees positives surXqui converge (simplement) versfi.e.8x2X;limn!+1'n(x) =f(x). De plus, sifest bornee surX, la convergence est uniforme surX.

2) Toute fonctionf:X!RT mesurable est limite (simple) d'une suite

de fonctionsT etagees surX: Demonstration:1) L'idee est de "subdiviser" l'ensemble

R+des valeurs de

fen "intervalles" adaptes : pour chaque entiern2Nassez grand, on considere la subdivision suivante de l'ensemble butR +=[0kn2n1k2n;(k+ 1)2n[[n2n;+1]; et on considere la partition de l'ensemble sourceXinduite par cette subdi- vision : A n;k:=fx2X;k2nf(x)<(k+ 1)2ng;si 0k < n2n1; et A n;k:=fx2X;f(x)ng;sik=n2n: Cesn2nensembles sontT mesurables deux a deux disjoints de reunionX:

Posons pour chaquen2N;

n:=n2nX p=0k2n1An;k: Alors ('n) est une suite croissante de fonctionsT etagees surX:En eet xonsx2Xtel quef(x)<+1et soitn2Ntel quef(x)< n. Alors il existektel quek2nf(x)<(k+ 1)2n. Il y a deux cas possible : - ou bienk2n= 2k2n1f(x)<(2k+ 1)2n1, dans ce cas'n(x) = n+1(x) =k2nf(x), - ou bien (2k+ 1)2n1f(x)<(2k+ 2)2n1, dans ce cas'n(x)< n+1(x) = (2k+ 1)2n1f(x). Dans tous les cas sif(x)<+1, pour toutn2Ntel quen > f(x), on a'n(x)'n+1(x)f(x) et 0f(x)'n(x)2n. Sif(x) = +1, 4 on a'n(x) =npour toutn2N, ce qui prouve notre assertion. Sifest bornee, alors pourn2Ntel quen >supXfet pour toutx2X, on a

0f(x)'n(x)2n, ce qui prouve que ('n)n2Nconverge uniformement

surXversf.

2. Dans le cas general on ecritf=f+fet on applique le resultat de la

premiere partie a chacune des fonctionsf.I Corollary 1.8Soitf;g:X!Rdes fonctionsT mesurables surX: Alors

1) sifetgne prennent pas simultanement des valeurs innies de signes

opposes en aucun point deX;la fonctionf+gestT mesurable surX;en particulierjfjestT mesurable surX,

2) si aucune des fonctionsfetgne prend la valeur innie pendant que

l'autre prend la valeur zero en aucun point deX, la fonctionfgest

T mesurable surX,

Demonstration:Par hypotheese, il existe des suites ('n)n2Net ( n)n2Nde fonctionsT etagees surXtelle quef= limn!+1'netg= limn!+1 n surX. Il est alors clair que f+g= limn!+1('n+ n); fg= limn!+1('n n); surX. Comme pour chquen2N,'n+ net'n nsont des fonctions T etagees surX, il en resulte quef+getfgsontT mesurables surX.I

2 Integrale d'une fonction mesurable positive

Soit (X;T;) un espace mesure. On designe parE=E(X;T) l'espace vectoriel des fonctionsT etagees surXet parE+=E+(X;T) le c^one des fonctionsT etagees positives surX.

2.1 Integrale d'une fonction etagee positive

La relation entre la theorie des ensembles et celle des fonctions se fait par l'application bijective suivante

P(X)3A7!1A2 f0;1gX;

ou1Aest la fonction caracteristique deAdansXdenie par 1 surAet 0 surXnA. De plusA2 Tssi la fonction1AestT mesurable surX. 5 Il est donc naturel de poser la denition suivante de l'integrale de la fonction carateristique d'un ensembleA2 TZ X 1

Ad=(A):

En particulier

Z X 0d=Z X

1;d= 0;Z

X 1d=Z X 1

Xd=(X):

Si2R+, l'integrale de la fonction etagee':=1Adevrait ^etre egale par linearite a(A). Si= 0 on a'= 0 et donc 0 =R

X'd= 0(A)

m^eme si(A) = +1. On doit donc convenir que 0(+1) = 0. Soit'2 E; il existe par denition une famille nie (A)i2Id'ensemblesT mesurables et une famille nie (i)i2Ide nombres reels tels que '=X i2I iAi surX:Cette decomposition n'est pas unique en general mais quelque soit la denition de l'integrale adoptee, elle devrait ^etre lineaire et donc satisfaire la relation suivante Z X 'd=X i2I i(Ai) Cette formule a deux inconvenients. D'une part certains termes peuvent ^etres innis de signes opposes et d'autre part elle depend a priori de la decomposition de'en combinaison lieaire de fonctions caracteristiques. Pour pallier au premier inconvenient, on commencera par considerer des coecientsipositifs ou nuls. Pour pallier au second inconvenient on va utiliser dans un premier temps la decomposition canonique de'(suivant les valeurs prises). En eet, comme on l'a deja vu, si'est une fonctionT etagee positive surX, elle ne prend qu'un nombre nie de valeurs positives deux a deux distinctesu1;;uN2R+. En posant U j:='1(uj);j= 1;;N: on obtient une est une partition nie (Uj)1jNdeXformee d'ensembles

T mesurables telle que

'=X 1jNu j1Uj=X 1jNu j1'1(uj) surX. Une telle decomposition est associee de facon unique (a l'ordre des termes pres) a', elle sera ditedecompostion canoniquede'(suivant les valeurs prises). Il est alors naturel de poser la denition suivante 6 Denition 2.1Soit'une fonctionT etagee positive surXet '=X 1jNu j1Uj sa decomposition canonique. On pose Z X 'd:=X 1jNu j(Uj): Ce nombre reel positif element deR+est appele l'integrale defsurXpar rapport a. Cette denition peut sembler trop restrictive car fondee sur la determination de la decomposition canonique de'. Elle permet neanmoins de demontrer les proprietes algebriques de l'integrale. On designera parE+(X;T) l'ensemble des fonctionsT etagees positives urX. On va etablir les premieres proprietes de l'integrale sur ce c^one. Proposition 2.2L'ensembleE+(X;T)est un c^one convexe et positif i.e. si'; 2 E+(X;T)et0, alors'2 E+(X;T)et'+ 2 E+(X;T).

De plus on a les proprietes suivantes:

1) l'integrale est (positivement) homogene surE+(X;T)i.e.

Z X 'd=Z X 'd

2) l'integrale est additive surE+(X;T)i.e.

Z X ('+ )d=Z X 'd+Z X d;

3) l'integrale est monotone (croissante) surE+(X;T)i.e.

0' )Z X 'dZ X d:

Demonstration:1. Si'=P

1jpuj1Ujest la decomposition canonique de

', celle de'est'=P

1jp(uj)1Uj. Par denition de l'integrale, il

en resulte que Z X (')d=X

1jp(uj)(Uj) =X

1jpu j(Uj=Z X 'd:

2. On ecrit les decompositions canoniques de'=P

1jpuj1Ujet =P

1kqvk1Vj. Il est alors facile de voir que la decomposition canonique de

'+ est donnee par '+ =pX j=1q X k=1(uj+vk)1Uj\Vk: 7

On a lors par denition de l'integrale

Z X ('+ )d=pX j=1q X k=1(uj+vk)(Uj\Vk): D'ou Z X ('+ )d=pX j=1q X k=1u j(Uj\Vk) +pX j=1q X k=1v k(Uj\Vk): Comme pour chaquej= 1;;pon aUj=[1kqUj\Vk, ou la reunion est disjointe, on en deduit par additivite deque p X j=1q X k=1u j(Uj\Vk) =pX j=1u j(Uj) =Z X 'd:

De la m^eme fcon on a

p X j=1q X k=1v k(Uj\Vk) =qX k=1vquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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