Electromagnétisme : PEIP 2 Polytech
5.3 Energie potentielle électrostatique . 9.3.2 Energie potentielle d'interaction magnétique . ... 10.3.1 Définition du régime quasi-stationnaire .
Caratérisation de la surface dénergie potentielle des matériaux
A sphe- rical region around each atom with a radius typically set to between 5 and 7 Å
? ? ?
Définition : l'énergie potentielle électrostatique d'une particule chargée placée dans un champ électrostatique est égale au travail qu'il faut fournir pour
MECANIQUE DU POINT MATERIEL
V.5 Energie potentielle d'un point matériel M(m) dans un référentiel R(Oxyz) ; par définition
4 LE DIPÔLE ÉLECTRIQUE 4.1 Définition Un dipôle électrostatique
Calculons l'énergie potentielle du dipôle (énergie qu'il possède du fait de son orientation relative par rapport au champ : si on le lâche
Sur la définition de lénergie en théorie du potentiel
Ces définitions du potentiel et de l'énergie s'étendent immédiate- ment au cas d'un noyau K qui n'est plus le noyau newtonien mais.
Cours de mécanique
potentielles) des exemples de calcul de travaux de force. 3 Energie cinétique. 3.1 Définition. L'énergie cinétique est l'énergie en Joule
M4 – OSCILLATEUR HARMONIQUE
Définition : Les oscillations d'un oscillateur harmonique sont purement si- L'énergie potentielle de l'oscillateur harmonique est bien la somme de ses ...
Chapitre 5 :Energie électrostatique
Energie propre du système : énergie potentielle des forces intérieures. Energie d'interaction avec est toujours valable (c'est la définition de ES.
Lénergie mécanique
Doc Ene 3 Energie potentiel cinétique
[PDF] Lénergie potentielle
*L'énergie potentielle est l'énergie que possède un corps du fait de sa hauteur par rapport à un référentiel Ep est son symbole *Le Joule est son unité de
[PDF] M2 - Énergie potentielle
Une énergie potentielle est définie à une constante additive près : seules les variations d'énergie potentielle ont un sens physique Le poids et la force
[PDF] Chapitre 13 : Énergie potentielle et mécanique - Lycée dAdultes
L'énergie potentielle et l'énergie mécanique d'un système seront définies tout en faisant le lien avec le chapitre précédent 13 1 Forces conservatives ou non
Définition Énergie potentielle - Futura-Sciences
Lorsqu'un corps est soumis à une force (par exemple une bille chutant d'une hauteur H au-dessus du sol) ce dernier peut se déplacer sur une certaine
Lénergie potentielle gravitationnelle et lénergie cinétique - Alloprof
L'énergie potentielle est l'énergie emmagasinée par un objet en raison de sa position ou de sa forme L'énergie potentielle gravitationnelle (E
Énergie potentielle - Wikipédia
L'énergie potentielle d'un système physique est l'énergie liée à une interaction qui a la capacité de se transformer en d'autres formes d'énergie
[PDF] Energie potentielle de pesanteur - AlloSchool
L'énergie potentielle de pesanteur d'un solide est une énergie qu'il possède dans le champ de pesanteur grâce à sa position par rapport à la terre
[PDF] Quelques remarques sur lénergie potentielle et lénergie interne
L'énergie potentielle dont dérive le champ de pesanteur (à distinguer du champ de gravitation de la Terre) comporte donc un terme de Q: potentiel centrifuge s
[PDF] Chapitre 4 : Etude Energétique
II-? Forces conservatives – Energie potentielle II 1) – Définition Une force est dite conservative si son travail entre deux point M1 et M2 dépend
Qu'est-ce que ça veut dire l'énergie potentielle ?
L'énergie potentielle est de l'énergie « disponible », qui peut être convertie en d'autres formes d'énergie. Ainsi, lorsqu'une balle tombe en chute libre vers le sol, à chaque instant son énergie potentielle diminue tandis que son énergie cinétique augmente.Quelle est l'énergie potentielle d'un objet ?
L'énergie potentielle est l'énergie emmagasinée par un objet en raison de sa position ou de sa forme. L'énergie potentielle gravitationnelle (Epg) ( E p g ) est l'énergie emmagasinée par un objet selon sa position par rapport au sol.Quel est la formule de l'énergie potentiel ?
On rappelle l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur Epp d'un système en fonction de sa masse m et de son altitude z : Epp = m \\times g \\times z.- Lors d'un mouvement sans frottements, l'énergie mécanique d'un corps qui est la somme de son énergie cinétique (liée à sa vitesse) et de son énergie potentielle de pesanteur (liée à sa position) se conserve. Il en résulte un transfert entre ces deux formes d'énergie.
M4 - OSCILLATEUR HARMONIQUE
I Mod`ele de l"oscillateur harmonique (O.H.)
I.1 ExemplesÜCf Cours
I.2 D´efinition
♦D´efinition :Unoscillateur harmonique`a un degr´e de libert´ex(X,θ, ...) est un syst`eme physique dont l"´evolution au cours du temps en l"absence d"amortissement et d"excitation, est r´egie par l"´equation diff´erentielle lin´eaire : (EOH)¨x+ω20x= 0o`uω0est la pulsation propre.
Rq :On rencontrera cette situation en
´electricit´e pour un circuit s´erie contenant une inductanceL, une capacit´eCet une r´esistance R. Enr´egime libre, c"est `a dire sans excitation, et en l"absence d"amortissement (R= 0), la charge qaux bornes du condensateur v´erifie :¨q+1
LCq= 0ÜCf CoursE4
L"importance du concept d"oscillateur harmonique vient dece qu"il d´ecrit le comportement g´en´eral d"un syst`eme `a un degr´e de libert´eau voisinage d"une position d"´equilibre stable. Donc, le mod`ele de l"oscillateur harmonique est tr`es utile pour un probl`eme unidimensionnelet une forceconservativequi ne d´epend que d"une variable x(ÜCf CoursM3) I.3 Description du mouvement de l"oscillateur harmonique •La solution g´en´erale de l"´equation diff´erentielle est : x(t) =Xmcos(ω0t+?) , avec : -ω0la pulsation propredu mouvement (enrad.s-1, -Xml"amplitude, -?la phase(`a l"origine des temps). •Xmet?sont d´etermin´es `a partir desconditions initiales(C.I.) : a)x(t= 0) =Xmcos?=x0 b) x(t= 0) =-Xmω0sin?= x0=v0. ♦D´efinition :Les oscillations d"un oscillateur harmonique sont purement si- nuso¨ıdales etla p´eriode propredes oscillations est :T0=2πω0
LorsqueT0ne d´epend pas de l"amplitude des oscillations, on dit qu"il yaisochro- nismedes oscillations. Rq :On peut encore ´ecrirex=Xmcos?cosω0t-Xmsin?sinω0tou encore x=Acosω0t+Bsinω0tM4I. Oscillateur Harmonique2008-2009
o`uAetBsont des constantes `a d´eterminer par les conditions initiales. Cette relation est parfois
pratique. En tenant compte desC.I.:A=Xmcos?=x0etB=Xmsin?=-v0
ω0?x(t) =x0cos(ω0t) +v0ω0sin(ω0t)
Xm=⎷A2+B2=?x20+?v0ω0?
2 et tan?=-BA=-v0ω0x0avec cos?du signe dex0. I.4´Energie(s) de l"oscillateur harmonique
♦D´efinition :(ÜCf CoursM3) L"Oscillateur Harmonique `a un degr´e de libert´ex´evolue dans unpuits parabolique d"´energie potentielle:Ep(x) =Ep(0) +12kx2
Ceci revient `a dire que l"Oscillateur Harmonique est soumis `a uneforce conservative:F(x) =-dEpdx=-kx
Cas du ressort vertical (cf. I.1) :
•Grˆace `a cette expression deF(x), on retrouve, bien entendu, l"´equation du mouvement de
l"Oscillateur Harmonique : m¨x=F(x)?¨x+ω20x= 0 avec :ω0=? k mO`u"x»est la variable notant l"écart par rapport à la position d"équilibrede l"oscillateur harmo-
nique, soitX=x-xeqavecxeq=x0+mg k; d"où : E p=12kX2=12k?
(x-x0)-mgk?2=12k(x-x0)2
E p,elast-mgx???? E p,g+CsteÜL"énergie potentielle de l"oscillateur harmonique est bien la somme de ses différentes formes
d"énergies potentielles.Ici, il s"agit de l"énergie potentielle élastique(prise nulle enx=x0) et del"énergie potentielle de
pesanteur(prise nulle enx= 0), la Cste permettant de choisir l"origine de l"énergie potentielle totale enx=xeq. •ÜCf.Cours.• La solution de l"équation différentielle étant de la formex=Xmcos(ω0t+?)et de périodeT0,
toutes les grandeursgdécrivant le mouvement sont également périodiques de périodeT0et leurs
valeurs moyennes sont définies par : < g >≡1T0? t t0g(t)dtavect≡t0+T0ett0quelconque
ÜLa valeur moyenne des énergies cinétique et potentielle sont donc égale à :2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009II. Oscillateur HarmoniqueM4
...Cf.Cours...D"où :4mw20X2m=14kX2m=14mw20X2m=14kX2m
On décrit cette égalité en disant qu"il y aéquipartition de l"énergie. (Sous-entendu : l"énergie mécanique ,en moyenne, se répartit autant en énergie cinétique qu"en
énergie potentielle).
I.5 Portrait de phase d"un oscillateur harmonique
♦D´efinition :On appelleportrait de phased"un syst`eme `aun degr´e de libert´e, dont l"´evolution est d´ecrite par la variablex(t), un diagramme caract´eristiques des ´evolutions du syst`eme repr´esent´e dans leplan de phase(x,x)(ÜCf CoursM1).• On a vu auI.4), pour leressortmodélisé par un oscillateur harmonique, que la conservation
de l"énergie mécanique (Intégrale Première du Mouvement) donne uneéquation du type : 12mx2+12kx2=Em=Cste soit, encore :x22Em
k+ x2 2Em m= 1 →On reconnaît l"équationx2 a2+x2b2= 1d"uneellipsede demi-axes : a=? 2Em k=? 2Em mω20selonxetb=?2ω20Em
k=? 2Em mselonx. • L"ensemble des ellipses correspondant aux valeurs deEmpossibles constitue leportrait de phase del"oscillateur harmoniqueNON amorti et libre(non excité).ÜCf.Cours
ÜCf.Poly: dans le cas du pendule simple, la modélisation de l"oscillateur harmoniqueestvalable lorsque le portrait de phase est assimilable à une ellipse. Ce qui est le cas pour les faibles
l g ellipses, il n"y a plus isochronisme des petites oscillations et on établit la formule deBorda: T?T0?1 +α2
16? qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3M4II. Oscillateur harmonique Spatial2008-2009
II Oscillateur harmonique spatial
Définition :On parle d"oscillateur harmonique spatiallorsque les équations décrivant l"évolution
du système peuvent se mettre sous la forme de 3 équations de la forme :???m¨x+k1x= 0 m¨y+k2y= 0 m¨z+k3z= 0x,y,zétant 3 variables indépendantes (par ex. les coordonnées cartésiennes)De solution générale :
?x=Xmcos(ω1t+?1) y=Ymcos(ω2t+?2) z=Zmcos(ω3t+?3)avecω2i=ki mpouri= 1, 2, 3. Conclusion :Le mouvement se caractérise par desoscillationscorrespondant à3 oscillateurs harmoniques indépendants.Exemple : Oscillateur Harmonique SpatialIsotrope
• Soit un point matérielMrepéré par le vecteur-→r=--→OMpar rapport à un pointOfixe du référen-
tiel d"étude (supposé galiléen). À la datet= 0, il a la position-→r0=---→OM0et une vitesse-→v0.Il est soumis à la force-→F=-k-→r.
• LeP.F.D.s"écrit :md2-→r dt2=-k-→r, soit encore : d2-→r
dt2+ω20-→r=-→0avec :ω20≡km• La solution s"écrit :-→r=-→Acosω0t+-→Bsinω0t, où-→Aet-→Bsont des vecteurs à déterminer en
fonction desConditionsInitiales. →En utilisant :-→r(t= 0) =-→r0, on déduit :-→A=-→r0 →Avecd-→rdt(t= 0) =--→A ω0sinω0t+-→B ω0cosω0t, on déduit :d-→rdt(t= 0) =-→v0=-→B ω0.
Finalement :
-→r=-→r0cosω0t+-→v0 ω0sinω0t, ce qui montre quele mouvement se fait dans leplan passant parOet déterminé par les directions de-→r0et-→v0.• Définissons un repère en prenant l"axeOxsuivant-→r0et l"axeOydans le plan de la trajectoire.
En projetant l"équation de-→rsur les axes, on a :???x=r0cosω0t+v0xω0sinω0t
y=v0y ω0sinω0toùv0xetv0ysont les composantes de-→v0. →On obtient bien2 oscillateurs indépendants1.•L"équation de la trajectoires"obtient en éliminant le tempstà l"aide de la relationsin2ω0t+
cos2ω0t= 1.
On isole donc :?????sinω0t=ω0y
v0y cosω0t=x r0-yv0xr0v0yon a alors :? v20xr20v20y+ω20v20y? y2+x2r20-2xyv0xr20v0y= 1
→Cl :La trajectoire est donc uneellipse centrée enO.1. Le fait qu"il n"en apparaˆıt que 2 au lieu des trois attendus vient du choix judicieux du rep`ereOxypour
exprimer la trajectoire plane4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2008-2009II. Oscillateur harmonique SpatialM4
Ce qui se voit bien dans le cas particulierv0x= 0où l"équation devient : x 2 r20+y2v20yω20= 1?x2
a2+y2b2= 1 aveca=r0etb=|v0y|ω0.
OxyM0v
0r0 Qu"en est-t-il de l"énergie potentielle d"un oscillateur harmonique spatial?Un raisonnement similaire au précédent (cf. §4) mais tenant compte, cette fois, des trois équations
scalaires du mouvement issues duP.F.D.conduit à : E m=?12mx2+12k1x2?
+?12my2+12k2y2? +?12mz2+12k3z2?→Retenonsque l"énergie mécanique d"un oscillateur harmonique spatial est lasommedes éner-
gies mécaniques destroisoscillateurs harmoniques associés à sestroisdegrés de liberté.
On reconnaît l"énergie cinétique :Ek=1
2mx2+12my2+12mz2
et il apparaît l"énergie potentielle :Ep=12k1x2+12k2y2+12k3z2.
Cl :Un oscillateur harmonique spatial correspond donc à un point matériel soumis à uneforce conservative:F≡ -?∂Ep
∂x? y,z-→ex-?∂Ep∂y? x,z-→ey-?∂Ep∂z? Et pour l"oscillateur harmonique spatial isotrope?Ce qui précède est toujours valable bien sûr , puisque l"O.H.S.I. est un cas particulier d"O.H.S.
où la force de rappel est colinéaire au vecteur position :F≡ -k-→r
=-kx-→ex-ky-→ey-kz-→ezce qui signifie :k1=k2=k3.Ce qui revient à dire que l"énergie potentielle de l"oscillateur n"est fonction que de la distance
r=OMdu point matériel M au centre de forceO: E p=12kOM2=12kr2
Trajectoire d"un Oscillateur Harmonique Spatial Anisotrope : Lorsquek1,k2etk3ne sont pas tous identiques, la trajectoire peut être ouverte ou fermée :±0.2
±0.1
0 0.10.2±0.8
±0.4
0 0.40.8±1
0123±0.2
±0.1
0 0.10.2±2
±1 0 12±3
±2±10123
qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5 M4III. Oscillateur Harmonique Amorti en r´egime libre2008-2009 III Oscillations libres amorties de l"Oscillateur Harmo- niqueIII.1 Exemples
Dans les deux exemples duI.1), la façon la plus simple de tenir compte de l"amortissement est d"introduire une force de frottement proportionnelle à la vitesse. On parle dans ce cas defrottement fluidevisqueuxcar cela décrit bien l"effet dû au déplacement dans un liquide ou un gaz
à des vitesses faibles. Cela permet par ailleurs, de conserver la linéarité des équations puisque la
force de frottement visqueux est proportionnelle à la vitesse 2. a Ressort vertical (Cf I.1)) : Dans l"exemple du ressort, on ajoute la force opposée à la vitesse-hx-→ex, d"où l"équation2?-1?:m¨x=-hx-k(x-xeq) soit, en introduisant l"écartpar rapport à l"équilibreX≡x-xeq:¨X+h mX+kmX= 0.Ce que l"on peut encore écrire, en introduisant lapulsation propreω0du système {ressort-masse}
et ladurée caractéristiqueτ: X+Xτ+ω20X= 0avecω20≡kmetτ≡mh.
quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] énergie potentielle élastique
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