[PDF] [PDF] Études de fonctions - Arnaud Jobin

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ECE2-B2018-2019Études de fonctions

I. Applications

I.1. Notion d"application

I.1.a) Définition

Définition

SoientEetFdeux ensembles.

UneapplicationfdeEdansF(notéef:E!F) est un procédé permet- tant d"associer à chaque élémentxde l"ensembleE, un et un seul élémenty de l"ensembleF. Es"appelle l"ensemble de départde l"application. Fs"appelle l"ensemble d"arrivéede l"application. On appelleimagedefet on noteIm(f), l"ensemble des élémentsydeF

qui admettent des antécédents parf.Im(f) =fy2Fj 9x2E;y=f(x)gPar définition, on a toujoursIm(f)Fmais pas forcément égalité.

On noteA(E;F)l"ensemble des applications deEdansF.Représentation graphique.

SoientEetFdeux ensembles etf:E!F.x

1x 2x 3x 4y 1y 2y 3y 4y 5y 6EFf

I.2. Image d"un ensemble par une application

Définition

SoientEetFdeux ensembles et soitAE.

Soitf:E!F.

L"image(directe) de l"ensembleApar l"applicationf, notéef(A), est

l"ensemble des images parfdes éléments deA. Autrement dit :f(A) =fy2Fj 9x2A; y=f(x)g=ff(x)jx2Ag F

En particulier, on a :f(E) = Im(f)Soitf:E!Fune application. Il ne faut pas confondre :

Im(f)l"image de l"applicationf.

(l"ensemble des images :Im(f) =ff(x)jx2Eg)

Fl"ensemble d"arrivée de l"applicationf.

Comme déjà précisé :Im(f)Fmais pas forcémentIm(f) =F.1

ECE2-B2018-2019I.3. Restriction

Définition

SoientEetFdeux ensembles etAune partie deE.

Soitf:E!Fune application.

LarestrictiondefàA, notéefA

, est l"application deAdansFdéfinie par : fA :A!F x7!f(x)

Autrement dit, on a :8x2A; fA

(x) =f(x)On a alors :ImfA =f(A)I.4. Composée de deux applications

Définition

SoientE,FetGtrois ensembles.

Soitf:E!Fune application.

Soitg:F!Gune application.

Lacomposéedefparg, notéegf, est l"application : gf:E!G x7!g(f(x))Autrement dit, on a :8x2E;(gf)(x) =g(f(x))Représentation graphique. SoientE,FetGdes ensembles etf:E!F,g:F!Gdes applications.x 1x 2x 3x 4y 1y 2y 3y 4y 5z 1z 2z 3z 4z 5z 6z 7EF Gfg

Propriété

SoientE,F,Gtrois ensembles.

Soitf:E!Fune application.

Soitg:F!Gune application.

Soith:G!Hune application.

On a alors :h(gf) = (hg)f(la loiest associative)

Remarque

Avec les notations précédentes, on a :

hg:F!H, gf:E!G, hgf:E!H. (la notationhgfest autorisée du fait de l"associativité de la loi)2 ECE2-B2018-2019I.5. Caractère injectif, surjectif, bijectif des applications

I.5.a) Injectivité

Définition

SoientEetFdeux ensembles.

Une applicationf:E!Festinjectivesi tout couple d"éléments distincts deEfournit deux images distinctes parf.8(x1;x2)2E2; x16=x2)f(x1)6=f(x2)Représentation graphique.

SoientE,Fdes ensembles etf:E!Fune application.x

1x 2x 3x 4y 1y 2y 3y 4y 5EF f

Exempled"application injective et non injective.

1)L"applicationf:R!R

x7!xest injective. En effet, six1etx2sont deux éléments deEtels quex16=x2, alors f(x1) =x16=x2=f(x2).

2)L"applicationg:R!R

x7!x2est non injective.

En effet,16= 1etg(1) = 1 =g(1).

3)Par contre,gR

+est bien injective.Propriété

SoientEetFdeux ensembles.

Soitf:E!Fune application.finjective,Tout élémenty2Fadmet au plus un antécédent parfDémonstration.

On raisonne par double implication.

())Supp osonspar l"absurde que fest injective et qu"il existe un élément y2Fadmettant strictement plus d"un antécédent parf. Alors il existe(x1;x2)2E2tel quex16=x2etf(x1) =y=f(x2).

Ceci contredit l"injectivité def.

(()Supp osonsque tout élémen ty2Fadmet au plus un antécédent parf. Soit(x1;x2)2E2tel quex16=x2. Notonsy1=f(x1)ety2=f(x2). Alors on a forcémenty16=y2car sinony1posséderait deux antécédents distinctsx1etx2.Démontrer qu"une application est injective On peut utiliser la définition équivalente, stipulant qu"une application est

injective si et seulement si :8(x1;x2)2E2; f(x1) =f(x2))x1=x2Cette définition est l"écriture contraposée de la définition initiale.

(on a même :f(x1) =f(x2),x1=x2)Démontrons quef:E!Finjective.

Soit(x1;x2)2E2.

On suppose quef(x1) =f(x2). ...démonstration

Alorsx1=x2.

On a donc démontré quefest injective.3

ECE2-B2018-2019Propriété

SoientE,F,Gdes ensembles.

Soitf:E!Fune application.

Soitg:F!Gune application.fest injective

gest injective )gf:E!Gest injectiveAutrement dit, la composée de deux applications injectives est injective.

Démonstration.

Supposonsfetginjectives et démontrons quegf:E!Gest injective.

Soit(x1;x2)2E2tel quegf(x1) =gf(x2).

Autrement dit :g(f(x1)) =g(f(x2)).

Or, commegest injective, on en déduit que :f(x1) =f(x2). Or, commefest injective, on en déduit que :x1=x2.

Ainsigfest injective.Propriété

SoientE,F,Gdes ensembles.

Soitf:E!Fune application.

Soitg:F!Gune application.gfest injective)finjectiveDémonstration. Supposonsgfinjective et démontrons quef:E!Fest injective.

Soit(x1;x2)2E2tel quef(x1) =f(x2).

On a alors :g(f(x1)) =g(f(x2)).

(égalité obtenue en composant chaque membre de l"égalité précédente parg)

Autrement dit :gf(x1) =gf(x2).

Or, commegfest injective, on en déduit que :x1=x2.

Ainsifest injective.Propriété

Soitf:R!Rune application.fstrictement croissante)fest injectiveDémonstration.

Soit(x1;x2)2R2tels quex16=x2.

Quitte à renommerx1etx2, on peut supposer que :x1> x2. Or, la fonctionfest strictement croissante. On a donc :f(x1)> f(x2).

Ainsi :f(x1)6=f(x2).

On en conclut quefest injective.I.5.b) Surjectivité

Définition

SoientEetFdeux ensembles.

Une applicationfdeEdansFestsurjectivesi tout élément deFadmet

au moins un antécédent parf.8y2F;9x2E; y=f(x)Autrement dit,fsurjective si :Im(f) =FReprésentation graphique.

SoientE,Fdes ensembles etf:E!Fune application surjective.x 1x 2x 3x 4x 5y 1y 2y 3y 4EFf 4 ECE2-B2018-2019Exempled"application surjective et non surjective.

1)L"applicationf:R!R

x7!xest surjective. En effet, tout élémenty deRest atteint parfpuisquey=f(y).

2)L"applicationg:R!R

x7!x2est non surjective. En effet,1ne peut s"écrire comme le carré d"un réel (il n"existe pas dex2Rtel que1 =x2).

3)Par contre,h:R!R+

x7!x2est bien surjective. En effet, touty2R+ peut s"écrire sous la formey=h(py). On a bienh(R) =R+.

Démontrer qu"une application est surjective

La propriété définissant la surjectivité fournit le schéma de rédaction suivant.Démontrons quef:E!Fsurjective.

Soity2F.

Exhibonsx2Etel quey=f(x).

...démonstration...

Alorsy=f(x).

On a donc démontré quefest surjective.Remarque L"élémentynommé au début de la démonstration est un élément de l"en- sembleF. Le but de la démonstration est de démontrer qu"il existex2E tel quey=f(x), ce qui signifie quey2Im(f)(=f(E)). On démontre donc que tout élémenty2Fvérifiey2Im(f).

Autrement dit :FIm(f).

Comme on a toujoursIm(f)F, on démontre ainsi :Im(f) =F. On l"a déjà dit : il ne faut pas confondreFetIm(f). Ces deux ensembles ne sont égaux que sifest surjective.Propriété

SoientE,F,Gdes ensembles.

Soitf:E!Fune application.

Soitg:F!Gune application.fest surjective

gest surjective )gf:E!Gest surjectiveAutrement dit, la composée de deux applications surjectives est surjective.

Démonstration.

Supposonsfetgsurjectives et démontrons quegfest surjective.

Soity2G.

Démontrons qu"il existex2Etel quey=f(x).

Commeg:F!Gest surjective, il existeu2Ftel quey=g(u). Commef:E!Fest surjective, il existex2Etel queu=f(x).

On a alors :y=g(u) =g(f(x)) =gf(x).

Ainsigfest surjective.Propriété

SoientE,F,Gdes ensembles.

Soitf:E!Fune application.

Soitg:F!Gune application.gfest surjective)gsurjectiveDémonstration. Supposonsgfsurjective et démontrons quegest surjective.

Soity2G.

Démontrons qu"il existex2Etel quey=g(x).

Commegfest surjective, il existeu2Etel quey=gf(u) =g(f(u)).

Notonsx=f(u). Alorsx2Fetxvérifiey=g(x).

Ainsifest surjective.5

ECE2-B2018-2019Propriété

SoientEetFdeux ensembles etf:E!Fune application.Alors l"application ~f:E!f(E) x7!f(x)est surjective.Démonstration.

Soity2f(E) =ff(x)jx2Eg.

Alors, par définition def(E), il existex2Etel quey=f(x) =~f(x). Ainsi ~fest surjective.Remarque C"est une manière classique de rendre une fonction surjective. Cette propriété est notamment utilisé dans le théorème de la bijection. Plus précisément, sif: [a;b]!Rest telle que : fest strictement croissante sur[a;b], fest continue sur[a;b], alorsfest une bijection de[a;b]surf([a;b]). En effet : a)Commefest strictement croissante, elle est injective. b)On rend alors cette fonction surjective modifiant son ensemble d"arrivée. Plus précisément,f: [a;b]!f([a;b])est surjective. Notez que nous n"avons pas eu besoin dans la démonstration précédente du caractère continue de la fonctionf. Dès lors, à quoi sert cette hypothèse? (i)Sifest continue, alorsf([a;b])est l"image d"un intervalle par une fonction continue. C"est donc un intervalle. (ii)Sous l"hypothèse de continuité defon a la propriété : finjective)fstrictement monotone La réciproque étant toujours vérifiée, on obtient une caractérisation des applications strictement monotones. Sifest continue, on a : finjective,fstrictement monotoneI.5.c) Bijectivité

Définition

SoientEetFdeux ensembles.

Soitf:E!Fune application.

On dit que l"applicationf:E!Festbijectiveou définit unebijection deEdansFsifest injective et surjective. Ainsi, l"applicationf:E!Festbijectivesi tout élémenty2Fadmet un et un seul antécédentx2Eparf. Autrement dit :8y2F;9!x2E; y=f(x)Remarque

Sif:E!Fest une application bijective :

fest une application : donc à tout élémentxdeEcorrespond un et unquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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